1、1淄博实验中学高三年级第二学期第一次教学诊断考试试题 数学(理科）一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： 的解集为 ， 定义域为 ，故 .考点：集合交集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属
2、于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.设复数 ,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数除法和加法的法则求解即可得到结果【详解】 ，=1+ 5+2=51+(1+)2= 5(1)(1+)(1)+2=(5252)+2=5212故选 D【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是熟记运算的法则，在进行乘除运算时要注意把 换为 ，属于基础题2 13.已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ） (1, 3) 2A. B. C. D. 32 32 12 342【答案】B【解析】【分析】先求出点 P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可【详解】角
3、 的终边经过点 p（1， ） ，其到原点的距离 r 2 3 =1+3=故 cos ，sin=12 =32 sin cos .2=2 =2（ 12） 32=32故选： B【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题4.已知随机变量 ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形 中随机投掷(2,1) 1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）附：若随机变量 ，则 ，(,2) ( 【答案】A【解析】分析：根据函数的性质得到 的取值范围后可得结果,详解：由题意得 ，= ，1故选 A5点睛：比较大小时，可根据题意构造出函数，然后根据函数的单调性进行判断若给出的数不属于同一类型时，可先
4、判断出各数的符号（或各数所在的范围） ，然后再比较大小8.若将函数 的图象向左平移 个单位()=(2+)+3(2+)（ 其 中 00) |=0+2AB的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数 (1,1),(2,2) |=1+2+,1+2的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12.已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，()=(+1)33 ()3 (0,+)则实数 的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 03 3 3 0【答案】C【解析】【分析】8将不等式变形后，构造函数 g(x)，结合选项对 m讨论，利用导数分析函数的单调性及函数值的分布情况，对选
5、项排除验证即可【详解】原不等式转化为 0在 上恒成立，(+1)33+3 (0,+)记 g(x) ，(+1)33+3=(+1)+3(1)由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，y=x+1与 y=x-1分别为 y= 与 y= 的切线， 即 ,(x=0时等号成立)， （x=1 时等号成立） ，可得 (x=0时+1 1 (+1)等号成立)，m 时， 在 上恒成立，0 (+1)0 (0,+)又 在 上恒成立，3(1)0 (0,+) 在 上恒成立，(+1)+3(1)0 (0,+)m 时符合题意，排除 A、 B；0当 m0时，验证 C选项是否符合，只需代入 m=3，此时 g(x) ，3(+1)63+3则
6、，此时 0，()=3+16+3=3+1+3（ 1） (0)=令 )在 上单调递增，且 ， 在()=()， ()=3( 1(+1)2 (0,+) (0)=0 ()0上恒成立，即 在 上单调递增，而 0， 在(0,+) () (0,+) (0)= ()0上恒成立，(0,+)g(x)在 上单调递增,又 g(0)=0，g(x) 在 上恒成立，(0,+) 0 (0,+)即 m=3符合题意，排除 D,故选 C.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，注意小题小做的技巧，是一道综合题二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分。13.已知向量 ，则 在 方向上的投影等于
7、_=(1, 3),=(2,3) 【答案】 12【解析】【分析】9根据向量的数量积公式得到向量 在 方向上的投影为它们的数量积除以 的模 【详解】向量 ，则向量 在 方向上的投影为： ；=(1, 3),=(2,3) |=11+3=12故答案为 12【点睛】本题考查了向量的几何意义考查了向量的数量积公式，属于基础题14.在 的展开式中，常数项为_(11)4【答案】 5【解析】由二项展开式的通项公式得： ，显然 时可能有常数项，+1=(1)44(1+1) =2,3,4当 时， ，有常数项 ，当 ， 的展开式=2 (1+1)2=12+2+1 (1)224212=6 =3 (1+1)3中含 ，故常数项为
