1、1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类 命题、 命题真 假2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4.3充要条件若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件p 成立的对象的集合为 A， q 成立的对象的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件 pq 且 q p/ A 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 qp/ B 是
2、 A 的真子集p 是 q 的充要条件 pq A Bp 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p/ / A， B 互不包含集合与充要条件小题体验1下列命题是真命题的是( )A若 log2a0，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域上是减函数B命题“若 xy0，则 x0”的否命题C “m3”是“直线( m3) x my20 与 mx6 y50 垂直”的充要条件D命题“若 cos xcos y，则 x y”的逆否命题答案：B22(2019温州高考适应性测试)已知 ， R，则“ ”是“cos cos ”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条
3、件解析：选 D / cos cos ，如 ， ， ，而 3 6 3 6cos cos ；cos cos / ，如 ， ，cos cos ，而 3 6 6 3 6 3 .故选 D. 6 33设 a， b 是向量，则命题“若 a b，则| a| b|”的逆否命题为：_.答案：若| a| b|，则 a b1易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论2易忽视 A 是 B 的充分不必要条件( AB 且 B A)与 A 的充分不必要条件是 B(BA/且 A B)两者的不同/小题纠偏1(2019杭州模拟)“ x0”是“ln( x1)0”的( )A充分不必要条件
4、B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B2 “在 ABC 中，若 C90，则 A， B 都是锐角”的否命题为：_.解析：原命题的条件：在 ABC 中， C90，结论： A， B 都是锐角否命题是否定条件和结论即“在 ABC 中，若 C90，则 A， B 不都是锐角” 答案：在 ABC 中，若 C90，则 A， B 不都是锐角考 点 一 四 种 命 题 及 其 相 互 关 系 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透31命题“若 a2 b2，则 a b”的否命题是( )A若 a2 b2，则 a b B若 a2 b2，则 a bC若 a b，则 a2 b2 D若 a
5、b，则 a2 b2解析：选 B 根据命题的四种形式可知，命题“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”该题中， p 为 a2 b2， q 为 a b，故綈 p 为 a2 b2，綈 q 为 a b.所以原命题的否命题为：若 a2 b2，则 a b.2命题“若 x23 x40，则 x4”的逆否命题及其真假性为( )A “若 x4，则 x23 x40”为真命题B “若 x4，则 x23 x40”为真命题C “若 x4，则 x23 x40”为假命题D “若 x4，则 x23 x40”为假命题解析：选 C 根据逆否命题的定义可以排除 A，D，因为 x23 x40，所以 x4 或1，故原命题为假命
6、题，即逆否命题为假命题3给出以下四个命题：“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2 x q0 有实根”的逆否命题；若 ab 是正整数，则 a， b 都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：命题“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题为“若 x， y 互为相反数，则 x y0” ，显然为真命题；不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故为真命题；若 ab 是正整数，但 a， b 不一定都是正整数，例如 a1， b3，故为假命题答案：谨记通法1写一个命题的其他
7、三种命题时的 2 个注意点(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2命题真假的 2 种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断考 点 二 充 分 必 要 条 件 的 判 定 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领41(2019杭州高三四校联考)“ a1”是“ x2 ax 0( xR)”的( )14A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 x2 ax 0( xR)，则 a210，即1 a1，所以“
