1、1第二节函数的单调性与最值函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.对于 x1， x2 D，都有( x1 x2)f(x1) f(x2)0或 0.f x1 f x2x1 x2若 函 数 f x 的 值 域 是 开 区 间 ， 则 函 数 无 最 值 ；若 函 数 f x 的 值 域 是 闭 区 间 ， 则 闭 区 间 上 的 端 点 值 就 是 最 值 .1函数的单调性 (1)增函数、减函数增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2定义当 x1 x2时，都有 f(x1)
2、 f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是增函数当 x1 x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数图象描述(2)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做函数 y f(x)的单调区间 .2函数的最值 前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足条件对于任意的 x I，都有 f(x) M；存在 x0 I，使得 f(x0) M对于任意 x I，都有 f(x) M；存在 x0 I，使得 f(x0) M结论 M为函数 y f(x)的最大值 M为函
3、数 y f(x)的最小值x1， x2的特征：(1)任意性；(2)有大小，即 x1 x2(x1x2)；(3)属于同一个单调区间.对于 x1， x2 D，都有( x1 x2)f(x1) f(x2)0 或 0.f x1 f x2x1 x2(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域2(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“， ”连接，不能用“”连接(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数 y在(，0)和(0，)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性1x(4)“函数的单调区间是 M”与“函数在区间 N上单调”是两个不同的概念，显然NM.熟记常用结论1若函
4、数 f(x)， g(x)在区间 I上具有单调性，则在区间 I上具有以下性质：(1)f(x)与 af(x)在 a0时具有相同的单调性，在 a0 时具有相反的单调性(2)当 f(x)， g(x)都是增(减)函数时， f(x) g(x)是增(减)函数(3)当 f(x)， g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则 f(x)g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则 f(x)g(x)是减(增)函数2复合函数的单调性对于复合函数 y fg(x)，若 t g(x)在区间( a， b)上是单调函数，且 y f(t)在区间( g(a)， g(b)或( g(b)， g(a)上是单调函数，若 t g(x
5、)与 y f(t)的单调性相同，则y fg(x)为增函数；若 t g(x)与 y f(t)的单调性相反，则 y fg(x)为减函数简称“同增异减” 3开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数 y 的单调递减区间是(，0)(0，)( )1x(2)函数 y f(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)( )(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数( )(4)所有的单调函数都有最值( )答案：(1) (2) (3) (4)二、选填题1下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(
6、)A y| x| B y3 xC y D y x241x解析：选 A y3 x在 R上递减， y 在(0，)上递减， y x24 在(0，)上1x递减，故选 A.32函数 f(x) x 在区间 上的最大值是( )1x 2， 13A. B32 83C2 D2解析：选 A 函数 y x与 y 在 x 上都是减函数，函数 f(x)1x 2， 13 x 在 上是减函数，故 f(x)的最大值为 f(2)2 .1x 2， 13 12 323设定义在1,7上的函数 y f(x)的图象如图所示，则函数 y f(x)的增区间为_解析：由图可知函数的增区间为1,1和5,7答案：1,1和5,74若函数 y(2 k1
7、) x b在 R上是减函数，则 k的取值范围是_解析：因为函数 y(2 k1) x b在 R上是减函数，所以 2k10，即 k .12答案： ( ， 12)5若函数 f(x)满足“对任意的 x1， x2R，当 x1 x2时，都有 f(x1)f(x2)”，则满足f(2x1) f(1)的实数 x的取值范围为_解析：由题意知，函数 f(x)在定义域内为减函数， f(2x1) f(1)，2 x11，即 x1， x的取值范围为(1，)答案：(1，)考 点 一 确 定 函 数 的 单 调 性 区 间 全 析 考 法 过 关 考法全析考法(一) 确定不含参函数的单调性(区间)例 1 (1)函数 f(x)|
