1、1天津市红桥区 2019 届高三数学下学期一模考试试题 文本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利！参考公式：柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高ShV柱 体 h锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高31锥 体 S球的体积公式 ，其中 表示球的半径4R球第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他
2、答案标号。2本卷共 8 题，每小题 5 分，共 40 分。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）若 为虚数单位，则ii1A. B. C. D. 11（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为yx,0254yxxyz2A. B. C. D.7531（3）若 ，则 为xRpsin,:1p2A. B. 1sin,00xRxRsin,1C. D. （4）已知 ， ， ，则 的大小关系为4log3a31)(b5log31ccba,A. B. C. D. caba（5）若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是0ab4bA. B. C. D.211a2ab812ba（6
3、）设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的nqqnA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（7）双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直132yxC： )0,(baOFCF线与 的两条渐近线的交点分别为 、 ，若 为直角三角形，则 MNMNA. B. C. D. 2 323（8）已知函数 ， ，在曲线 与直xxfcossin3)(0Rx)(xfy线 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 的最小正周期为1y 3)(fA. B. C. D. 24二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分（9）已知集合 ，
4、则集合 中的元素的个数为 Z,1|),(U2yxyx U.（用数字填写）_（10）已知函数 ，则 的最大值为xfln)()(f.（11）圆 的圆心到直线1)(:2yxC3的距离为 ，则 的值为 .0:ayxl）（ 2a_（12）运行如图所示的程序，输出结果为_.（13）平面 截球 的球面所得圆的半径为 ，球心 到平面 的距离为 ，则此球O1O2的体积为 ._（14）已知函数 ， ，若 存在两个零点，0,ln)(xef kxfg)()(xg则实数 的取值范围是_.k三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本小题满分 分）13在 中，内角 所对的
5、边分别是 .已知 ,ABC, cba, BcAsin3i， .3a2cos（）求： 的值；b（）求： 的值.3sB（16）（本小题满分 分）13根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：4社团 街舞 围棋 武术人数 3204020为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少 人.n 2（）求三个社团分别抽取了多少同学； （）若从“围棋”社团抽取的同学中选出 人担任该社团活动监督的职务，已知2“围棋”社团被抽取的同学中有 名女生，求至少有 名女同学被选为监督
6、职务的概率.1（17）（本小题满分 分）13如图，四面体 中, 、 分别是 、 的中点， ，ABCDOEBDC2ADB.2CBA5（）求证: 平面 ;AOBCD（）求异面直线 与 所成角的余弦值;（）求点 到平面 的距离.EBCDEO（18）（本小题满分 分）13设等差数列 的公差为 ， 为整数，前 项和为 ，等比数列 的公比nadnnSnb为 ，已知 ， ， ， ，nN*.q1b2q10S6()求数列 与 的通项公式；nab()设 ，求数列 的前 项和为 .ncncnT（19）（本小题满分 分）14设 分别是椭圆 的左、右焦点， ,直21F、 1:2byaxC)0(21F线 过 且垂直于 轴
7、，交椭圆 于 两点，连接 ，所组成的三角形为l1xBA、 2BA、7等边三角形.（）求椭圆 的方程；C（）过右焦点 的直线 与椭圆 相交于 两点，试问：椭圆 上是否存在2FmCNM、 C点 ，使 成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.PONMP（20）（本小题满分 分）14已知函数 ， .3)(23xaxf R（）若 ，求函数 的单调减区间；0af8（）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的范围.x1)(ln22axf a高三数学（文）参考答案一、选择题 每题 5 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C A D D D B A二、填空题 每题 5 分9. 10. 11.
8、12. 126 13. 14.e13,1三、解答题15.（本小题满分 分）13（）由 ，得 ，2BcAbsinibca3分即 ，且 ，a3所以 ；1c3 分因为 .Bacbos225 分且 3cosB解得 6b7 分（）因为 ，所以 ，8 分32cosB35sinB则 ， 994ciin分9， 91cos2sB10 分又因为 .11 分3sin23cos23cs B.131854分16.（本小题满分 分）13（）根据“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团人数比为；5:6820:43因为“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少 人；2所以 三个社团分别抽取了 人 ；人 、人 、 568.
9、3 分（） 由（）知，从“围棋”社团抽取的同学为 6 人，其中 2 位女生记为 ;4 位男生记为 ;BA, FEDC,从中选出 2 人担任该社团活动监督的职务有 15 种不同的结果，EFCDBBA, ,9 分至少有 1 名女同学被选为监督职务有 9 种不同的结果，, FBEDCBFAEDCAB所以至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率 . .531.13 分1017. （本小题满分 分）13（）证明:因为 , ,所以DOBABDO在 中,由题设知 , ,AC31C2A所以 , .22.2 分因为 ，OBDAO,所以 平面 ;.C4 分ABCDEOM（）解:取 的中点 ,连接 、 、 ,由 为
10、 的中点,ACMOEB知 ,DEB/所以直线 与 所成的锐角就是异面直线 与 所成的角.ACD.6 分11在 中 , ,OME21AB1DCOE是直角 斜边 上的中线, ,C2AM；.4212cosE.8 分所以异面直线 与 所成角大小的余弦为 ;ABCD42（）解:设点 到平面 的距离为 .Eh,.CDAV.10 分CEACSOSh31在 中, ;2,A,7421ACDS, ,O23E则 ,721h.13 分所以点 到平面 的距离为 。EACD72118. （本小题满分 分）1312（）由题意有 ，210451da.2 分解得 或 （舍）， .21d9.4 分所以 ， 1na12nb.6 分
11、（）由题意知 ,12nnbac则 T1 .n10232n.8 分 .nT21n21321.9 分所以 -得： n nn21)(112.11 分即 ，nN* nnT231.12 分整理得： 。 1236nnT13 分1319.（本小题满分 分）14（） yoAB1F2由 可得 ， 21F1c.1 分等边三角形 中： ， ，.3 分2AB31F342A则 ，得 ，1Fa2.4 分又因为 ，所以 ，.22cb2b5 分则椭圆 ； 123:yxC.6 分（）设 、 ,),(1yxM)(2yNx14则由题意知的 斜率为一定不为 ,故不妨设 ,m0)1(:xkym代入椭圆 的方程中,123:yxC整理得
12、,.063)(22kk.8 分显然 .0由韦达定理有: , 23621kx2361kx9 分且 234)1(2121 kxky10 分假设存在点 ,使 成立,则其充要条件为:PONM点 ,.)(21yx.11 分点 在椭圆上,即 .P12)(3)(121yx整理得 126422121xyx分又 在椭圆上,即 , ，BA、 6321yx32y故由代入： ，解得 ,13 分04221k则 。.),3(P14 分1520.（本小题满分 分）14（）因为 ， 223)( axxf)(3ax2 分由 且 得： ， 0)(f 4 分所以函数 的单调减区间为 ； .)(xf ),3(a.5 分（）依题意 时， .)0(，x6 分不等式 恒成立，1)(ln22af等价于 在 上恒成立， xa3)0(，8 分令 ，)(xh21ln则 ， 2)1(3 xx10 分当 时， ， 单调递增； .)1,0(x0)(h)(.11 分当 ， ， 单调递减； )(， (x)(.12 分所以当 时， 取得最大值 ， .1x)(h2)1(h13 分16故 。 .2a14 分