8、 a1”是14“x2 ax 0( xR)”的必要不充分条件故选 A.142(2019杭州高三质检)设数列 an的通项公式为 an kn2( nN *)，则“ k2”是“数列 an为单调递增数列”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 法一：因为 an kn2( nN *)，所以当 k2 时， an1 an k2，则数列 an为单调递增数列若数列 an为单调递增数列，则 an1 an k0 即可，所以“k2”是“数列 an为单调递增数列”的充分不必要条件，故选 A.法二：根据一次函数 y kx b 的单调性知， “数列 an为单调递增数列”的充要条件
9、是“ k0” ，所以“ k2”是“数列 an为单调递增数列”的充分不必要条件，故选 A.由题悟法充要条件的 3 种判断方法(1)定义法：根据 pq， qp 进行判断；(2)集合法：根据 p， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“ xy1”是“ x1 或 y1”的某种条件，即可转化为判断“ x1 且 y1”是“ xy1”的某种条件即时应用1设 a0， b0，则“ a2 b21”是“ a b ab1”成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既
10、不充分也不必要条件解析：选 B 因为 a0， b0，所以 a b0， ab10，故不等式 a b ab1 成立的充要条件是( ab1) 2( a b)2，即 a2 b2 a2b21.显然，若 a2 b2 a2b21，则必有 a2 b21，反之则不成立，所以 a2 b21 是a2 b2 a2b21 成立的必要不充分条件，即 a2 b21 是 a b ab1 成立的必要不充分5条件2(2019浙江期初联考)若 a， bR，使| a| b|4 成立的一个充分不必要条件是( )A| a b|4 B| a|4C| a|2 且| b|2 D b4解析：选 D 对选项 A，若 a b2，则| a| b|22
11、4，不能推出| a| b|4；对选项 B，若 a44， b0，此时不能推出| a| b|4；对选项 C，若a22， b22，此时不能推出| a| b|4；对选项 D，由 b4 可得| a| b|4，但由| a| b|4 得不到 b4.故选 D.3(2019宁波模拟)已知四边形 ABCD 为梯形， AB CD， l 为空间一直线，则“ l 垂直于两腰 AD， BC”是“ l 垂直于两底 AB， DC”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 因为四边形 ABCD 是梯形，且 AB CD，所以腰 AD， BC 是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，
12、当 l 垂直于两腰 AD， BC 时， l 垂直于 ABCD 所在平面，所以 l垂直于两底 AB， CD，所以是充分条件；当 l 垂直于两底 AB， CD，由于 AB CD，所以 l 不一定垂直于 ABCD 所在平面，所以 l 不一定垂直于两腰 AD， BC，所以不是必要条件所以是充分不必要条件考 点 三 充 分 必 要 条 件 的 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领若不等式 0 成立的一个充分不必要条件是 x ，则实数 m 的取值范围是x m 1x 2m 13 12_解析：令 AError!， BError!.因为不等式 0 成立的充分不必要条件是 x ，所以 BA
13、.x m 1x 2m 13 12当 m12 m，即 m1 时， A x|m1 x2 m由 BA 得Error! 解得 m ；14 43当 m12 m，即 m1 时， A，不满足 BA；当 m12 m，即 m1 时， A x|2m x m1由 BA 得Error! 此时 m 无解综上， m 的取值范围为 .14， 43答案： 14， 43由题悟法6根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间
14、端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象即时应用1(2019杭州名校大联考)已知条件 p：| x1|2，条件 q： x a，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是( )A1，) B(，1C3，) D(，3解析：选 A 由| x1|2，可得 x1 或 x3，所以綈 p：3 x1；又綈q： x a.因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，所以 a1.2已知“命题 p：( x m)23( x m)”是“命题 q： x23 x40”成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为_解析：
15、命题 p： x m3 或 x m，命题 q：4 x1.因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以 m34 或 m1，故 m7 或 m1.答案：(，71，) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 “(2x1) x0”是“ x0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 若(2 x1) x0，则 x 或 x0，即不一定是 x0；若 x0，则一定能12推出(2 x1) x0.故“(2 x1) x0”是“ x0”的必要不充分条件2设 a， bR，则“ a3 b3且 ab0”是“ ”的( )1a 1bA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也
