1、1第三节 函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就
2、叫做f(x)的最小正周期小题体验1已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x) x2 ，则 f(1)1x_.答案：22若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1， f(2)2，则 f(8) f(14)_.答案：13若函数 f(x)( a1) x2( a1) x a21 是奇函数，则实数 a 的值是_解析：由于函数 f(x)的定义域为 R，又函数 f(x)是奇函数，故 f(0)0，解得 a1或 a1(舍去)，经检验 a1 时符合题意答案：11判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数
3、f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f( x) f(x)或2f( x) f(x)，而不能说存在 x0使 f( x0) f(x0)或 f( x0) f(x0)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性小题纠偏1已知 f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数，那么 a b_.解析：因为 f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数，所以 a12 a0，所以a .又 f( x) f(x)，所以 b0，所以 a b .13 13答案：132函数 f(x)Error!的奇偶性为_解析：因为 x0，故 f(x
4、)的定义域关于原点对称当 x0 时， x0，所以 f( x)log 2x f(x)当 x0 时， x0，所以 f( x)log 2( x) f(x)故 f( x) f(x)，所以 f(x)为偶函数答案：偶函数考 点 一 函 数 奇 偶 性 的 判 断 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；1 x2 x2 1(2)f(x) ；3 2x 2x 3(3)f(x)3 x3 x；(4)f(x) ；4 x2|x 3| 3(5)(易错题) f(x)Error!解：(1)因为由Error!得 x1，所以 f(x)的定义域为1,1又 f(1) f(1)0，
5、f(1) f(1)0，即 f(x) f( x)所以 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)因为函数 f(x) 的定义域为 ，不关于坐标原点对称，3 2x 2x 3 32所以函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)因为 f(x)的定义域为 R，3所以 f( x)3 x3 x(3 x3 x) f(x)，所以 f(x)为奇函数(4)因为由Error!得2 x2 且 x0.所以 f(x)的定义域为2,0)(0,2，所以 f(x) ，4 x2|x 3| 3 4 x2 x 3 3 4 x2x所以 f( x) f(x)，所以 f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当 x
6、0 时， f(x) x2 x，则当 x0 时， x0，故 f( x) x2 x f(x)；当 x0 时， f(x) x2 x，则当 x0 时， x0，故 f( x) x2 x f(x)，故原函数是偶函数谨记通法判定函数奇偶性的 3 种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设 f(x)， g(x)的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶” 提醒 (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f( x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x都
7、满足相同的关系时，才能判断其奇偶性考 点 二 函 数 的 周 期 性 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f(x)，当 x0,2时，4f(x)2 x x2.(1)求证： f(x)是周期函数；(2)计算 f(0) f(1) f(2) f(2 018)解：(1)证明：因为 f(x2) f(x)，所以 f(x4) f(x2) f(x)所以 f(x)是周期为 4 的周期函数(2)因为 f(0)0， f(1)1， f(2)0， f(3) f(1)1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(0) f(1) f
8、(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7) f(2 012) f(2 013) f(2 014) f(2 015)0.所以 f(0) f(1) f(2) f(2 018) f(2 016) f(2 017) f(2 018) f(0) f(1) f(2)1.由题悟法1判断函数周期性的 2 个方法(1)定义法(2)图象法2周期性 3 个常用结论(1)若 f(x a) f(x)，则 T2 a.(2)若 f(x a) ，则 T2 a.1f x(3)若 f(x a) ，则 T2 a(a0)1f x即时应用1(2018镇江调研)已知 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的函数，且 f( x
