1、1陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校 2019 届高三 3 月联考数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 2，3，6， ， ， ，则 A. 2， B. 6， C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合 A，B，C，由此能求出 【详解】 集合 2，3，6， ，6，9，18， ，2， ，故选：D【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分 900 分的条形统计图（甲为黑色条框，乙为浅色条框） ，设甲乙两位
2、同学成绩的平均值分别为 ，标准差分别甲 ,乙为 ， ，则 甲 乙A. B. 甲 乙 ,甲 乙 ,甲 乙C. D. 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 0则 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限2故选：B【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.设 为 所在平面内一点 ，则（ ） =33A. B. =13+43 =1343C. D. =43+13 =4313【答案】A【解析】【分析】由 利用平面向量几何运算的三角形法则，可得 ，化简即=3 =3（ ）可得结果.【详解】因为 ，=3所以 ，=3（ ）可得 ，1313=化为 ，故选 A.=13+43【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算
3、，属于基础题向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.5.张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5 尺布，现有一月（按 30 天计） ，共织 390 尺布” ，则该女最后一天织多少尺布？A. B. C. D. 18 20 21 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织 尺布，则 ，解得 305+30292 =390，所以 ，故选 C.=1629 30=5+
4、(301)1629=216.设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为 r，y 关于 x 的回归直线方程为 ，则 =+A. k 与 r 的符号相同 B. b 与 r 的符号相同4C. k 与 r 的符号相反 D. b 与 r 的符号相反【答案】A【解析】【分析】根据相关系数知相关系数的性质： ，且 越接近 1，相关程度越大；且 越接近|1 | |0，相关程度越小 为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果.【详解】 相关系数 r 为正，表示正相关，回归直线方程上升，r 为负，表示负相关，回归直线方程下降，与 r 的符号相同故选：A【点睛】本题考查用相关系数来衡量两个变
5、量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于 时，表示两个变量有很强的线性相关关系0.757.如果对定义在 R 上的奇函数 ，对任意两个不相邻的实数 ， ，所有=() 1 2，则称函数 为“H 函数” ，下列函数为 H 函1(1)+2(2)1(2)+2(1) =()数的是 A. B. C. D. ()= ()= ()=33()=|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式 等价为 ，1(1)+2(2)1(2)+2(1) (12)(1)(2)0即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H 函数”为奇函数且在 R 上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案【详解】根据题
6、意，对于所有的不相等实数 ， ，则1 2恒成立，1(1)+2(2)1(2)+2(1)则有 恒成立，即函数 是定义在 R 上的增函数，(12)(1)(2)0 ()则“H 函数”为奇函数且在 R 上为增函数，据此依次分析选项：对于 A， ，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；()=对于 B， ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；()=5对于 C， ，为奇函数，但在 R 上不是增函数，不符合题意；()=33对于 D， ，为奇函数且在 R 上为增函数，符合题意；()=|=2,02,0,0) 2线 是线段 的垂直平分线，则 C 的离心率为 =0 2A. B. 2 C. D. 52 5【答案】
7、C【解析】【分析】设 P 为直线 与 的交点，则 OP 为 的中位线，求得 到渐近线的距离=0 2 12 2为 b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值【详解】 设 为 直 线 =0与 2的 交 点 ， 则 为 12的 中 位 线 ，直线 是线段 的垂直平分线，2(,0) =0 2可得 到渐近线的距离为 ，2 |2|=2+2=且 ， ， ，可得 ，|=22= |1|=2|=2 |2|=2 |2|1|=2即为 ，即 ，22=2 =2可得 =1+22=1+4=5故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、
8、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知 F 是抛物线 C： 的焦点，点 在抛物线 C 上，且 ，则=22 (,) =1_|=9【答案】178【解析】【分析】利用抛物线方程求出 p，利用抛物线的性质列出方程求解即可【详解】由 ，得 ，则 ；由 得 ，由抛物线的性质可得=22 2=12 =14 =1 =2，|=2+2=2+18=178故答案为： 178【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题14.已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为_+4+204+70+20 =5+【答案】10【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值
