1、1机械能守恒定律及其应用主干梳理 对点激活知识点 重力势能 1定义物体由于被举高而具有的能量，叫做重力势能。2表达式Ep mgh，其中 h 是相对于参考平面的高度。01 3特点(1)系统性：重力势能是物体与 地球所共有的。02 (2)相对性：重力势能的大小与所选 参考平面有关。03 (3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。4重力做功的特点(1)重力做功与 路径无关，只与始末位置的 高度差有关。04 05 (2)重力做功不引起物体 机械能的变化。06 5重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 减小，重力对物体做负功，重力势能07 就 增大。08 (2)定量关
2、系：重力对物体做的功等于物体重力势能的 减少量，即 WG Ep1 Ep209 10 ( Ep2 Ep1) Ep。11 (3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取 无关。12 知识点 弹性势能 1定义发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。2大小：弹簧弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，形变量 越大，劲度系数01 越大，弹性势能就越大。02 3弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W Ep。03 知识点 机械能守恒定律 1内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， 动能和 势能可以相互转
3、化，而总01 02 的机械能 保持不变。03 22常用的三种表达式(1)守恒式： E1 E2或 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2。 E1、 E2分别表示系统初末状态时的总机04 05 械能。(2)转化式： Ek Ep或 Ek 增 Ep 减 。表示系统势能的减少量等于动能的06 07 增加量。(3)转移式： EA EB或 EA 增 EB 减 。表示系统只有 A、 B 两物体时， A 增08 09 加的机械能等于 B 减少的机械能。3对机械能守恒定律的理解(1)只受重力或弹力作用，系统的机械能守恒。(2)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功，系统机械能守恒。(3
4、)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力所做功的代数和为零，系统机械能守恒。一 思维辨析1被举到高处的物体重力势能一定不为零。( )2克服重力做功，物体的重力势能一定增加。( )3弹力做正功弹性势能一定增加。( )4物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( )5物体的速度增大时，其机械能可能减小。( )6物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。( )答案 1. 2. 3. 4. 5. 6.二 对点激活1关于重力势能，下列说法中正确的是( )A物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C一个物体的重力势能从5
5、 J 变化到3 J，重力势能减少了D重力势能的减少量等于重力对物体做的功答案 D解析 重力势能具有相对性，某个物体处于某个位置，相对不同的参考平面具有不同的重力势能，故 A 错误；重力势能 Ep mgh， h 为相对于零势能面的高度，当物体位于零势能面以下时，它与零势能面的距离越大，重力势能越小，故 B 错误；重力势能由5 J 变化为3 J，重力势能变大，故 C 错误；重力做功等于重力势能的减少量，故 D 正确。2(人教版必修 2P78T2)(多选)神舟号载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的( )A飞船升空的阶段B飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段3C返回舱在大气层
6、以外向着地球做无动力飞行的阶段D降落伞张开后，返回舱下降的阶段答案 BC解析 飞船升空的阶段，火箭加速上升，势能和动能都增加，故机械能增加，A 错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力做功，故机械能守恒，B 正确；返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段，只有引力做功，故机械能守恒，C 正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，由于克服阻力做功，故机械能减少，D 错误。3(人教版必修 2P78T3改编)(多选)如图所示，在地面上以速度 v0抛出质量为 m的物体，抛出后物体落到比地面低 h 的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A重力对物体做的功为 m
7、ghB物体在海平面上的势能为 mghC物体在海平面上的动能为 mv mgh12 20D物体在海平面上的机械能为 mv12 20答案 AD解析 从地面到海平面重力对物体做功为 mgh，故 A 正确；地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为 mgh，故 B 错误；物体在地面上的机械能为 mv ，由机械能守12 20恒得，物体在海平面上的机械能也为 mv ，故 D 正确；在海平面上的动能为 mv ( mgh)12 20 12 20 mv mgh，故 C 错误。12 20考点细研 悟法培优考点 1 机械能守恒的理解与判断1机械能守恒定律的理解(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在
