1、1第六节指数与指数函数1根式的性质(1)( )n a(a 使 有意义)na na(2)当 n 是奇数时， a；当 n 是偶数时， | a|Error! nan nan2分数指数幂的意义(1)a (a0， m， nN *，且 n1)(2) a (a0， m， nN *，且mnnam mn1a 1namn1)(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)aras ar s(a0， r， sQ)；(2)( ar)s ars(a0， r， sQ)；(3)(ab)r arbr(a0， b0， rQ)4指数函数的图象和性质 函数 y ax(a0，且 a1)a1
2、0 a1图象定义域 R值域 (0，)单调性 单调递增 单调递减当 x0 时， y1性质函数值变化规律当 x0 时，0 y1；当 x0 时， y1当 x0 时， y1；当 x0 时，0 y1化简 时，一定要注意区分 n 是奇数还是偶数nan1图象问题(1)画指数函数 y ax(a0， a1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1， a)，.( 1，1a)(2)y ax与 y x的图象关于 y 轴对称(1a)(3)当 a1 时，指数函数的图象呈上升趋势，当 0 a1 时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减2函数性质的注意点2讨论指数函数的性质时，要注意分底数 a1 和 0 a1 两种情况.
3、熟记常用结论指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1) y ax，(2) y bx，(3)y cx，(4) y dx的图象，底数 a， b， c， d 与 1 之间的大小关系为 c d1 a b.规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1) 4.( )4 4 4(2)函数 y2 x1 是指数函数( )(3)函数 y a (a1)的值域是(0，)( )+(4)若 am an(a0， a1)，则 m n.( )答案：(1) (2) (3) (4)二、选填题1计算(2) 6 (1) 0的结果为( )12A9 B7C10 D9解
4、析：选 B 原式2 12 317.故选 B.62函数 f(x)3 x1 的值域为( )A(1，) B(1，)C(0,1) D1，)解析：选 B 3 x0，3 x11，即函数 f(x)3 x1 的值域为(1，)3化简 的结果是_ x3x解析：由题意知， x0， . x3x x x 2x x xx x答案： x4当 a0 且 a1 时，函数 f(x) ax2 3 的图象必过定点_解析：令 x20，则 x2，3此时 f(x)132，故函数 f(x) ax2 3 的图象必过定点(2，2)答案：(2，2)5若指数函数 f(x)( a2) x为减函数，则实数 a 的取值范围为_解析： f(x)( a2)
5、x为减函数，0 a21，即 2 a3.答案：(2,3)考 点 一 指 数 幂 的 化 简 与 求 值 基 础 自 学 过 关 题组练透化简下列各式：(1) 02 2 (0.01) 0.5；(235) (214)(2) a b2 (3 a b1 )(4a b3 ) ；56 132212(3) . ab 1 ab6ab5解：(1)原式1 14 (49)2(1100)21 1 14 23 110 16 110 .1615(2)原式 a b3 (4a b3 )5216212 a b3 (a b )54 2 a b5412 .54 1ab3 5ab4ab2(3)原式 a b .ababab 16-35+
6、-2361a名师微点指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数4(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答考 点 二 指 数 函 数 的 图 象 及 应 用 师 生 共 研 过 关 典例精析(1)函数 y ax a1 (a0，且 a1)的图象可能是( )(2)若函数 y|2 x1|的图象与直线 y b 有两个公共点，则 b 的取值范围为_解析 (1)函数 y ax 是由函数 y ax的图象向下平移 个单
7、位长度得到的，A 项1a 1a显然错误；当 a1 时，0 1，平移距离小于 1，所以 B 项错误；当 0 a1 时，1a1，平移距离大于 1，所以 C 项错误故选 D.1a(2)作出曲线 y|2 x1|的图象与直线 y b 如图所示由图象可得b 的取值范围是(0,1)答案 (1)D (2)(0,1)变 式 发 散 1(变条件)将本例(2)改为若函数 y|2 x1|在(， k上单调递减，则 k 的取值范围为_解析：因为函数 y|2 x1|的单调递减区间为(，0，所以 k0，即 k 的取值范围为(，0答案：(，02(变条件)若曲线| y|2 x1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是_