8、 ，当 ，常数项为 1，所以展开式中的常数231 (1)334231=12 =4项 612+1=515.已知双曲线 ，焦距为 2c，直线 l经过点 和 ，若 到2222=1(0) (,0) (0,) (,0)直线 l的距离为 ，则离心率为_223【答案】 或362【解析】【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合 a，b，c 的关系和离心率公式，化简整理即可得到 ，解方程即可得到离心率，注意条件 ，则2492+9=0 02【详解】解：直线 l的方程为 ，即为 ，+=1 +=0， 到直线 l的距离为 ，2=2+2 (,0)223可得： ，22+2=223即有 ，3=22即 ，
9、即 ，922=24 92(22)=24，9229424=010由于 ，则 ，= 2492+9=0解得， 或 2=3 2=32由于 ，即 ，即有 ，即有 ，022 22则 或 =3 =62故答案为： 或 362【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题16.定义在封闭的平面区域 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 的“直径”.已知锐 角三角形的三个顶点 在半径为 1的圆上，且 ，分别以 各边为直径向外, =3 作三个半圆，这三个半圆和 构成平面区域 ，则平面区域 的“直径”的最大值是 _【答案】332【解析】【分析
10、】画出几何图形，运用边的关系转化为求 周长的最值，结合正余弦定理及基本不等式求解即可.【详解】设三个半圆圆心分别为 G,F，E，半径分别为 M,P,N分别为半圆上的动1， 2， 3,点，则 PM +GF= + = ，当且仅当 M,G,F,P共线时取等；1+2 1+221+2+3=+2同理：PN MN ,又 外接圆半径为 1， ，所以1+2+3, 1+2+3 =3,BC=a=2sin = ,由余弦定理 解3=2 3 3 2+2=3,即 (+)23=33(+2)2,b+c2 ,当且仅当 b=c= 取等；故3 3 1+2+3=+2 33211故答案为332【点睛】本题考查正余弦定理，基本不等式，善于
11、运用数形结合思想运用几何关系转化问题是关键，是难题.三、解答题:本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知递增的等差数列 前 项和为 ，若 ， . 14=16 4=20（1）求数列 的通项公式.（2）若 ，且数列 前 项和为 ，求 .=(1)12+1 【答案】 （1） ；（2）=2 1+(1)11+1【解析】【分析】（1）由题意求出等差数列 的首项和公差，进而可得通项公式；（ 2）由（1）并结合题意可得 ，然后分 为奇数和偶数两种情况可求得数列的前 项和=(1)1(1+1+1) 为 【详解】 （1）由 ，且 解得 ，14=164=2(1+4)=20 1=|
12、= 33+433+1+41+3+12=64又由图可知二面角 的平面角为锐角，二面角 的余弦值为 64【点睛】用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量夹角和二面角平面角的大小关系，由于平面角等于两法向量的夹角或其补角，所以在求出两个法向量的夹角后还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，然后才能得出所求角的大小19.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司 2011-2018年的相关数据如下表所示：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018年生产台数（万台） 2 3 4 5 6 7 10 11该产品的年利润
13、（百万元）2.1 2.75 3.5 3.25 3 4.9 6 6.5年返修台数（台） 21 22 28 65 80 65 84 88部分计算结果： ， ， ，=188=1=6 =188=1=4 8=1()2=72，8=1()2=18.0458=1()()=34.5注：年返修率=年 返 修 台 数年 生 产 台 数（1）从该公司 2011-2018年的相关数据中任意选取 3年的数据，以表示 3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现 2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出15年利润 （百万元）关于年生产台数 （万台）的线性回归方程（精确到
14、 0.01）. 附：线性回归方程 中， ， .=+=1()()=1()2 =1=122 =【答案】 （1）见解析；（2） =0.48+1.27【解析】【分析】（1）先判断得到随机变量的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望 （2）由于去掉 年的数据后不影响 的值，可根2015 据表中数据求出 ；然后再根据去掉 年的数据后所剩数据求出 即可得到回归直线方 2015 程【详解】 （1）由数据可知， ， ， ， ， 五个年份考核优秀20122013201620172018由题意的所有可能取值为 ， ， ， ，0 1 2 3，(=0)=053338=15
