1、1第一节 平面向量的概念及线性运算突破点一 平面向量的有关概念基 本 知 识 名称 定义 备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量 长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)向量与有向线段是一
2、样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(2)若 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定不可能都是零向量( )答案：(1) (2)二、填空题1如果对于任意的向量 a，均有 a b，则 b 为_答案：零向量2若 e 是 a 的单位向量，则 a 与 e 的方向_解析： e ， e 与 a 的方向相同a|a|答案：相同3 ABC 中，点 D， E， F 分别为 BC， CA， AB 的中点，在以 A， B， C， D， E， F 为端点的有向线段所表示的向量中，与 共线的向量有_个EF 答案：7 个典 例 感 悟 1(2018海淀期末)下列说法正确的是( )2A方向相同的向量叫做相等向量B共线向量
3、是在同一条直线上的向量C零向量的长度等于 0D 就是 所在的直线平行于 所在的直线AB CD AB CD 解析：选 C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当 时， 所在的直线与 所在的直线可能重合，故 D 不正确AB CD AB CD 2(2019辽宁实验中学月考)有下列命题：若|a|b|，则 ab；若| | |，则四边形 ABCD 是平行四边形；AB DC 若 mn，nk，则 mk；若 a b，b c ，则 ac .其中，假命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选
4、C 对于， |a| |b|，a，b 的方向不确定，则 a，b 不一定相等，所以错误；对于，若| | |，则 ， 的方向不一定相同，所以四边形 ABCD 不一AB DC AB DC 定是平行四边形，错误；对于，若 mn，nk，则 mk，正确；对于，若a b，b c ，则 b0 时，a c 不一定成立，所以错误综上，假命题的是，共3 个，故选 C.3(2019赣州崇义中学模拟)向量 与 共线是 A， B， C， D 四点共线的( )AB CD A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 由 A， B， C， D 四点共线，得向量 与 共线，反之不成立，可能AB
5、 CD AB CD，所以向量 与 共线是 A， B， C， D 四点共线的必要不充分条件，故选 B.AB CD 方 法 技 巧 关于平面向量的 3 个易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上突破点二 平面向量的线性运算3基 本 知 识 1向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab) ca(b c)减法求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算aba(b)数乘
6、求实数 与向量 a的积的运算| a| |a|，当 0 时， a 与 a 的方向相同；当 0 时， a 与 a 的方向相反；当 0 时， a0 ( a)( )a；( )a a a； (ab) a b2.平面向量共线定理向量 b 与 a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 b a.3向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式：若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内一点，则 ( )OP 12 OA OB (2)三角形的重心：已知平面内不共线的三点 A， B， C， ( )G 是 ABC 的重PG 13 PA PB PC 心特别地， 0 P 为 ABC 的重心PA PB PC
7、基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)a b 是 a b( R)的充要条件( )(2) ABC 中， D 是 BC 的中点，则 ( )( )AD 12 AC AB 答案：(1) (2)二、填空题41在如图所示的方格纸中有定点 O， P， Q， E， F， G， H，则 _.OP OQ 答案： FO 2化简：( )( )_.AB CD AC BD 解析：( )( ) ( )(AB CD AC BD AB CD AC BD AB AC ) 0.DC DB CB BC 答案：03已知向量 a，b 不共线，且 c ab， da(2 1)b，若 c 与 d 共线反向，则实数 的值为
8、_答案：12全 析 考 法 考法一 平面向量的线性运算 应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可(1)加法的三角形法则要求“首尾相接” ，加法的平行四边形法则要求“起点相同” ；(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量” ；(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算例 1 (1)(2019湖北咸宁联考)如图，在 ABC 中，点 M 为 AC 的中点，点 N 在 AB上， 3 ，点 P 在 MN 上， 2 ，那么 ( )AN NB MP PN AP A. B. 23AB 16AC 13AB 12AC C. D. 13AB 16AC 12AB 16AC (2)
9、如图，在直角梯形 ABCD 中， ， 2 ，DC 14AB BE EC 5且 r s ，则 2r3 s( )AE AB AD A1 B2C3 D4解析 (1) ( )AP AM MP AM 23MN AM 23 AN AM .故选 D.13AM 23AN 16AC 12AB (2)根据图形，由题意可得 ( AE AB BE AB 23BC AB 23 BA AD ) ( ) .DC 13AB 23 AD DC 13AB 23 12AB 23AD 因为 r s ，所以 r ， s ，则 2r3 s123.AE AB AD 12 23答案 (1)D (2)C方法技巧1平面向量的线性运算技巧(1)不
10、含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求 考法二 平面向量共线定理的应用 求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共
11、线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)直线的向量式参数方程： A， P， B 三点共线 (1 t) t (O 为平OP OA OB 面内任一点， tR)例 2 (1)(2019南昌莲塘一中质检)已知 a，b 是不共线的向量， ab，AB 6a b( ， R)，若 A， B， C 三点共线，则 ， 的关系一定成立的是( )AC A 1 B 1C 1 D 2(2)(2019郑州模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量，3 e12 e2， k e1 e2， 3 e12k e2，若 A， B， D 三点共线，则 k 的值为AB CB CD _解析 (1) 与 有公共点 A，若
12、A， B， C 三点共线，则存在一个实数 t 使AB AC t ，即 ab ta t b，则Error!消去参数 t 得 1；反之，当 1AB AC 时， ab，此时存在实数 使 ，故 和 共线 与AB 1 1 AB 1 AC AB AC AB 有公共点 A， A， B， C 三点共线故选 A.AC (2)由题意， A， B， D 三点共线，故必存在一个实数 ，使得 .AB BD 又 3 e12 e2， k e1 e2， 3 e12 ke2，AB CB CD 所以 3 e12 ke2( ke1 e2)BD CD CB (3 k)e1(2 k1) e2，所以 3e12 e2 (3 k)e1 (2
13、k1) e2，又 e1与 e2不共线，所以Error! 解得 k .94答案 (1)A (2)94方法技巧 平面向量共线定理的 3 个应用证明向量共线对于非零向量 a，b，若存在实数 ，使 a b，则 a 与 b 共线证明三点共线若存在实数 ，使 ， 与 有公共点 A，则AB AC AB AC A， B， C 三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值集 训 冲 关 1. 在等腰梯形 ABCD 中， 2 ， M 为 BC 的中点，则 ( )考 法 一 AB CD AM 7A. B. 12AB 12AD 34AB 12AD C. D. 34AB 14AD 12AB
14、34AD 解析：选 B 因为 2 ，所以 2 .又 M 是 BC 的中点，所以AB CD AB DC ( ) ( ) ，故选 B.AM 12 AB AC 12 AB AD DC 12 34AB 12AD 2. 在 ABC 中， AB2， BC3， ABC60， AD 为 BC 边上的高， O 为 AD 的考 法 一 中点，若 ，其中 ， R，则 等于( )AO AB BC A1 B.12C. D.13 23解析：选 D 由题意易得 ，AD AB BD AB 13BC 则 2 ，即 .AO AB 13BC AO 12AB 16BC 故 .12 16 233. 设两个非零向量 a 与 b 不共线考 法 二 (1)若 ab， 2a8b， 3(ab)，求证： A， B， D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线解：(1)证明： ab， 2a8b， 3(ab)，AB BC CD 2a8b3(ab)5(ab)5 ，BD BC CD AB ， 共线，又它们有公共点 B，AB BD A， B， D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab (akb)，即(k )a( k1)b.又 a，b 是两个不共线的非零向量，Error! k 210.k1.8