8、解析：作出曲线| y|2 x1 的图象，如图所示，要使该曲线与直线y b 没有公共点，只需1 b1.答案：1,13(变条件)将本例(2)改为直线 y2 a 与函数 y| ax1|( a0，且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围为_解析： y| ax1|的图象是由 y ax的图象先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图5象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的当 a1 时，如图 1，两图象只有一个交点，不合题意；当 0 a1 时，如图 2，要使两个图象有两个交点，则 02 a1，得到 0 a .12综上可知， a 的取值范围是 .(0，12)答案： (0，12)解题技法有关指数函数图象
9、问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线 x1 与图象的交点进行判断过关训练1函数 f(x)1e |x|的图象大致是( )解析：选 A 由 f(x)1e |x|是偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 B、D.又e|x|1，所以 f(x)
10、的值域为(，0，排除 C.2已知 f(x)|2 x1|，当 a b c 时，有 f(a) f(c) f(b)，则必有( )A a0， b0， c0 B a0， b0， c0C2 a2 c D12 a2 c2解析：选 D 作出函数 f(x)|2 x1|的图象如图所示，因为a b c，且有 f(a) f(c) f(b)，所以必有 a0,0 c1，且6|2a1|2 c1|，所以 12 a2 c1，则 2a2 c2，且 2a2 c1.故选 D.考 点 三 指 数 函 数 的 性 质 及 应 用 全 析 考 法 过 关 考法全析考法(一) 比较指数式的大小例 1 已知 f(x)2 x2 x， a ， b
11、 ， clog 2 ，则 f(a)， f(b)， f(c)(79)14(97)1579的大小关系为( )A f(b) f(a) f(c) B f(c) f(b) f(a)C f(c) f(a) f(b) D f(b) f(c) f(a)解析 易知 f(x)2 x2 x在 R 上为增函数，又a b0 ， clog 2 0，则 a b c，所以 f(c) f(b) f(a)(79)14(97) (97)1579答案 B考法(二) 解简单的指数方程或不等式例 2 (1)已知实数 a1，函数 f(x)Error!若 f(1 a) f(a1)，则 a 的值为_(2)设函数 f(x)Error!若 f(a
12、)1，则实数 a 的取值范围是_解析 (1)当 a1 时，4 1 a2 1，解得 a ；当 a1 时，代入不成立故 a 的值为12.12(2)若 a0，则 f(a)1 a71 a8，解得 a 3，故3 a0；(12) (12)若 a0，则 f(a)1 1，解得 a1，故 0 a1.a综合可得3 a1.答案 (1) (2)(3,1)12考法(三) 指数函数性质的综合应用例 3 已知函数 f(x) .(13) 243ax(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值解 (1)当 a1 时， f(x) ，令 g(
13、x) x24 x3，由于 g(x)在(13)243x(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y t在 R 上单调递减，所以(13)7f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令 g(x) ax24 x3，则 f(x) g(x)，(13)由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有Error!解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知，要使 f(x)的值域为(0，)，应使 y ax24 x3 的值域为 R，因此只能 a0(因为若 a0，则 y a
14、x24 x3 为二次函数，其值域不可能为 R)故 a 的值为 0.规律探求看个性考法(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；考法(二)是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；考法(三)是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解找共性以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如 y af(x)的函数的单调性，它的单调区间与 f(
15、x)的单调区间有关：若 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 y af(x)的单调增(减)区间；若 0 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 y af(x)的单调减(增)区间过关训练1设 a0.6 0.6， b0.6 1.5， c1.5 0.6，则 a， b， c 的大小关系是( )A a b c B a c bC b a c D b c a解析：选 C 因为函数 y0.6 x在 R 上单调递减，所以 b0.6 1.5 a0.6 0.61.又c1.5 0.61，所以 b a c.2(2019福州模拟)设函数 f(x)Error!则满足 f(x22) f(x)的 x 的取值范围是
