1、1专题 31 平面向量 平面向量的基本定理（及坐标运算）【考点讲解】一、具本目标： 平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考点透析：1.理解平面向量基本定理的实质，理解基底的概念，会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法，掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线，解三形等有关的问题.4.用坐标表 示的平面向量 的共线条件是高考考查的重点，分值 5 分.一般是中低档题.二、知识概述：平面向量基本定理及
2、其应用平面向量基本定理：如果 12e， 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 a ，有且只有一对实数 12， ，使 .其中，不共线的向量 12e， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.用平面向量基本定理解决问题常用的 思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线 性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及
3、中点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平 面的一组基底 12e， 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的【真题分析】1.【2014 天津，文 13】已知菱形 ABCD的边长为 2， ，点 E， F分别在边 BC、 D上，3BCE， DF.若 1,E，则 的值为_.2【答案】22.【山东省威海市 2018 届二模】在平行四边形 中， 分别为边 的中点，若（ ） ，则 _.【解析】本题考点平面向量的加法法则、平面向量基本定理的应用，由题意可知，又因为 ，所以所以有 ，解得 324yx，所以 2
4、yx.【答案】23.【2014 全国 1，文 6】设 FED,分别为 ABC的三边 AB,的中点，则 FCE（ ）A. AD B. 2 C. 21 D. xo3【答案】A 4.【2017湖南东部六校联考】如图所示，已知点 G 是 ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB， AC 两边分别交于 M， N 两点，且 x ， y ，则 x2 y 的最小值为( )AM AB AN AC A2 B C. D13 3 223 34【解析】由已知可得 ( ) ，又 M， G， N 三点共线，故AG 23 12AB AC 13AB 13AC 13xAM 13yAN 1， 3，则 (当13x 13y 1x 1y
5、且仅当 x y2时，取“”号)【答案】C5.【优选题】设 (0,)O, 1A, (0)B, 点 P是线段 AB上的一个动点, AP B, 若, 则实数 的取值范围是 ( )A.12 B. C. D. 4【答案 】B6.【2017 课标 3】在矩形 ABCD 中， AB=1， AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 AP= B+D，则 + 的最大值为（ ）A3 B2 C 5D2【解析】本题考点是向量的基本定理及坐标运算，由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，可得点，设点 yxP,.由题意可得点 C 到直线 BD 的距离也就是圆 C 的半径为 52r，所以圆 C 的方程为 . 【答案】 90 6.在平面直角坐标系中，给定 AB，点 M为 C的中点 ，点 N满足 2AC，点 P满足.（1 ）求 与 的值；（2）若 、三点坐标分别为 ，求 点坐标.（2） (,2)A、 (5,)B、 (3,0)C，由于 M为 BC中点， (1,) . 5设 (,)Pxy，又由（1）知 4APM所以可得 ，解之得652xy所以 P点的坐标为 62(,)5.【答案】 （1）435；（2） P点的坐标为 62(,)5. 6