8、内。(2)当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。(3)“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用” ，在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功或所做功代数和为零，机械能仍守恒。42机械能是否守恒的判断方法(1)用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系统机械能的总和是否变化。(2)用做功判断：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
9、(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。例 1 (多选)下列关于机械能是否守恒的叙述正确的是( )A做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒B做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒C合外力对物体做的功为零时，机械能一定守恒D只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒解题探究 (1)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒吗？提示：不一定，竖直面内的匀速直线运动机械能一定不守恒。(2)机械能守恒的条件是什么？提示：只有重力或系统内弹力做功。尝试解答 选 BD。做匀速直线运动的物体，除了重力或弹力做功外，可能还有其他力做功，所以机械能不一定守恒
10、，A 错误。做匀变速直线运动的物体，可能只受重力或只有重力做功(如自由落体运动)，物体机械能可能守恒，B 正确。合外力对物体做功为零时，说明物体的动能不变，但势能有可能变化，C 错误。D 中的叙述符合机械能守恒的条件，D 正确。总结升华判断机械能守恒应注意的“两点”(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用” 。2 对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。变式 1 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )5A甲图中，物体 A 将弹簧压缩的过程中， A 机械能守恒B乙
11、图中， A 置于光滑水平面上，物体 B 沿光滑斜面下滑，物体 B 机械能守恒C丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时 A 加速下落， B 加速上升过程中， A、 B 系统机械能守恒D丁图中，小球在竖直平面内来回摆动(不计空气阻力)，小球的机械能守恒答案 CD解析 甲图中重力和弹力做功，物体 A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体 A 机械能不守恒，A 错误；乙图中物体 B 除受重力外，还受弹力，弹力对 B 做负功，机械能减小，机械能不守恒，但从能量特点看 A、 B 组成的系统机械能守恒，B 错误；丙图中绳子张力对A 做负功，对 B 做正功，代数和为零， A、 B 系统机械能守恒，C 正确；丁图中小
12、球在竖直平面内来回摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，D 正确。考点 2 单个物体的机械能守恒求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体系统，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。(4)选取方便的机械能守恒定律方程形式( Ek1 Ep1 Ek2 Ep2、 Ek Ep)进行求解。例 2 (多选)如图所示，两个质量相同的小球 A、 B，用细线悬挂在等高的 O1、 O2点，6A 球的悬
13、线比 B 球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，则经最低点时(以悬点所在的水平面为参考平面)( )A B 球的动能大于 A 球的动能B A 球的动能大于 B 球的动能C A 球的机械能大于 B 球的机械能D A 球的机械能等于 B 球的机械能解题探究 (1)以悬点所在的水平面为参考平面，两小球的机械能为多少？提示：零。(2)经最低点时， A、 B 重力势能均为负值， A、 B 的重力势能谁比较大？提示： B 球重力势能大。尝试解答 选 BD。空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故 C错误，D 正确；到最低点时 A 球减少的重力势能较多，增
14、加的动能较多，故 A 错误，B 正确。总结升华1机械能守恒定律的应用技巧(1)应用机械能守恒定律的前提是“守恒” ，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。(2)列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。2用机械能守恒定律解决非质点问题(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条” “液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。(2)物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整