16、_解析：由题意 x0 时， f(x)单调递增，故 f(x) f(0)0，而 x0 时， x0，故若 f(x22) f(x)，则 x22 x，且 x220，8解得 x2 或 x .2答案：(， )(2，)2课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1设 a0，将 表示成分数指数幂，其结果是 ( )a2a3a2A a B a256C a D a76 32解析：选 C 由题意 a a .故选 C.a2a3a2 1-3762.函数 f(x) ax b的图象如图所示，其中 a， b 为常数，则下列结论中正确的是( )A a1， b0B a1， b0C0 a1,0 b1D0 a1， b0解析：选 D 法一：由
17、题图可知 0 a1，当 x0 时， a b(0,1)，故 b0，得b0.故选 D.法二：由图可知 0 a1， f(x)的图象可由函数 y ax的图象向左平移得到，故 b0，则 b0.故选 D.3化简 的结果是( )a 8ab4b 23ab a (1 2 3ba) 3aA a B bC ab D ab2解析：选 A 原式 aa a 8b4b 2ab a a 2ba 13 aa a 2b a 2ab 4b4b 2ab a aa 2b a a a a.13134设 x0，且 1 bx ax，则( )A0 b a1 B0 a b1C1 b a D1 a b解析：选 C 因为 1 bx，所以 b0 bx
18、，因为 x0，所以 b1，9因为 bx ax，所以 x1，(ab)因为 x0，所以 1，所以 a b，所以 1 b a.故选 C.ab5已知 a( ) ， b2 ， c9 ，则 a， b， c 的大小关系是( )24353A b a c B a b cC b c a D c a b解析：选 A a( ) 2 2 ， b2 ， c9 3 ，24313512由函数 y x 在(0，)上为增函数，得 a c，3由函数 y2 x在 R 上为增函数，得 a b，综上得 c a b.故选 A.6函数 f(x) ax b1(其中 0 a1，且 0 b1)的图象一定不经过( )A第一象限 B第二象限C第三象限
19、 D第四象限解析：选 C 由 0 a1 可得函数 y ax的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0 b1，所以1 b10，所以 01 b1，y ax的图象向下平移 1 b 个单位即可得到 y ax b1 的图象，所以 y ax b1 的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限故选 C.7已知函数 f(x)Error!则函数 f(x)是( )A偶函数，在0，)单调递增B偶函数，在0，)单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减解析：选 C 易知 f(0)0，当 x0 时， f(x)12 x， f(x)2 x1，此时 x0，则 f( x)2 x1 f(x)；当 x0 时， f(x)2
20、x1， f(x)12 x，此时 x0，则 f( x)12 ( x)12 x f(x)即函数 f(x)是奇函数，且单调递增，故选 C.8二次函数 y x24 x(x2)与指数函数 y x的交点有( )(12)A3 个 B2 个C1 个 D0 个解析：选 C 因为二次函数 y x24 x( x2) 24( x2)，且 x1 时， y x24 x3，10y x2，(12)在坐标系中画出 y x24 x(x2)与 y x的大致图象，(12)由图可得，两个函数图象的交点个数是 1.故选 C.9已知函数 f(x) x4 ， x(0,4)，当 x a 时， f(x)取得最小值 b，则函数9x 1g(x) a
21、|x b|的图象为( )解析：选 A 因为 x(0,4)，所以 x11，所以 f(x) x4 x1 52 51，9x 1 9x 1 9x 1 x 1当且仅当 x2 时取等号，此时函数有最小值 1，所以 a2， b1，此时 g(x)2 |x1| Error!此函数图象可以看作由函数 yError!的图象向左平移 1 个单位得到结合指数函数的图象及选项可知 A 正确故选 A.10函数 f(x) 的单调递减区间为_(12) 1+x解析：设 u x22 x1， y u在 R 上为减函数，函数 f(x) 的单(12) (12) 1+x调递减区间即为函数 u x22 x1 的单调递增区间又 u x22 x
22、1 的单调递增区间为(，1， f(x)的单调递减区间为(，1答案：(，111不等式 恒成立，则 a 的取值范围是_(12) +xa(12) +-xa解析：由指数函数的性质知 y x是减函数，(12)11因为 恒成立，(12) +xa(12) +-xa所以 x2 ax2 x a2 恒成立，所以 x2( a2) x a20 恒成立，所以 ( a2) 24( a2)0，即( a2)( a24)0，即( a2)( a2)0，故有2 a2，即 a 的取值范围是(2,2)答案：(2,2)12已知函数 f(x) x3(a0，且 a1)(1ax 1 12)(1)讨论 f(x)的奇偶性；(2)求 a 的取值范围
