1、1第七节函数与方程突破点一 函数的零点问题基 本 知 识 1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 y f(x)的零点(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y f(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0 0 0)的图象与 x 轴的交点 (x1,0)，( x2,0) (x1,0) 无零点个数 _2_ _1_ _0_基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数的零点
2、就是函数的图象与 x 轴的交点( )(2)函数 y f(x)， x D 在区间( a， b)D 内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0，12 f(x)在 R 上单调递增，又 f(0)120，32函数 f(x)在定义域内有零点且只有一个答案：13若函数 f(x) ax12 a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_解析：当 a0 时，函数 f(x)1 在(1,1)上没有零点，所以 a0.所以函数 f(x)是单调函数，要满足题意，只需 f(1) f(1)0，所以由零点存在性定理得函数 f(x)的零点位于区间(2,3)上，故选 C.3法二：(数形结合)函数 f(x)
3、xln x3 的零点所在区间转化为 g(x)ln x， h(x) x3 的图象的交点横坐标所在范围如图所示，可知 f(x)的零点在(2,3)内答案 C方法技巧 判断函数零点(方程的根)所在区间的方法解方程法 当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上定理法 利用零点存在性定理进行判断数形结合法画出相应的函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断考法二 函数零点个数的判断 例 2 (1)(2019南昌模拟)函数 f(x) x x的零点个数为( )12(12)A0 B1C2 D3(2)(2019保定模拟)已知函
4、数 f(x)Error!则函数 g(x) ff(x)1 的零点个数为( )A1 B3C4 D6解析 (1)法一：(定理法) f(0)1， f(1) ， f(0)f(1)0，根据函数零点的存在性定理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1,2)内故选 D.2. 方程 x x 的解所在的区间是( )考 法 一 (13) 2A. B.(0，13) (13， 12)C. D.(12， 23) (23， 1)解析：选 B 令函数 f(x) x x ，易知函数 f(x)为0，)上的减函数又 f(0)(13) 210， f 0， f 0 时， f(x)2 x2 x4，则 f(x)的考 法 二 零点个数是( )A2 B3C4 D5解析： 选 B 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0.因为 f(x)在5(0，)上单调递增， f f(2)0 时函数 f(x)有 1 个零点根据奇函数的(12)对称性可知，当 x0 时， f(x)单调递增，且 f(x) a. f(x)在 R 上有两个零点，Error!解得 01 时，有 2 个交点，符合题意综上， a 的取值范围为1，)故选 C.7