8、x23 x2|的单调递增区间是( )A. B. 和2，)32， ) 1， 32C(，1和 D. 和2，)32， 2 ( ， 324(2)函数 y 的单调递增区间为_，单调递减区间为x2 x 6_解析 (1) y| x23 x2|Error!如图所示，函数的单调递增区间是 和2，)1，32(2)令 u x2 x6，则 y 可以看作是由 y 与 u x2 x6 复合而成的函数x2 x 6 u令 u x2 x60，得 x3 或 x2.易知 u x2 x6 在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而 y 在u0，)上是增函数， y 的单调递减区间为(，3，单调递增区间为2，)x2 x 6答案 (1)B
9、 (2)2，) (，3考法(二) 确定含参函数的单调性(区间)例 2 试讨论函数 f(x) (a0)在(1,1)上的单调性axx 1解 法一：(定义法)设1 x1 x21，f(x) a a ，(x 1 1x 1 ) (1 1x 1)则 f(x1) f(x2) a a(11x1 1) (1 1x2 1) .a x2 x1 x1 1 x2 1由于1 x1 x21，所以 x2 x10， x110， x210，故当 a0时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0 时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，函数 f(x)在(
10、1,1)上单调递增法二：(导数法) f( x) ax x 1 ax x 1 x 1 2 .a x 1 ax x 1 2 a x 1 2当 a0时， f( x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增规律探求5看个性考法(一)中的函数不含有参数解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可考法(二)是在考法(一)的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法注意分类讨论思想的应用找共性无论考法(一)还是考法(二)，判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元作差变
11、形判断符号得出结论(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及 f(x)g(x)增减性质进行判断；对于复合函数，先将函数 y f(g(x)分解成 y f(t)和 t g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断过关训练1函数 f(x) 的单调递增区间为 ( )(12)x x2A. B.( ，12 0， 12C. D.12， ) 12， 1解析：选 D 令 t
12、 ，由 x x20，得 0 x1，故函数的定义域为0,1因x x2为 g(t) t是减函数，所以 f(x)的单调递增区间即 t 的单调递减区间利用二(12) x x2次函数的性质，得 t 的单调递减区间为 ，即原函数的单调递增区间为 .x x2 12， 1 12， 1故选 D.2判断函数 f(x) x (a0)在(0，)上的单调性ax解：设 x1， x2是任意两个正数，且 x1 x2，则 f(x1) f(x2) (x1ax1) (x2 ax2)6 (x1x2 a)x1 x2x1x2当 0 x1 x2 时，a0 x1x2 a， x1 x20，所以 f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2
13、)，所以函数 f(x)在(0， 上是减函数；a当 x1 x2时， x1x2a， x1 x20，a所以 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，所以函数 f(x)在 ，)上是增函数a综上可知，函数 f(x) x (a0)在(0， 上是减函数，在 ，)上是增函ax a a数考 点 二 函 数 单 调 性 的 应 用 全 析 考 法 过 关 考法全析考法(一) 比较函数值的大小例 1 已知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，当 x2x11时， f(x2) f(x1)(x2 x1)0 恒成立，设 a f ， b f(2)， c f(e)，则 a， b， c的大小关系为( )(12)
14、A cab B cbaC acb D bac解析 由 f(x)的图象关于直线 x1 对称，可得 f f .由 x2x11时， f(x2)(12) (52) f(x1)(x2 x1)0 恒成立，知 f(x)在(1，)上单调递减12 e， f(2)f f(e)， bac.52 (52)答案 D考法(二) 解函数不等式例 2 (1)已知函数 f(x)为 R上的减函数，则满足 f f(1)的实数 x的取值范围(|1x|)是( )A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)(2)定义在2,2上的函数 f(x)满足( x1 x2)f(x1) f(x2)0， x1 x2，且 f(a2