15、体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用 mv2表示。12变式 21 如图所示，粗细均匀，两端开口的 U 形管内装有同种液体，管中液柱总长度为 4h，开始时使两边液面高度差为 h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )7A. B. C. D. 18gh 16gh 14gh 12gh答案 A解析 液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此题等效为原右侧 高的液柱移到左侧(如图所示)，其重心高度下降了 ，减少的重力势能转化为
16、液h2 h2柱整体的动能，设液体的总质量为 4m，则有 mg (4m)v2，得 v ，A 正确。12 h2 12 gh8变式 22 (2018成都石室中学二诊)某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为 的斜面轨道 AB 和圆弧轨道 BCD 组成，使质量 m0.1 kg 的小球从轨道 AB 上高 H 处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D 时对轨道的压力 F，改变 H 的大小，可测出相应的 F 大小， F 随 H 的变化关系如图乙所示，取 g10 m/s 2。(1)求圆轨道的半径 R；(2)若小球从 D 点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心 O
17、 等高，求 的值。8答案 (1)0.2 m (2)45解析 (1)小球经过 D 点时，满足竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即F mg mv2R从开始到 D 的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有： mg(H2 R) mv212联立解得： F H5 mg2mgR由题中给出的 F H 图象知斜率k N/m10 N/m5 01.0 0.5即 10 N/m2mgR所以可得 R0.2 m。(2)小球离开 D 点做平抛运动，根据几何关系知，小球落点越低平抛的射程越小，即题设中小球落点位置最低对应小球离开 D 点时的速度最小。根据临界条件知，小球能通过 D 点时的最小速度为v0 gR小球在斜面上的落
18、点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为 R所以小球平抛的射程s v0t v0 R2Rg gR 2Rg 2由几何关系可知， 45。考点 3 多物体组成的系统机械能守恒的应用1.系统机械能是否守恒的判断方法看是否有其他形式的能与机械能相互转化。2三种守恒表达式的比较角度 公式 意义 注意事项守恒观点Ek1 Ep1 Ek2 Ep2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能9转化观点 Ek Ep系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点 EA 增 E
19、B 减若系统由 A、 B 两物体组成，则 A 物体机械能的增加量与 B 物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题3几种常见类型类型一：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。类型二：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度 相等确定线速度 v 的大小。b “关联速度法
20、”：两物体沿杆方向速度大小相等。杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。10类型三：轻弹簧连接的物体系统(1)题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。(2)两点提醒对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。例 3 如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块 A 和 B， B 的下面通过
21、轻绳连接物块 C， A 锁定在地面上。已知 B 和 C 的质量均为 m， A 的质量为 m， B 和32C 之间的轻绳长度为 L，初始时 C 离地的高度也为 L。现解除对 A 的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为 g。求：(1)A 刚上升时的加速度大小 a；(2)A 上升过程的最大速度大小 vm；(3)A 离地的最大高度 H。解题探究 (1) C 落地后， A 加速还是减速？提示：减速。(2)A 离地最高时， B 可能在哪里？提示： B 可能已落地，也可能还未落地。尝试解答 (1) g (2) (3) L17 27gL 127(1)解除对 A 的锁定后， A
22、加速上升， B 和 C 加速下降，加速度大小 a 相等，设轻绳对A 和 B 的拉力大小为 T，由牛顿第二定律得对 A： T mg ma32 32对 B、 C：( m m)g T( m m)a联立解得： a g。17(2)C 落地后， A 的重力大于 B 的重力， A 减速上升，所以当物块 C 刚着地时， A 的速度最大。从 A 刚开始上升到 C 刚着地的过程，由机械能守恒定律得112mgL mgL (2m)v v32 12 2m 12(32m)2m解得 vm 。27gL(3)假设 C 落地后 A 继续上升 h 时速度为零，此时 B 未触及地面， A 和 B 组成的系统满足机械能守恒定律mgh
23、mgh0 v32 12(m 32m)2m联立解得： h L57由于 h LmQ， LPmQ，所以 P 球所受绳的拉力大于 Q 球所受绳的拉力，故 C 项正确；向心加速度a 2 g，所以在轨迹的最低点， P、 Q 两球的向心加速度相同，故 D 项错误。v2L3. (2018山西右玉一模)一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道 1，再进入圆轨道 2，圆轨道 1 的半径为 R，圆轨道 2 的半径是轨道 1 的 1.8 倍，小球的质量为 m，若小球恰好能通过轨道 2 的最高点 B，则小球在轨道 1 上经过其最高点 A时对轨道的压力为( )19A2 mg B3 mg C4 mg