16、不必要条件7解析：选 A 由 a3 b3，知 a b，由 ab0，知 a0 b，所以此时有 ，故充分性1a 1b成立；当 时，若 a， b 同号，则 a b，若 a， b 异号，则 a b，所以必要性不成立故选1a 1bA.3设 R，则“ 0”是“ f(x)cos( x )(xR)为偶函数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 0，则 f(x)cos x 为偶函数；若 f(x)cos( x )(xR)为偶函数，则 k( kZ)故“ 0”是“ f(x)cos( x )(xR)为偶函数”的充分不必要条件4命题 p：“若 x21，则 x1”的逆
17、命题为 q，则 p 与 q 的真假性为( )A p 真 q 真 B p 真 q 假C p 假 q 真 D p 假 q 假解析：选 B q：若 x1，则 x21. p： x21，则1 x1. p 真，当 x1 时， x21 不一定成立， q 假，故选 B.5若 x5 是 x a 的充分条件，则实数 a 的取值范围为( )A(5，) B5，)C(，5) D(，5解析：选 D 由 x5 是 x a 的充分条件知， x|x5 x|x a， a5，故选 D. 二保高考，全练题型做到高考达标1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B “若一个数的
18、平方是正数，则它是负数”C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选 B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数” 2命题“对任意实数 x1,2，关于 x 的不等式 x2 a0 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A a4 B a4C a3 D a3解析：选 C 即由“对任意实数 x1,2，关于 x 的不等式 x2 a0 恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数 x1,2，关于 x 的不等式 x2 a0 恒成立” 因为8x1,2，所以 x21,4， x2 a0 恒成立，即 x2 a，因此 a4；反之亦然故选
19、 C.3有下列命题：“若 x y0，则 x0 且 y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若 m1，则 mx22( m1) x m30 的解集是 R”的逆命题；“若 a7 是无理数，则 a 是无理数”的逆否命题其中正确的是( )A BC D解析：选 C 的逆命题为“若 x0 且 y0，则 x y0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等” ，为假命题；的逆命题为，若 mx22( m1) x m30 的解集为 R，则 m1.当 m0 时，解集不是 R，应有Error! 即 m1.是真命题；原命题为真，逆否命题也为真4(2019浙江名校联考信息卷)已知直线 l 的斜率为
20、 k，倾斜角为 ，则“0 ”是“ k1”的( ) 4A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 当 0 时，0 k1；反之，当 k1 时，0 或 . 4 4 2故“0 ”是“ k1”的充分不必要条件，故选 A. 45命题“对任意 x1,2)， x2 a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A a4 B a4C a1 D a1解析：选 B 要使“对任意 x1,2)， x2 a0”为真命题，只需要 a4， a4 是命题为真的充分不必要条件6命题“若 a b，则 ac2 bc2(a， bR)” ，否命题的真假性为_解析：命题的否命题为“若 a b，则 ac
21、2 bc2”若 c0，结论成立若 c0，不等式 ac2 bc2也成立故否命题为真命题9答案：真7下列命题：“ a b”是“ a2 b2”的必要条件；“| a| b|”是“ a2 b2”的充要条件；“ a b”是“ a c b c”的充要条件其中是真命题的是_(填序号)解析： a b/ a2 b2，且 a2 b2/ a b，故不正确； a2 b2|a| b|，故正确； a ba c b c，且 a c b ca b，故正确答案：8已知 ， (0，)，则“sin sin ”是“sin( ) ”的13 13_条件解析：因为 sin( )sin cos cos sin sin sin ，所以若sin
22、sin ，则有 sin( ) ，故充分性成立；当 时，有13 13 2sin( )sin 0 ，而 sin sin 112，不满足 sin sin 13 ，故必要性不成立所以“sin sin ”是“sin( ) ”的充分不必13 13 13要条件答案：充分不必要9已知 p：实数 m 满足 m212 a27 am(a0)， q：方程 1 表示焦点在 yx2m 1 y22 m轴上的椭圆若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_解析：由 a0， m27 am12 a20，得 3a m4 a，即 p：3 a m4 a， a0.由方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，可得 2 m m10，