15、 a)f(2a2)，则实数 a的取值范围为_7解析 (1)由 f(x)为 R上的减函数且 f f(1)，得Error!即Error! 所以1 x0(|1x|)或 0 x1.故选 C.(2)因为函数 f(x)满足( x1 x2)f(x1) f(x2)0， x1 x2，所以函数在2,2上单调递增，所以22 a2 a2 a2，解得 0 a1.答案 (1)C (2)0,1)考法(三) 利用函数的单调性求参数例 3 若 f(x)Error!是定义在 R上的减函数，则 a的取值范围为_解析 由题意知，Error!解得Error!所以 a .18， 13)答案 18， 13)规律探求看个性考法(一)是比较函
16、数值的大小解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小考法(二)是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“ f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用考法(三)是在考法(一)和考法(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较找共性对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：过关训练1已知函数 f(x)log 2x ，若 x1(1,2)， x2(2，)，则( )11 xA f(x1)0，
17、f(x2)0 B f(x1)0， f(x2)0C f(x1)0， f(x2)0 D f(x1)0， f(x2)08解析：选 B 因为函数 f(x)log 2x 在(1，)上为增函数，且 f(2)0，11 x所以当 x1(1,2)时， f(x1) f(2)0，当 x2(2，)时， f(x2)f(2)0，即 f(x1)0， f(x2)0.故选 B.2设函数 f(x)Error!若函数 f(x)在区间( a， a1)上单调递增，则实数 a的取值范围是( )A(，1 B1,4C4，) D(，14，)解析：选 D 作出函数 f(x)的图象如图所示，由图象可知，若 f(x)在( a， a1)上单调递增，需
18、满足 a4 或 a12，即a1 或 a4，故选 D.3已知定义在 R上的奇函数 y f(x)在(0，)上单调递增，且 f 0 ，则不等式 f(log x)0的解集为_(12) 19解析： y f(x)是定义在 R上的奇函数，且 y f(x)在(0，)上单调递增 y f(x)在(，0)上也是增函数，又 f 0，知 f f 0.(12) ( 12) (12)故原不等式 f(log x)0可化为19f(log x)f 或 f f(log x) f ，19 (12) ( 12) 19 (0)log x 或 log x0，19 12 12 19解得 0 x 或 1 x3.13所以原不等式的解集为 .x0
19、 x13或 1 x 3答案： x0 x13或 1 x 3考 点 三 函 数 的 最 值 师 生 共 研 过 关 典例精析(1)已知函数 y 的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为( )1 x x 3mMA. B.14 129C. D.22 32(2)函数 f(x)Error!的最大值为_解析 (1)由Error!得函数的定义域是 x|3 x1，y242 42 ，1 x x 3 x 1 2 4当 x1 时， y取得最大值 M2 ；2当 x3 或 1时， y取得最小值 m2，所以 .mM 22(2)当 x1 时，函数 f(x) 为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1x1；
20、当 x1 时，易知函数 f(x) x22 在 x0 处取得最大值，为 f(0)2.故函数 f(x)的最大值为 2.答案 (1)C (2)2解题技法求函数最值(值域)的常用方法单调性法 易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)图象法 能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)基本不等式法分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如 x， y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)过关训练1函数 f(x) 在区间 a， b上的最大值是 1，最小值是 ，则 a b_.1x 1 13解析：易知 f
21、(x)在 a， b上为减函数，所以Error!即Error!所以Error!所以 a b6.答案：62函数 y x(x0)的最大值为_x解析：令 t ，则 t0，所以 y t t2 2 ，当 t ，即 x 时，x (t12) 14 12 14ymax .14答案：14103设 0 x ，则函数 y4 x(32 x)的最大值为_32解析： y4 x(32 x)22 x(32 x)2 2 ，当且仅当 2x32 x，2x 3 2x2 92即 x 时，等号成立34 ，34 (0， 32)函数 y4 x(32 x) 的最大值为 .(0 x32) 92答案：92课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1下列