9、) f(x)0，当 0 x2 时， f(x)2 x1，则 f(21) f(16)_.解析：由 f( x) f(x)0，知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)0.又 f(x4) f(x)，且当 0 x2 时， f(x)2 x1， f(21) f(16) f(1) f(0) f(1)(2 11)1.答案：12已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时， f(x) x3 x，则函数 y f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为_解析：因为当 0 x2 时， f(x) x3 x，又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)0，所以
10、f(6) f(4) f(2) f(0)0.5又 f(1)0，所以 f(3) f(5)0.故函数 y f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为 7.答案：7 考 点 三 函 数 性 质 的 综 合 应 用 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主多以填空题形式出现常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合 题点全练角度一：奇偶性的
11、应用1(2018连云港模拟)函数 y f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 x，则当x0 时， f(x)_.解析： x0 时， x0，因为 x0 时， f(x)2 x，所以当 x0 时， f( x)2 x.因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以当 x0 时， f(x) f( x)2 x.答案：2 x角度二：单调性与奇偶性结合2已知函数 f(x)Error!是奇函数，且函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，则实数 a 的取值范围为_解析：当 x0 时， x0， f(x) f( x)( x)22( x) x22 x， x0，所以 m2，所以 f(x)的单调递增区间为1，1，因
12、此1， a21,1 1 a211 a3.答案：(1,3角度三：周期性与奇偶性结合3(2019江阴期中)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并满足 f(x2) ，1f x当 1 x2 时 f(x) x2，则 f(6.5)_.解析： f(x2) ，1f x f(x4) f(x2)2 f(x)，即函数 f(x)的周期为 4.1f x 26 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f( x) f(x)， f(6.5) f(1.5) f(1.5)0.5.答案：0.5角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4已知函数 y f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意 xR， f(x1) f(x1)成立，当 x(0,
13、1)且 x1 x2时，有 0，给出下列命题：f x2 f x1x2 x1 f(1)0； f(x)在区间2,2上有 5 个零点；点(2 018,0)是函数 y f(x)图象的一个对称中心；直线 x2 018 是函数 y f(x)图象的一条对称轴则正确命题的序号为_解析：在 f(x1) f(x1)中，令 x0，得 f(1) f(1)，又 f(1) f(1)，2 f(1)0， f(1)0，故正确；由 f(x1) f(x1)，得 f(x) f(x2)， f(x)是周期为 2 的周期函数， f(2) f(0)0，又当 x(0,1)且 x1 x2时，有0，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减，可作出函
14、数 f(x)的大致图象f x2 f x1x2 x1如图所示由图知正确，不正确，故正确命题的序号为.答案：通法在握函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解演练冲关1(2018启东中学月考)已知函数 f(x)在定义域2 a,3上是偶函数，在0,3上单调递减，且 f f( m22
15、m2)，则实数 m 的取值范围是_( m2a5)7解析：因为函数 f(x)在定义域2 a,3上是偶函数，所以 2 a30，所以 a5，所以 f f( m22 m2)，即 f( m21) f( m22 m2)由题意知偶函数 f(x)在( m2a5)3,0上单调递增，而 m210， m22 m2( m1) 210，所以由f( m21) f( m22 m2)，得Error!解得 1 m .212答案： 1 2，12)2设 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，若在区间2,0)(0,2上， f(x)Error! 则 f(2 018)_.解析：设 0 x2，则2 x0， f( x) ax b.f