23、，使 f(x)0 在定义域上恒成立解：(1)由于 ax10，则 ax1，得 x0，函数 f(x)的定义域为 x|x0对于定义域内任意 x，有f( x) ( x)3(1a x 1 12) ( x)3(ax1 ax 12) ( x)3( 11ax 1 12) x3 f(x)，(1ax 1 12)函数 f(x)是偶函数(2)由(1)知 f(x)为偶函数，只需讨论 x0 时的情况，当 x0 时，要使 f(x)0，则 x30，(1ax 1 12)即 0，1ax 1 12即 0，则 ax1.ax 12 ax 1又 x0， a1.当 a(1，)时， f(x)0.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分121设
24、 y f(x)在(，1上有定义，对于给定的实数 K，定义 fK(x)Error!给出函数f(x)2 x1 4 x，若对于任意 x(，1，恒有 fK(x) f(x)，则( )A K 的最大值为 0 B K 的最小值为 0C K 的最大值为 1 D K 的最小值为 1解析：选 D 根据题意可知，对于任意 x(，1，恒有 fK(x) f(x)，则 f(x) K 在 x1 上恒成立，即 f(x)的最大值小于或等于 K 即可令 2x t，则 t(0,2， f(t) t22 t( t1) 21，可得 f(t)的最大值为 1， K1，故选 D.2已知实数 a， b 满足 a b ，则( )12 (12) (
25、22) 14A b2 B b2b a b aC a D ab a b a解析：选 B 由 a，得 a1，由 a b，得 2a b，故 2a b，由12 (12) (12) (22) (22) (22)b ，得 b 4，得 b4.由 2a b，得 b2 a2， a 2，故(22) 14 (22) (22) b21 a2,2 b4.对于选项 A、B，由于 b24( b a)( b2) 24( a1)0 恒成立，故 A 错误，B 正确；对于选项 C，D， a2( b a) 2 ，由于 1 a2,2 b4，故该式的符号不确(a12) (b 14)定，故 C、D 错误故选 B.3设 a0，且 a1，函数
26、 y a2x2 ax1 在1,1上的最大值是 14，求实数 a 的值解：令 t ax(a0，且 a1)，则原函数化为 y f(t)( t1) 22( t0)当 0 a1， x1,1时， t ax ，a，1a此时 f(t)在 上为增函数a，1a所以 f(t)max f 2214.(1a) (1a 1)所以 216，解得 a (舍去)或 a .(1a 1) 15 13当 a1 时， x1,1， t ax ，1a， a此时 f(t)在 上是增函数1a， a13所以 f(t)max f(a)( a1) 2214，解得 a3 或 a5(舍去)综上得 a 或 3.13(二)交汇专练融会巧迁移4与基本不等式
27、交汇设 f(x)e x,0 a b，若 p f ， q f ， r(ab) (a b2 )，则下列关系式中正确的是( )f a f bA q r p B p r qC q r p D p r q解析：选 C 0 a b， ，又 f(x)e x在(0，)上为增函数， fa b2 ab f( )，即 q p.又 r e q，故 q r p.故选 C.(a b2 ) ab f a f b eaeb 25与一元二次函数交汇函数 y x x1 在区间3,2上的值域是_(14) (12)解析：令 t x，(12)因为 x3,2，所以 t ，14， 8故 y t2 t1 2 .(t12) 34当 t 时，
28、ymin ；12 34当 t8 时， ymax57.故所求函数的值域为 .34， 57答案： 34， 576与函数性质、不等式恒成立交汇已知定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函 2x b2x 1 a数(1)求 a， b 的值；(2)若对任意的 tR，不等式 f(t22 t) f(2t2 k)0 恒成立，求 k 的取值范围解：(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)0，即 0，解得 b1. 1 b2 a14从而有 f(x) . 2x 12x 1 a又由 f(1) f(1)知 ，解得 a2. 2 14 a 12 11 a(2)由(1)知 f(x) ， 2x 12x 1 2 12 12x 1由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因为 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t22 t) f(2t2 k)0 等价于 f(t22 t) f(2t2 k) f(2 t2 k)因为 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t22 t2 t2 k.即对一切 tR 有 3t22 t k0，从而 412 k0，解得 k .13故 k 的取值范围为 .( ， 13)15