22、函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( )A y B ycos x11 xC yln( x1) D y2 x解析：选 D 函数 y2 x x在(1,1)上为减函数(12)2(2017全国卷)函数 f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是( )A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)解析：选 D 由 x22 x80，得 x4 或 x2.因此，函数 f(x)ln( x22 x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数 y x22 x8 在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知， f(x)ln( x22 x8)的单调递增区间是(4，)3若函数 f(x) x22 x m在3，)上的最小值为
23、 1，则实数 m的值为( )A3 B2C1 D1解析：选 B 因为 f(x)( x1) 2 m1 在3，)上为增函数，且 f(x)在3，)上的最小值为 1，所以 f(3)1，即 22 m11， m2.故选 B.4函数 f(x) 的单调递增区间是( )x1 xA(，1) B(1，)C(，1)，(1，) D(，1)，(1，)11解析：选 C 因为 f(x) 1 ， 1 x 11 x 11 x所以 f(x)的图象是由 y 的图象沿 x轴向右平移 1个单位，然后沿 y轴向下平移一1x个单位得到，而 y 的单调递增区间为(，0)，(0，)；1x所以 f(x)的单调递增区间是(，1)，(1，)故选 C.5
24、(2019赣州模拟)设函数 f(x)Error! g(x) x2f(x1)，则函数 g(x)的单调递减区间是( )A(，0 B0,1)C1，) D1,0解析：选 B 由题知， g(x)Error!可得函数 g(x)的单调递减区间为0,1)6若函数 f(x) x2 a|x|2， xR 在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数 a的取值范围是( )A. B6，4113， 3C. D. 3， 22 4， 3解析：选 B 由于 f(x)为 R上的偶函数，因此只需考虑函数 f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数 f(x)在3，)上为增函数，在1,2上为减函数，故 2,3，即 a6，4a27函数 y
25、 ， x( m， n的最小值为 0，则 m的取值范围是( )2 xx 1A(1,2) B(1,2)C1,2) D1,2)解析：选 D 函数 y 1，2 xx 1 3 x 1x 1 3x 1且在 x(1，)时单调递减，在 x2 时， y0；根据题意 x( m， n时 y的最小值为 0，所以1 m2.8已知函数 f(x) x22 ax a在区间(，1)上有最小值，则函数 g(x)在区间(1，)上一定( )f xxA有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数解析：选 D 由题意知 a1，12又函数 g(x) x 2 a在 ，)上为增函数，故选 D.ax |a|9(2019湖南四校联考)若函数 f(x
26、) x2 a|x2|在(0，)上单调递增，则实数 a的取值范围是_解析： f(x) x2 a|x2|， f(x)Error!又 f(x)在(0，)上单调递增，Error!4 a0，实数 a的取值范围是4,0答案：4,010已知函数 f(x)的值域为 ，则函数 g(x) f(x) 的值域为38， 49 1 2f x_解析： f(x) ， .38 49 13 1 2f x 12令 t ，1 2f x则 f(x) (1 t2) ，12 (13 t 12)令 y g(x)，则 y (1 t2) t，12即 y (t1) 21 .12 (13 t 12)当 t 时， y有最小值 ；13 79当 t 时，
27、 y有最大值 .12 78 g(x)的值域为 .79， 78答案： 79， 78二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1函数 ylog ( x22 x3)的单调递增区间是( )13A(1,1 B(，1)C1,3) D(1，)解析：选 C 令 t x22 x3，由 x22 x30，得1 x3.13函数 t x22 x3 的对称轴方程为 x1，则函数 t x22 x3 在1,3)上为减函数，而函数 ylog t为定义域内的减函数，1所以函数 ylog ( x22 x3)的单调递增区间是1,3)32(2019西安模拟)已知函数 ylog 2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数 a的取值范围是(