16、(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，所以 f( x) f(x) ax1 ax b，所以 b1.而 f(2) f(24) f(2)，所以 2 a12 a1，解得 a ，所以 f(2 018) f(2)2 10.12 12答案：0 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通中学高三测试)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1)2，那么 f(0) f(1)_.解析：因为函数 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f( x) f(x)，f(1) f(1)2， f(0)0，所以 f(0) f(1)2.答案：22(2018南京三模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0
17、时， f(x)2 x2，则不等式 f(x1)2 的解集是_解析：偶函数 f(x)在0，)上单调递增，且 f(2)2.所以 f(x1)2，即 f(|x1|) f(2)，即| x1|2，所以1 x3.答案：1,33函数 f(x) x 1， f(a)3，则 f( a)_.1x解析：由题意得 f(a) f( a) a 1( a) 12.1a 1 a所以 f( a)2 f(a)1.答案：184函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时， f(x) 1，则当 x0 时， f(x)x_.解析：因为 f(x)为奇函数， x0 时， f(x) 1，x所以当 x0 时， x0，f(x) f( x)( 1)，
18、x即 x0 时， f(x)( 1) 1. x x答案： 1 x5(2019连云港高三测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x) x，则 f(2log 35)_.(13)解析：由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，得 f(2log 35) f(2log 35)，由于当 x0 时， f(x) x，(13)故 f(2log 35) f 39log5 .(log395) (13) 59答案：596(2018南通一调)若函数 f(x)Error!( a， bR)为奇函数，则 f(a b)_.解析：法一：因为函数 f(x)为奇函数，所以Error! 即Error!解得Err
19、or! 经验证 a1， b2 满足题设条件，所以 f(a b) f(1)1.法二：因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)的图象关于原点对称，由题意知，当 x0，二次函数的图象顶点坐标为 ，(b2， b24)当 x0，二次函数的图象顶点坐标为(1， a)，所以Error! 解得 a1， b2，经验证 a1， b2 满足题设条件，所以 f(a b) f(1)1.答案：1 二保高考，全练题型做到高考达标1(2018抚顺期末)设 f(x)是定义在2 b,3 b上的偶函数，且在2 b,0上为增函数，则 f(x1) f(3)的解集为_解析： f(x)是定义在2 b,3 b上的偶函数，2 b3 b0，9
20、 b3， f(x)是定义在6,6上的偶函数，且在6,0上为增函数， f(x)在0,6上为减函数，由 f(x1) f(3)，得| x1|3，解得2 x4， f(x1) f(3)的解集为 x|2 x4答案： x|2 x42(2019常州一中模拟)设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x1) f(x)1，且当x1,2时， f(x)2 x，则 f(2 018.5)_.解析：由 f(x1) f(x)1 在 R 上恒成立，得 f(x1) f(x)1，两式相减得f(x1) f(x1)0，即 f(x1) f(x1)恒成立，故函数 f(x)的周期是 2， f(2 018.5) f(0.5) f(1.5)，
21、又当 x1,2时， f(x)2 x， f(2 018.5) f(1.5)21.50.5.答案：0.53已知函数 f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数若f(2x1) f(1)0，则 x 的取值范围是_解析：函数 f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数，函数 f(x)在区间2,2上是单调减函数 f(2x1) f(1)0，即 f(2x1) f(1)， f(2x1) f(1)则Error! 解得1 x .12 x 的取值范围是 .( 1，12答案： ( 1，124(2018泰州期末)设 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 xln ，
22、记x4an f(n5)，则数列 an的前 8 项和为_解析：数列 an的前 8 项和为 f(4) f(3) f(3) f(4)( f(3) f(3)( f(2) f(2)( f(1) f(1) f(0) f(4) f(4) 16.(24 ln44)答案：165(2018徐州期中)已知函数 f(x)e xe x1(e 为自然对数的底数)，若 f(2x1) f(4 x2)2，则实数 x 的取值范围为_10解析：令 g(x) f(x)1e xe x，则 g(x)为奇函数，且在 R 上单调递增因为f(2x1) f(4 x2)2，所以 f(2x1)1 f(4 x2)10，即 g(2x1) g(4 x2)
