1、1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题概念 使用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类 真命题、假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4.3充分条件与必要条件若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件p 成立的对象的集合为 A， q 成立的对象的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件 pq 且 q p A 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 qp B 是
2、 A 的真子集p 是 q 的充要条件 pq A Bp 是 q 的既不充分又不必要条件p q 且 q p A， B 互不包含集合与充要条件小题体验1(2019昆山中学检测)下列有关命题的说法不正确的有_个命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1” ；“ x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件；命题“ x0R ， x x010”的否定是“ xR， x2 x10” ；20命题“若 x y，则 sin xsin y”的逆否命题为真命题答案：32设 A， B 是两个集合，则“ A B A”是“ AB”的_条件(填“充分不必要”2“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”)答
3、案：充要3(2019南通中学检测)命题“若 x2 y21，则 x y2”的否命题为_答案：若 x2 y21，则 x y24 “x1”是“ x 2”的_条件1x解析：若 x0，则 x 2 2，当且仅当 x1 时取等号，显然1，) 1x x1x(0 ，)，所以 x1 是 x 2 的充分不必要条件1x答案：充分不必要1易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论2易忽视 A 是 B 的充分不必要条件( AB 且 B A)与 A 的充分不必要条件是 B(BA/且 A B)两者的不同小题纠偏1(2019海门中学检测)已知 ， 表示两个不同平面，直线 m 是 内
4、一条直线，则“ ”是“ m ”的_条件答案：充分不必要2 “在 ABC 中，若 C90，则 A， B 都是锐角”的否命题为：_.解析：原命题的条件：在 ABC 中， C90，结论： A， B 都是锐角否命题是否定条件和结论即“在 ABC 中，若 C90，则 A， B 不都是锐角” 答案：在 ABC 中，若 C90，则 A， B 不都是锐角考 点 一 四 种 命 题 相 互 关 系 及 真 假 判 断 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1(2018启东中学期末检测)能够说明“设 a， b 是任意实数，若 a2 b2，则 a b”是假命题的一组整数 a， b 的值依次为_解析：可
5、令 a1， b2，满足 a2 b2，但 a b.答案：1，2(答案不唯一)32(2019常州一中测试)命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是 4_解析：命题的条件是 p： ，结论是 q：tan 1.由命题的四种形式，可知命题 4“若 p，则 q”的逆否命题是“若非 q，则非 p”，显然非 q：tan 1，非 p： ，所 4以该命题的逆否命题是“若 tan 1，则 ” 4答案：若 tan 1，则 43给出以下四个命题：“若 xy1，则 x， y 互为倒数”的逆命题；(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2 x q0 有实根”的逆否命题；若 ab 是正整数，则 a， b
6、都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：命题“若 xy1，则 x， y 互为倒数”的逆命题为“若 x， y 互为倒数，则xy1” ，显然为真命题；不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故为真命题；若 ab 是正整数，但 a， b 不一定都是正整数，例如 a1， b3，故为假命题答案：谨记通法1判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题
7、的真假2谨防 3 类失误(1)如果原命题是“若 p，则 q”，则否命题是“若綈 p，则綈 q”，而命题的否定是“若 p，则綈 q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)(2)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提考 点 二 充 分 、 必 要 条 件 的 判 定 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领41(2019泰州中学高三学情调研)“ a0”是“函数 f(x) x3 ax2(xR)为奇函数”的_条件解析：当 a0 时， f(x) x3，所以函数 f(x)是奇函数，当函数
8、f(x) x3 ax2(xR)为奇函数时， f( x) x3 ax2 f(x) x3 ax2，所以 2ax20 恒成立，所以 a0.所以“ a0”是“函数 f(x) x3 ax2(xR)为奇函数”的充要条件答案：充要2已知条件 p： x y2，条件 q： x， y 不都是1，则 p 是 q 的_条件解析：因为 p： x y2，q： x1 或 y1，所以綈 p： x y2，綈 q： x1 且 y1，因为綈 q綈 p 但綈 p 綈 綈 q，所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件答案：充分不必要由题悟法充分、必要条件的 3 种判断方法(1)定义法：根据 pq， qp
9、 进行判断；(2)集合法：根据 p， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“ xy1”是“ x1 或 y1”的某种条件，即可转化为判断“ x1 且 y1”是“ xy1”的某种条件即时应用1(2018苏州新区实验中学测试)在 ABC 中， “A60”是“cos A ”的12_条件解析：当 A60时，可以推得 cos A ；当 cos A 时，由于 A(0，)，也可以12 12推得 A60，故“ A60”是“cos A ”的充要条件. 即“ A60”是“cos 1