23、解得 1 m ，即x2m 1 y22 m 32q：1 m .因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以Error!或Error!解得 a ，所以实数 a32 13 38的取值范围是 .13， 38答案： 13， 3810已知集合 AError!， B x|x m21若“ x A”是“ x B”的充分条件，求实数 m 的取值范围解： y x2 x1 2 ，32 (x 34) 71610 x ，34， 2 y2，716 AError! .由 x m21，得 x1 m2， B x|x1 m2“ x A”是“ x B”的充分条件， AB，1 m2 ，716解得 m 或 m ，34 34故实数 m 的取值
24、范围是 .( ， 34 34， ) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知 p： x k， q： 1，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围3x 1是( )A2，) B(2，)C1，) D(，1解析：选 B 由 1 得， 1 0，即( x2)( x1)0，解得 x13x 1 3x 1 2 xx 1或 x2，由 p 是 q 的充分不必要条件知， k2，故选 B.2在整数集 Z 中，被 4 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ，记为 k4 n k|nZ， k0,1,2,3，则下列结论正确的为_(填序号)2 0182；13；Z0123；命题“整数 a， b 满足a1， b2
25、，则 a b3”的原命题与逆命题都正确；“整数 a， b 属于同一类”的充要条件是“ a b0” 解析：由“类”的定义 k4 n k|nZ， k0,1,2,3，可知，只要整数m4 n k， nZ， k0,1,2,3，则 m k，对于中，2 01845042，所以 2 0182，所以符合题意；对于中，14(1)3，所以符合题意；对于中，所有的整数按被 4 除所得的余数分为四类，即余数分别为 0,1,2,3 的整数，即四“类”0，1，2，3，所以 Z0123，所以符合题意；对于中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若 a b3，不妨设 a0， b3，则此时 a1且 b2，所以逆命题不成立，所以不符合
26、题意；对于中，因为“整数 a， b 属于同一类” ，不妨设a4 m k， b4 n k， m， nZ，且 k0,1,2,3，则 a b4( m n)0，所以 a b0；11反之，不妨设 a4 m k1， b4 n k2， m， nZ， k10,1,2,3， k20,1,2,3，则a b4( m n)( k1 k2)，若 a b0，则 k1 k20，即 k1 k2，所以整数 a， b 属于同一类，故“整数 a， b 属于同一类”的充要条件是“ a b0” ，所以符合题意答案：3已知全集 UR，非空集合 AError!， B x|(x a)(x a22)0，命题p： x A，命题 q： x B.(
27、1)当 a12 时，若 p 真 q 假，求 x 的取值范围；(2)若 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a12 时， A x|2 x37， B x|12 x146，因为 p 真 q 假所以( UB) A x|2 x12，所以 x 的取值范围为(2,12(2)若 q 是 p 的必要条件，即 pq，可知 AB.因为 a22 a，所以 B x|a x a22当 3a12，即 a 时， A x|2 x3 a1，13应满足条件Error!解得 a ；13 3 52当 3a12，即 a 时， A，不符合题意；13当 3a12，即 a 时， A x|3a1 x2，13应满足条件Er
28、ror!解得 a ；12 13综上所述，实数 a 的取值范围为 .12， 13) (13， 3 52 命题点一 集合及其运算1(2018浙江高考)已知全集 U1,2,3,4,5， A1,3，则 UA( )A B1,3C2,4,5 D1,2,3,4,5解析：选 C U1,2,3,4,5， A1,3， UA 2,4,52(2018天津高考)设全集为 R，集合 A x|0 x2， B x|x1，则 A( RB)( )12A x|0 x1 B x|0 x1C x|1 x2 D x|0 x2解析：选 B 全集为 R， B x|x1， RB x|x1集合 A x|0 x2， A( RB) x|0 x13(
29、2017浙江高考)已知集合 P x|1 x1，Q x|0 x2，那么 PQ( )A(1,2) B(0,1)C(1,0) D(1,2)解析：选 A 根据集合的并集的定义，得 PQ(1,2)4(2018全国卷)已知集合 A x|x10， B0,1,2，则 A B( )A0 B1C1,2 D0,1,2解析：选 C A x|x10 x|x1， B0,1,2， A B1,25(2018全国卷)已知集合 A( x， y)|x2 y23， xZ， yZ，则 A 中元素的个数为( )A9 B8C5 D4解析：选 A 将满足 x2 y23 的整数 x， y 全部列举出来，即(1，1)，(1,0)，(1,1)，(