24、D5 mg答案 C解析 小球恰好能通过轨道 2 的最高点 B 时，有 mg ，小球在轨道 1 上经过其最mv2B1.8R高点 A 时，有 F mg ，根据机械能守恒，有 1.6mgR mv mv ，解得 F4 mg，根mv2AR 12 2A 12 2B据牛顿第三定律，小球在轨道 1 上经过其最高点 A 时对轨道的压力为 4mg，C 项正确。4. (2018贵阳模拟)如图所示，一质量为 m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于 O 点。将小球拉至 A 点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到 O点正下方与 A 点的竖直高度差为 h 的 B 点时，速度大小为 v。已知重力加速度为
25、 g，下列说法正确的是( )A小球运动到 B 点时的动能等于 mghB小球由 A 点到 B 点重力势能减少 mv212C小球由 A 点到 B 点克服弹力做功为 mghD小球到达 B 点时弹簧的弹性势能为 mgh mv212答案 D解析 小球由 A 点到 B 点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A 项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B 项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，即 mgh mv2，D 项正确；小球克服弹力所做的功12等于弹簧弹性势能增加量，C 项错误。
26、205. 如图所示，长为 L 的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的 垂在桌边，松手14后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )A. B. C. D432gL gL4 15gL4 gL答案 C解析 用等效法结合机械能守恒求解。以桌上 L 链条为研究对象，重心下降34L， mg L mv2，解得 v ，故 C 正确。58 34 58 12 15gL46如图所示，将一个内、外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口 A 点的正上方由静止开始下落，从 A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )A小球在半圆形槽内运动的
27、全过程中，只有重力对它做功B小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态C小球从 A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒D小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒答案 C21解析 小球在槽内运动的全过程中，从刚释放到最低点，只有重力做功，而从最低点开始上升过程中，除小球重力做功外，还有槽对球的作用力做负功，故 A 错误；小球在 A点加速度竖直向下，在最低点加速度竖直向上，故小球先处于失重状态，后处于超重状态，故 B 错误；小球在槽内运动的全过程中，从刚释放到最低点，只有重力做功，而从最低点开始上升过程中，除小球重力做功外，还有槽对球的作用力做负
28、功，所以小球的机械能不守恒，D 错误；小球从 A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，只有重力和系统内弹力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒，故 C 正确。7. 如图所示，一质量为 m 的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端与小球相连，另一端固定于 O 点。现将小球从 A 点由静止释放，沿竖直杆运动到 B 点，已知 OA 长度小于 OB长度，弹簧处于 OA、 OB 两位置时弹力大小相等， A、 B 两点间的距离为 h。在小球由 A 到 B的过程中，下列说法正确的是( )A弹簧处于 OA、 OB 两位置时的弹性势能不相等B小球在 B 点时的动能为 mghC小球的加速度等于重力加速度 g 的位置
29、只有一个D在弹簧与杆垂直时，小球机械能最小答案 BD解析 由于弹簧处于 OA、 OB 两位置时弹力大小相等，根据胡克定律可知弹簧形变量大小相等，根据同一轻弹簧的弹性势能只与形变量有关，可知弹簧处于 OA、 OB 两位置时的弹性势能相等，A 错误；在小球由 A 到 B 的过程中，由机械能守恒定律可知小球在 B 点时的动能为 Ek mgh，B 正确；在小球由 A 到 B 的过程中，当小球下落到与 O 点在同一水平位置时，即在弹簧与杆垂直时，在竖直方向上只受重力作用，加速度为重力加速度 g，在小球下落到轻弹簧恢复到原长时，在竖直方向上只受重力作用，加速度为重力加速度 g，所以在小球由 A 到 B 的
30、过程中，小球的加速度等于重力加速度 g 的位置有两个，C 错误；在整个过程中，小球的机械能与弹簧弹性势能之和不变，又弹簧与杆垂直时，弹簧弹性势能最大，可知小球机械能最小，D 正确。8. 如图所示直角边长为 R 的光滑等腰直角三角形和半径为 R 的光滑圆柱的一部分无缝相接，质量分别为 2m 和 m 的物体 A 和小球 B 通过一根不可伸长的细线相连，小球 B 恰好位于桌面上。小球 B 可视为质点，若从静止释放小球 B，当其运动到圆柱顶点时，则( )22A物体 A 的速度大小为 23gRB物体 A 的速度大小为 gR 23C绳的张力对物体 B 所做的功为 mgR( 86 )D绳的张力对物体 B 所