28、)A(0,1 B1,2C1，) D2，)解析：选 C 要使 ylog 2(ax1)在(1,2)上单调递增，则 a0且 a10， a1.故选 C.3已知函数 f(x)Error!是 R上的单调函数，则实数 a的取值范围是( )A. B.14， 12) 14， 12C. D.(0，12 12， 1)解析：选 B 由对数函数的定义可得 a0，且 a1.又函数 f(x)在 R上单调，则二次函数 y ax2 x 的图象开口向上，14所以函数 f(x)在 R上单调递减，故有Error!即Error!所以 a .14， 124已知函数 f(x)是定义在(0，)上的增函数，若 f(a2 a)f(a3)，则实数
29、 a的取值范围为_解析：由已知可得Error!解得3 a1 或 a3，所以实数 a的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)(二)技法专练活用快得分5构造法已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R， m， n都是实数如果不等式 f(m) f(n)f( m) f( n)成立，那么下列不等式成立的是( )A m n0 B m n0C m n0 D m n0解析：选 A 设 F(x) f(x) f( x)，由于 f(x)是 R上的减函数，14 f( x)是 R上的增函数， f( x)是 R上的减函数， F(x)是 R上的减函数，当 m n时，有 F(m)F(n)，即 f(m) f( m)
30、f(n) f( n)成立因此，当 f(m) f(n)f( m) f( n)成立时，不等式 m n0 一定成立，故选 A.6三角换元法函数 y x 的最小值为_ x2 10x 23解析：原函数可化为： y x .2 x 5 2由 2( x5) 20| x5| ，2令 x5 cos ，2那么| cos | |cos |1 0 ，2 2于是 y cos 5 sin 2sin 5.2 2 ( 4)因为 ，所以 sin ，4 4， 54 ( 4) 22， 1所以函数的最小值为 5 .2答案：5 27数形结合法设函数 f(x)Error!的图象过点(1,1)，函数 g(x)是二次函数，若函数 f(g(x)
31、的值域是0，)，则函数 g(x)的值域是_解析：因为函数 f(x)Error!的图象过点(1,1)，所以 m11，解得 m0，所以 f(x)Error!画出函数 y f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在0，)上时，横坐标在(，10，)上变化而 f(x)的值域为1，)，f(g(x)的值域为0，)，因为 g(x)是二次函数，所以 g(x)的值域是0，)答案：0，)(三)素养专练学会更学通8数学抽象已知函数 f(x)是 R上的增函数， A(0，3)， B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式3 f(x1)1 的解集的补集是(全集为 R)( )A(1,2)B(1,4)C(，1)4，)D
32、(，12，)解析：选 D 由函数 f(x)是 R上的增函数， A(0，3)， B(3,1)是其图象上的两点，知15不等式3 f(x1)1 即为 f(0) f(x1) f(3)，所以 0 x13，所以1 x2，故不等式3 f(x1)1 的解集的补集是(，12，)9数学运算已知函数 f(x) (a0， x0)1a 1x(1)求证： f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)在 上的值域是 ，求 a的值12， 2 12， 2解：(1)证明：设 x2x10，则 x2 x10， x1x20，因为 f(x2) f(x1) (1a 1x2) (1a 1x1) 0，1x1 1x2 x2 x1x1x2所以
33、 f(x2)f(x1)，所以 f(x)在(0，)上是增函数(2)因为 f(x)在 上的值域是 ，12， 2 12， 2又由(1)得 f(x)在 上是单调增函数，12， 2所以 f ， f(2)2，(12) 12解得 a .2510数学运算已知函数 f(x)lg ，其中 a是大于 0的常数(xax 2)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a的取值范围解：(1)由 x 20，得 0，ax x2 2x ax当 a1时， x22 x a0恒成立，定义域为(0，)；当 a1 时，定义域为 x|x0
34、且 x1；当 0 a1 时，定义域为 x|0 x1 或 x1 1 a 1 a(2)设 g(x) x 2，当 a(1,4)， x2，)时， g( x)1 0恒ax ax2 x2 ax2成立，所以 g(x) x 2 在2，)上是增函数ax16所以 f(x)lg 在2，)上是增函数(xax 2)所以 f(x)lg 在2，)上的最小值为 f(2)lg .(xax 2) a2(3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 x 21 对任意 x2，)恒成立ax所以 a3x x2，令 h(x)3 x x2，而 h(x)3 x x2 2 在2，)上是减函数，所以 h(x)max h(2)2，所(x32) 94以 a2.即 a的取值范围为(2，)17