23、0，所以 g(2x1) g(x24)，即 2x1 x24，解得 x(1,3)答案：(1,3)6(2019镇江中学测试)已知奇函数 f(x)在定义域 R 上是单调减函数，若实数 a 满足 f(2|2a1| ) f(2 ) 0，则 a 的取值范围是_2解析：由 f(2|2a1| ) f(2 )0，可得 f(2|2a1| ) f(2 )因为 f(x)为奇函2 2数，所以 f(2|2a1| ) f(2 )因为 f(x)在定义域 R 上是单调减函数，所以 2|2a1| 2 ，2 2即|2 a1| ，解得 a .32 14 54答案： (14， 54)7(2019苏州调研)已知奇函数 f(x)在(，0)上
24、单调递减，且 f(2)0，则不等式 0 的解集为_f xx 1解析：由 0，可得Error!或Error!因为奇函数 f(x)在(，0)上单调递减，f xx 1所以 f(x)在(0，)上单调递减，且 f(2) f(2)0，所以当 x1 时， f(x)0 的解集为(1,2)；当 x1 时， f(x)0 的解集为(2,0)所以不等式 0 的解集为(2,0)(1,2)f xx 1答案：(2,0)(1,2)8函数 f(x)在 R 上满足 f( x) f(x)，当 x0 时， f(x)e x1 mcos( x)，记 a f()， b f ， ce f(e)，则 a， b， c 的大小关系为_134 (
25、134)解析：函数 f(x)为 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)e x1 mcos( x)， f(0)11 m0，即 m0， f(x)e x1( x0)令 g(x) xf(x)，有 g( x)( x)f( x) xf(x) g(x)，函数 g(x)为偶函数，当 x0 时， g(x) xf(x) x(1e x)， g( x) f(x) xf( x)1(1 x)ex0，函数 g(x)在0，)上为减函数， a f() g() g()， b f g g ， ce f(e)134 ( 134) ( 134) (134) g(e)，11又 e ， b a c.134答案： b a c9已知函数
26、f(x)Error!是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.(2)要使 f(x)在1， a2上单调递增，结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,310(2018大同期末)已知函数 f(x)log a(x1)， g(x)log a(1 x)，其中a0， a1.(1)求函数 F(x) f(x)
27、 g(x)的定义域；(2)判断 F(x) f(x) g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)当 a1 时，求使 F(x)0 成立的 x 的取值范围解：(1) F(x) f(x) g(x)log a(x1)log a(1 x)，Error! 解得1 x1，函数 F(x)的定义域为(1,1)(2)F(x)为(1,1)上的奇函数理由如下：由(1)知 F(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称， F( x)log a( x1)log a(1 x) log a(x1)log a(1 x) F(x)，函数 F(x)为(1,1)上的奇函数(3)根据题意， F(x)log a(x1)log a(1 x)，当 a1
28、 时，由 F(x)0，得 loga(x1)log a(1 x)，即Error!解得 0 x1，故 x 的取值范围为(0,1) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校121(2019南通模拟)已知定义在 R 上的奇函数 y f(x)满足 f(2 x) f(2 x)，当2 x0 时， f(x)2 x，若 an f(n)(nN *)，则 a2 018_.解析： f(2 x) f(2 x)，以 2 x 代替上式中的 x，得 f(4 x) f( x)，又函数 y f(x)是定义在 R 上的奇函数， f( x) f(x)， f(4 x) f( x) f(x)，再以 4 x 代替上式中的 x，得 f(8 x) f(
29、4 x) f(x)，函数 f(x)的周期为 8. a2 018 f(2 018) f(25282) f(2)，而 f(2) f(2) ，14 a2 018 .14答案：142设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f f 成立(32 x) (32 x)(1)证明 y f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)2，求 f(2) f(3)的值；(3)若 g(x) x2 ax3，且 y| f(x)|g(x)是偶函数，求实数 a 的值解：(1)由 f f ，(32 x) (32 x)且 f( x) f(x)，知 f(3 x) f 32 (32 x) f f( x) f(x)，32 (32 x)所以 y f(x)是周期函数，且 T3 是其一个周期(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，且 f(1) f(1)2，又 T3 是 y f(x)的一个周期，所以 f(2) f(3) f(1) f(0)202.(3)因为 y| f(x)|g(x)是偶函数，且| f( x)| f(x)| f(x)|，所以| f(x)|为偶函数故 g(x) x2 ax3 为偶函数，即 g( x) g(x)恒成立，于是( x)2 a( x)3 x2 ax3 恒成立于是 2ax0 恒成立，所以 a0.13