15、6，(=1)=152338=1556，(=2)=251338=3056=1528(=3)=350338=1056=528故的分布列为：0 1 2 3 156 1556 1528 528所以 =0156+11556+21528+3528=158（2）因为 ，所以去掉 年的数据后不影响 的值，5=6 2015 所以 =8=1()()8=1()2 =34.5720.48又去掉 年的数据之后 ，2015 =6867 =6 =4837 =297所以 ，=29734.57261.2716从而回归方程为： =0.48+1.27【点睛】求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性
16、，对于题目中给出的中间数据要合理利用本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题20.在直角坐标系 中， 椭圆 的中心在坐标原点 ，其右焦点为 ，且点 在椭 (1,0) (1,32)圆 上（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为 ， 是椭圆上异于 的任意一点，直线 交椭圆、 , 于另一点 ，直线 交直线 于 点， 求证： 三点在同一条直线上 =4 ,【答案】 （1） （2）见解析24+23=1【解析】【分析】（1） （法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得 ，进而求得 的=2 值，即可得到椭圆的标准方程；（法二）设椭圆 的方程为 （ ） ，列出方程
17、组，求得 的值，得到椭圆2+2=1 0 ,的标准方程。（2）设 ， ，直线 的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的(1,1) (2,2) =+1关系和向量的运算，即可证得三点共线。【详解】 （1） （法一）设椭圆 的方程为 ，22+22=1(0)一个焦点坐标为 ， 另一个焦点坐标为 ，(1,0) (1,0)由椭圆定义可知 ，2=(1+1)2+(320)2+(11)2+(320)2=4 ， ， 椭圆 的方程为 .=2 2=22=3 24+23=117（法二）不妨设椭圆 的方程为 （ ） ，2+2=1 0一个焦点坐标为 ， ，(1,0) =1又点 在椭圆 上， ，(1,32) 1+94=1联立方程
18、，解得 ， ，=4 =3椭圆 的方程为 .24+23=1（2）设 ， ，直线 的方程为 ，(1,1) (2,2) =+1由方程组 消去 ，并整理得： ，=+1,24+23=1, (32+4)2+69=0 ， ， ，=(6)2+36(32+4)0 1+2=632+4 12= 932+4直线 的方程可表示为 ， =112(2)将此方程与直线 联立，可求得点 的坐标为 ，=4 (4,2112) ，=(2+2,2) =(6,2112) 62(2+2)2112=62(12)21(2+2)12 =62(1+1)221(2+1)+2(1+1)2，所以 ，=4126(1+2)11 =4( 932+4)6(63
19、2+4)11 =0 /又向量 和 有公共点 ，故 ， ， 三点在同一条直线上. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。21.已知函数 （ 为常数） ()=2+2 （1）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；() （2）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的最大值() 1,2 |12|32 |(1)(2)|【答案】 （1） ；（2）4
20、,+)15442【解析】【分析】（1）根据 在定义域上恒成立并结合二次函数的图象求解即可 （2）由（1）得极()018值点 满足 ，且 在 上是减函数，去掉绝对值后可得1,2 22+2=0 () (1,2)，分别求出 后进行化简可得|(1)(2)|=(1)(2) (1)， (2)，然后利用换元法可求得所求的最大值|(1)(2)|=22122222【详解】 （1） ， ，()=2+2 (0,+) ()=2+2=22+2设 ， ，()=22+2 (0,+) 是定义域上的单调函数，函数 的图象为开口向上的抛物线，() () 在定义域上恒成立，即 在 上恒成立()0 ()=22+20 (0,+)又二次
21、函数图象的对称轴为 ，且图象过定点 ，=4 (0,2) ，或 ，40 40=2160 解得 .4实数 的取值范围为 4,+)（2）由（1）知函数 的两个极值点 满足 ，() 1,2 22+2=0 12=1,1+2=2不妨设 ，0(2) |(1)(2)|=(1)(2)=12+1+21(22+2+22)=1222+(12)+212=12222(1+2)(12)+212=2212+212=22122222令 ，则 ，=22 1又 ，即 ，解得 ，|12|=21232 2223220 112+251 解得 或 或 ，8 2综上所述，不等式 的解集为 ；()|1| (,82,+)当 时，则 ，=1 ()=|2+2|5+|=1|=3|+1|5=320只需 ，不可能(1)=320 ！当 时， ，1 ()=|2+2|+|5=|+23=33,+3,0 4当 时， 恒成立，0只需要 ，可得 ，()=330 6综上所述，实数 m的取值范围是 (,6)(4,+)【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础21题22