30、0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，共有 9 个故选 A.6(2017江苏高考)已知集合 A1,2， B a， a23若 A B1，则实数 a的值为_解析：因为 a233，所以由 A B1得 a1，即实数 a 的值为 1.答案：1命题点二 充要条件1(2016浙江高考)已知函数 f(x) x2 bx，则“ b0”是“ f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A f(x) x2 bx 2 ，当 x 时， f(x)min ，又 f(f(x)(xb2) b24 b2 b24(
31、f(x)2 bf(x) 2 ，当 f(x) 时， f(f(x)min ，当 (f x b2) b24 b2 b24 b213时， f(f(x)可以取到最小值 ，即 b22 b0，解得 b0 或 b2，故“ b0”是b24 b24“f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分不必要条件选 A.2(2017浙江高考)已知等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“ d0”是“S4 S62 S5”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 C 因为 an为等差数列，所以S4 S64 a16 d6 a115 d10 a121 d,2S510
32、a120 d， S4 S62 S5 d，所以d0 S4 S6 2S5.3(2015浙江高考)设 a， b 是实数，则“ a b0”是“ ab0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 D 特值法：当 a10， b1 时， a b0， ab0，故 a b0/ ab0；当 a2， b1 时， ab0，但 a b0，所以 ab0/ a b0.故“ a b0”是“ ab0”的既不充分也不必要条件4(2018天津高考)设 xR，则“ ”是“ x31”的( )|x12| 12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A
33、由 ，得 0 x1，|x12| 12则 0 x31，即“ ”“x31” ；|x12| 12由 x31，得 x1，当 x0 时， ，|x12| 12即“ x31” / “ ”|x12| 12所以“ ”是“ x31”的充分而不必要条件|x12| 12145(2017天津高考)设 R，则“ ”是“sin ”的( )| 12| 12 12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 法一：由 ，得 0 ，| 12| 12 6故 sin .由 sin ，得 2 k 2 k， kZ，推不出“12 12 76 6 ”| 12| 12故“ ”是“sin ”的充分而不必要
34、条件| 12| 12 12法二： 0 sin ，而当 sin 时，取 ，| 12| 12 6 12 12 6 .| 6 12| 4 12故“ ”是“sin ”的充分而不必要条件| 12| 12 126(2018北京高考)设 a， b 均为单位向量，则“| a3 b|3 a b|”是“ a b”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 由| a3 b|3 a b|，得( a3 b)2(3 a b)2，即 a29 b26 ab9 a2 b26 ab.又 a， b 均为单位向量，所以 a2 b21，所以 ab0，能推出 a b.由 a b，得|
35、 a3 b| ，|3 a b| ，10 10能推出| a3 b|3 a b|，所以“| a3 b|3 a b|”是“ a b”的充分必要条件命题点三 四种命题及其关系1(2015山东高考)设 mR，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是( )A若方程 x2 x m0 有实根，则 m0B若方程 x2 x m0 有实根，则 m0C若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0D若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0解析：选 D 根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0” 152(2018北京高
36、考)能说明“若 a b，则 ”为假命题的一组 a， b 的值依次为1a 1b_解析：只要保证 a 为正 b 为负即可满足要求当 a0 b 时， 0 .1a 1b答案：1，1(答案不唯一)3(2017北京高考)能够说明“设 a， b， c 是任意实数若 a b c，则 a b c”是假命题的一组整数 a， b， c 的值依次为_解析：因为“设 a， b， c 是任意实数若 a b c，则 a b c”是假命题，则它的否定“设存在实数 a， b， c.若 a b c，则 a b c”是真命题由于 a b c，所以 a b2 c，又 a b c，所以 c0.因此 a， b， c 依次可取整数1，2，3，满足 a b c.答案：1，2，3(答案不唯一)16