9、即可【详解】作出实数 x，y 满足约束条件 的可行域如图所示：作直线 ：+4+204+70+20 0，5+=0再作一组平行于 的直线 l： ，0 5+=当直线 l 经过点 A 时， 取得最大值，=5+由 ，+4+2=0+2=0 得点 A 的坐标为 ，所以 (2,0) =5(2)+0=10的最大值为：10=5+故答案为：1010【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力15.设函数 ，则函数 _()=21,0 10) . =26 (26)22+222=116联立解出即可得出2=2+2.直线 l 与 x 轴平行时，把 代入椭圆方程可得： ，解得 x，可得(
10、2) =3236+912=1面积 直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为： ，设 ， =9. =+ (1,1)原点到直线 AB 的距离 ，化为： 直线方程与椭圆方程(2,2). =|1+2=3 2=9(1+2).联立化为： ，利用根与系数的关系可得(2+3)2+2+236=0，令 ，可得 面积 |=(1+2)(1+2)2412 2+3=3 =12|【详解】 由题意可设椭圆方程为： ，半焦距 c(1)22+22=1(0)则 ， ， =26(26)22+222=1 2=2+2联立解得： ， ， =26 =6 2=12椭圆 C 的标准方程为： 236+212=1直线 l 与 x 轴平行时
11、，把 代入椭圆方程可得： ，解得 ，可得(2) =3236+912=1 =3面积 =1263=9直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为： ，设 ，=+ (1,1) (2,2).原点到直线 AB 的距离 ，化为：=|1+2=3 2=9(1+2).联立 ，化为： ，=+2+32=36 (2+3)2+2+236=0，=4224(2+3)(236)0， 1+2=22+3 12=2362+3则 ，|=(1+2)(1+2)2412=(1+2)422(2+3)24(236)2+3=6 (2+1)(2+9)(2+3)2令 ，则 面积2+3=3 =12|=1236 (2+1)(2+9)(2+3)2，
12、=9(2)(+6)2 =912(116)2+43943=63当且仅当 ， 时，=6 =3面积取得最大值 63【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.已知函数 有两个零点()=()17求实数 a 的取值范围；(1)若函数 的两个零点分别为 ， ，求证： (2) () 1 2 1+22【答案】 （1） ； （2）见解析.(,+)【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出 a 的范围；(1)由 ， 得 ， ；得到所以 ；(2) 1=1 2=2 1=+1 2=+2 1+2=(+1)
13、1构造函数 ，求证即可()=2(1)+1【详解】 由 ，得 ，(1) ()= ()=当 时， 在 R 上为增函数，0 ()函数 最多有一个零点，不符合题意，所以 () 0当 时， ， ；0 ()= ()0所以 在 上为减函数，在 上为增函数；() (,) (,+)所以 ；()=()=若函数 有两个零点，则 ；() ()当 时， ， ； (0)=10 (1)=0由零点存在定理，函数 在 和 上各有一个零点() (0,1) (1,3)结合函数 的单调性，当 时，函数 有且仅有两个零点，() ()所以，a 的取值范围为 (,+)证明：由 得 ， ；(2) (1) 01) 2=121= 解得 ， ；1
14、=1 2=1所以 ，1+2=(+1)1当 时，1 1+22(+1)1 218；2(1)+10设 ，则 ，当 时， ，()=2(1)+1 ()=(1)2(+1)2 1 ()0于是 在 上为增函数；() (1,+)所以，当 时， ，即 ；1 ()(1)=0 2(1)+10所以 1+22【点睛】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程为 ，直线的参数方程为 （为参数， =42 =,=1+ ）.0（）把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 的形状； （）若直线经过点 ，求直线被曲线 截得的
15、线段 的长.(1,0) 【答案】 （1）详见解析；（2） 8【解析】试题分析：（1）对曲线 的极坐标方程两边乘以 ，可化得其直角坐标方程为 ，这 2=4是顶点在原点，焦点为 的抛物线；（ 2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点(1,0)，依题意直线又过点 ，由此求得直线方程为 ，倾斜角为 ，故直线的(0,1) (1,0) =+134参数方程为 ，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用=34=22=1+34=1+22 求得弦长为 .|=|12| 8试题解析：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，故曲线 是顶点为 ，焦点为 2=4 (0， 0)的抛物线 .(1， 0)（2）直线的参数方程为 （为
16、参数， ） ，故经过点 ，若直线经=1+ 0 (0， 1)过点 ，则 .(1， 0) =34直线的参数方程为 （为参数） =34=22=1+34=1+22代入 ，得 ，2=4 2+26+2=019设 对应的参数分别为 ，则 ， ， 1， 2 1+2=26 12=2 .|=|12|=(1+2)2412=823.已知函数 的定义域为 R()=|+1|+|3|求实数 m 的取值范围若 m 的最大值为 n，当正数 a、b 满足 时，求 的最小值23+ 1+2= 7+4【答案】() m4() 94【解析】试题分析：（1）由函数定义域为 R，可得|x+1|+|x3|m0 恒成立，设函数 g（x）=|x+1
17、|+|x3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知 n=4，变形 7a+4b= ，利用基本不等式的性14(6+2+2)( 23+ 1+2)质即可得出试题解析：()由题意可知： m0 对任意实数恒成立设函数 g(x) ，则 m 不大于函数 g(x)的最小值又 4.即 g(x)的最小值为 4，所以 m4()由()知 n4，7 a4 b .当且仅当 a2 b3 a b，即 b2 a 时，等号成立所以 7a4 b 的最小值为 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向【此处有视频，请去附件查看】2021