10、2A ”的充要条件12答案：充要2设 p： x2 x200， q：log 2(x5)2，则 p 是 q 的_条件解析：因为 x2 x200，所以 x5 或 x4，所以 p： x5 或 x4.因为log2(x5)2，所以 0 x54，即 5 x9，所以 q：5 x9，因为 x|5 x95 x|x5 或 x4，所以 p 是 q 的必要不充分条件答案：必要不充分3设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n”是“mn0”的_条件解析：因为 m n，所以 mn nn |n|2.当 0，n0 时，mn0.反之，由 mn|m|n|cosm，n0cosm，n 0m，n ，( 2， 当m，n 时，m，
11、n 不共线( 2， )故“存在负数 ，使得 m n”是“mn0”的充分不必要条件答案：充分不必要考 点 三 充 分 、 必 要 条 件 的 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1已知集合 A x|ylg(4 x)，集合 B x|x a，若“ x A”是“ x B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知 A x|x4，且 A B，所以 a4.答案：(4，)2(2019响水中学检测)设 p： x22 x0， q：( x m)(x m3)0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是_解析：由 x22 x0，得 0 x2，即 p：0 x2，
12、由( x m)(x m3)0，得 m x m3，即 q： m x m3，若 p 是 q 的充分不必要条件，则Error! 即1 m0.答案：1,0由题悟法根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象即时应用1(2018兴化三校联考)已知 p： x a， q： x22 x30，若 p 是 q 的充分不必要6条件，则实数 a
13、 的取值范围是_解析：由 x22 x30，得 x1 或 x3，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 x|x ax|x1 或 x3，所以 a3.答案：3，)2已知“命题 p：( x m)23( x m)”是“命题 q： x23 x40”成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为_解析：命题 p： x m3 或 x m，命题 q：4 x1.因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以 m34 或 m1，故 m7 或 m1.答案：(，71，)3(2019高邮中学检测)若关于 x 的不等式 x22 x3 a0 成立的一个充分条件是1 x4，则实数 a 的取值范围是_解析：不等式 x22 x3 a0
14、 成立的一个充分条件是 1 x4，当 1 x4 时，不等式 x22 x3 a0 成立设 f(x) x22 x3 a，则满足Error! 即Error! 解得 a11.答案：11，) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019张家港外国语学校检测)命题“若 x24 x30，则 x3”的逆否命题是_答案：若 x3，则 x24 x302(2019苏州实验中学检测)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.命题甲：A C2 B，且 a c2 b；命题乙： ABC 是正三角形，则命题甲是命题乙的_条件答案：充要3 “m3”是“两直线 l1： mx3 y20 和 l2： x( m2
15、) y m10 平行”的_条件答案：充要4(2018南京模拟)有下列命题：7“若 a b，则 a2 b2”的否命题；“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2 x2”的逆否命题其中真命题的序号是_解析：原命题的否命题为“若 a b，则 a2 b2”，假命题原命题的逆命题为：“若 x， y 互为相反数，则 x y0” ，真命题原命题的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24” ，真命题答案：5若 x5 是 x a 的充分条件，则实数 a 的取值范围为_解析：由 x5 是 x a 的充分条件知， x|x5 x|x a，所以 a5.答案：(，56(2018苏州中学检测)
16、已知集合 A x|x(x3)0， B x|x1|2，则“x A”是“ x B”的_条件解析：因为集合 A(0,3)，集合 B(1,3)，所以“ x A”是“ x B”的充分不必要条件答案：充分不必要 二保高考，全练题型做到高考达标1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数” 答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”2(2018南通中学高三测试)已知 a， b 都是实数，命题 p： a b2；命题 q：直线x y0 与圆( x a)2( y b)22 相切，则 p 是 q 的_条件解析：圆( x a)2( y b)2
17、2 的圆心为( a， b)，半径 r ，直线 x y0 与圆相切，2则圆心到直线的距离 d ，解得| a b|2.即 a b2，所以 p 是 q 的充分不|a b|1 1 2必要条件答案：充分不必要3(2018南通模拟)设 a， b 都是不等于 1 的正数，则“3 a3 b3”是“loga3log b3”的_条件解析：因为 3a3 b3，所以 a b1，此时 loga3log b3；反之，若 loga3log b3，则不一定得到 3a3 b3，例如当 a ， b 时，log a3log b3 成立，但推不出 a b1.12 13故“3 a3 b3”是“log a3log b3”的充分不必要条件
18、答案：充分不必要4(2019无锡一中检测)给出下列说法：8“若 x y ，则 sin xcos y”的逆命题是假命题； 2“在 ABC 中，sin Bsin C 是 B C 的充要条件”是真命题； x3 是| x|3 的充分不必要条件；命题“若 x1，则 x22 x30”的否命题为“若 x1，则 x22 x30” 以上说法正确的是_(填序号)解析：对于， “若 x y ，则 sin xcos y”的逆命题是“若 sin xcos y，则 2x y ”，当 x0， y 时，有 sin xcos y 成立，但 x y ，故逆命题为假命 2 32 32题，正确；对于，在 ABC 中，由正弦定理得 s