31、做的功为 mgR23答案 BC解析 以 A、 B 和绳为研究对象，由机械能守恒得 (2m m)v22 mg mgR，12 (2 R8 R)解得 v ，B 正确，A 错误；以 B 为研究对象，根据动能定理得gR 23W mgR mv2，解得 W mgR ，C 正确，D 错误。12 ( 86 )9. (2018重庆六校联考)如图所示，圆心在 O 点、半径为 R 的光滑圆弧轨道 ABC 竖直固定在水平桌面上， OC 与 OA 的夹角为 60，轨道最低点 A 与桌面相切。一足够长的轻绳两端分别系着质量为 m1和 m2的小球(均可视为质点)，挂在圆弧轨道光滑边缘 C 的两边，开始时 m1位于 C 点，然
32、后从静止释放，小球 m1能够沿圆弧轨道运动到水平桌面上。不计空气阻力，则( )A在 m1由 C 点下滑到 A 点的过程中两球速度大小始终相等B在 m1由 C 点下滑到 A 点的过程中重力对 m1做功的功率一直增大23C若 m1恰好能沿圆弧下滑到 A 点，则 m12 m2D在 m1由 C 点下滑到 A 点的过程中轻绳对 m2做的功等于 m2的机械能增加量答案 CD解析 在 m1由 C 点下滑到 A 点的过程中两球速度沿轻绳方向的分速度大小始终相等，A 错误； m1在 C 点速度为零，重力的功率为零，运动到 A 点时 m1的速度方向沿水平方向，与重力的夹角为 90，重力的功率也为零，而在圆弧轨道其
33、他位置 m1的重力的功率不为零，所以在 m1由 C 点下滑到 A 点的过程中重力对 m1做功的功率不会一直增大，B 错误；若 m1恰好能沿圆弧下滑到 A 点，由机械能守恒定律， m1gR(1cos60) m2gR，解得 m12 m2，C正确；对 m2，由功能关系可知，在 m1由 C 点下滑到 A 点的过程中轻绳对 m2做的功等于 m2的机械能增加量，D 正确。10. 如图所示，在长为 L 的轻杆中点 A 和端点 B 处各固定一质量为 m 的球，杆可绕无摩擦的轴 O 转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。在杆转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )A B 球机械能守恒B A、 B 球、轻杆、
34、地球组成的系统机械能守恒C杆转到竖直位置时 A 的速度 vA12gL5D杆对 B 做功为 0.2mgL答案 BD解析 如果把轻杆、地球、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒，故 B 正确。杆对 B 球做功， B 球机械能不守恒，A 错误。设当杆转到竖直位置时， A 球和 B 球的速度分别为 vA和 vB，由系统机械能守恒，可得 mgL mgL mv mv ，又因 A 球与 B 球在各个时刻对应的角速度相同，故12 12 2A 12 2BvB2 vA，由以上两式得 vA ， vB ，故 C 错误。根据动能定理，可解出杆对3gL5 12gL5A 球
35、、 B 球做的功，对于 A 球有 WA mg mv 0，所以 WA0.2 mgL，对于 B 球有L2 12 2AWB mgL mv 0，所以 WB0.2 mgL，故 D 正确。12 2B二、非选择题(本题共 2 小题，共 30 分)2411. (14 分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平面 AB 平齐，静止放于倾角为 53的光滑斜面上。一长为 L9 cm 的轻质细绳一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m1 kg 的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置 C 由静止释放，小球到达最低点 D 时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压
36、缩量为 x5 cm。(取 g10 m/s 2，sin530.8，cos530.6)求：(1)细绳受到的拉力的最大值；(2)D 点到水平线 AB 的高度 h；(3)弹簧所获得的最大弹性势能 Ep。答案 (1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J解析 (1)小球由 C 到 D，由机械能守恒定律得：mgL mv ，解得 v1 12 21 2gL在 D 点，由牛顿第二定律得 F mg m v21L由解得 F30 N，由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为 30 N。(2)由 D 到 A，小球做平抛运动， v 2 gh2ytan53 vyv1联立解得 h16 cm。(3)小球从 C 点到将弹簧
37、压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Ep mg(L h xsin53)，代入数据解得： Ep2.9 J。12(16 分) 一半径为 R 的半圆形竖直圆弧面，如图所示，用轻质不可伸长的细绳连接的 A、 B 两球悬挂在圆弧面边缘两侧， A 球质量为 B 球质量的 2 倍，现将 A 球从圆弧边缘处由静止释放。已知 A 球始终不离开圆弧内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：25(1)A 球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小；(2)A 球沿圆弧内表面运动的最大位移。答案 (1)2 (2) R2 25 gR 3解析 (1)设 A 球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小为 v， B 球的质量为 m，则根据机械能守恒定律有2mgR mgR 2mv2 mv212 12 2B由图甲可知， A 球的速度 v 与 B 球速度 vB的关系为vB v1 vcos45联立解得 v2 。2 25 gR(2)当 A 球的速度为零时， A 球沿圆弧内表面运动的位移最大，设为 x，如图乙所示，由几何关系可知 A 球下降的高度h x2R 4R2 x2根据机械能守恒定律有 2mgh mgx0，解得 x R。326