19、in Bsin Cb cB C，正确；对于，因为| x|3 x3，所以 x3 是| x|3 的必要不充分条件，故错误；对于，根据否命题的定义知正确答案：5(2018南通一中高三测试)已知命题 p： a x a1，命题 q： x24 x0，若 p是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_解析：令 M x|a x a1， N x|x24 x0 x|0 x4因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 M N，所以Error!解得 0 a3.答案：(0,3)6设 p：实数 x， y 满足( x1) 2( y1) 22， q：实数 x， y 满足Error!则 p 是 q 的_条件解析： p 表示以
20、点(1,1)为圆心， 为半径的圆面(含边界)，如2图所示 q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)由图可知， p 是 q 的必要不充分条件答案：必要不充分7在命题“若 m n，则 m2 n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是_解析：若 m2， n3，则 23，但 223 2，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若 m3， n2，则(3) 2(2) 2，但32，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题故假命题的个数为 3.答案：38(2018常熟中学测试)给定下列命题：若 k0，则方程 x22 x k0 有实数根；9若 x y8，则 x2 或 y6；“ a1”是“直线 x ay
21、0 与直线 x ay0 互相垂直”的充要条件；“若 xy0，则 x， y 中至少有一个为零”的否命题其中真命题的序号是_解析：因为 44( k)44 k0，所以是真命题；其逆否命题为真；故是真命题；“ a1”是“直线 x ay0 与直线 x ay0 互相垂直”的充要条件，故是假命题；否命题：“若 xy0，则 x， y 都不为零”是真命题答案：9(2018天一中学期末)已知 p：| x1|2， q： x22 x1 a20( a0)，若 q 是p 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是_解析：由| x1|2，得 x12 或 x12，即 x3 或 x1.由 x22 x1 a20( a0)，得 x
22、(1 a)x(1 a)0，即 x1 a 或 x1 a， a0.若 q 是 p 的必要不充分条件，则Error! 解得 0 a2.答案：(0,210设等比数列 an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，则“| q|1”是“ S42 S2”的_条件解析：因为等比数列 an的前 n 项和为 Sn，又 S42 S2，所以 a1 a2 a3 a42( a1 a2)，所以 a3 a4 a1 a2，所以 q21| q|1，所以“| q|1”是“ S42 S2”的充要条件答案：充要11(2019南师大附中检测)设 p：实数 x 满足 x22 ax3 a20( a0)， q：实数 x满足 x22 x80，且綈 p
23、 是綈 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围解：由 x22 ax3 a20( a0)，得3 a x a，即 p：3 a x a.由 x22 x80，得4 x2，即 q：4 x2.因为綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，所以 p 能推出 q， q 不能推出 p，所以 x|3 a x a x|4 x2，即Error! 或Error!解得 0 a ，故 a 的取值范围是 .43 (0， 4312已知集合 AError!， B x|x23 x40， C x|log 12x1，命题 p：实数 m为小于 6 的正整数， q： A 是 B 成立的充分不必要条件， r： A 是 C 成立的必要不充分条10
24、件若命题 p， q， r 都是真命题，求实数 m 的值解：因为命题 p 是真命题，所以 0 m6， mN，所以 AError!Error! .由题意知， B x|x23 x40 x|1 x4，C Error!.x|logx 1因为命题 q， r 都是真命题，所以 A B， C A，所以Error! 由得 m1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1设 an是公比为 q 的等比数列，则“ q1”是“ an为递增数列”的_条件解析：当等比数列 an的首项 a10，公比 q1 时，如 an2 n是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列 an为递增数列，则Error! 或Error!所以必要性不成立
25、，即“ q1”是“ an为递增数列”的既不充分也不必要条件答案：既不充分也不必要2(2018苏州木渎中学测试)若命题“ ax22 ax30 不成立”是真命题，则实数a 的取值范围为_解析：由题意知 ax22 ax30 恒成立，当 a0 时，30 成立；当 a0 时，由Error!得3 a0，综上，实数 a 的取值范围为3,0答案：3,03已知集合 A x|x26 x80， B x|(x a)(x3 a)0(1)若 x A 是 x B 的充分条件，求 a 的取值范围；(2)若 A B，求 a 的取值范围解： A x|x26 x80 x|2 x4，B x|(x a)(x3 a)0(1)当 a0 时， B，不合题意当 a0 时， B x|a x3 a，要满足题意，11则Error! 解得 a2.43当 a0 时， B x|3a x a，要满足题意，则Error! 无解综上， a 的取值范围为 .43， 2(2)要满足 A B，当 a0 时， B x|a x3 a则 a4 或 3a2，即 0 a 或 a4.23当 a0 时， B x|3a x a，则 a2 或 a ，即 a0.43当 a0 时， B， A B.综上， a 的取值范围为 4，)( ，2312
