1、基础知识-高等数学(九)及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题 lilist-style-t(总题数：48，分数：48.00)1.设 （分数：1.00）A.B.C.D.2.D域由 x轴、x 2+y2-2x=0(y0)及 x+y=2所围成，f(x，y)是连续函数，化 为二次积分是( )。（分数：1.00）A.B.C.D.3.设总体 X的概率密度为 其中 -1 是未知参数，X 1，X 2，X n是来自总体 X的样本，则 的矩估计量是U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“=y2的通解是( )。 A.lnx+c B.ln(x+c) C.c2+ln|x
2、+c1| D.c2-ln|x+c1|（分数：1.00）A.B.C.D.5.设 D是 xOy平面上以(1，1)、(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D在第一象限的部分，（分数：1.00）A.B.C.D.6.函数 （分数：1.00）A.B.C.D.7.设 （分数：1.00）A.B.C.D.8. ，D：x 2+y2a 2则 a为U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）A.B.C.D.10.设 f(x)、g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(x)，x=a 及x=b所围平面图形绕直线 y=m旋转而
3、成的旋转体体积为U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.11.设随机变量 X的概率密度为 则 P(0X3)等于U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.12.设 ， 都是非零向量，若 =，则U /U。 A.= B. 且 C.(-) D.(-)（分数：1.00）A.B.C.D.13.点(1，l，1)到平面 2x+y+2z+5=0的距离 d=U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.14.设 1， 2是矩阵 4的两个不同的特征值， 是 A的分别属于 1， 2的特征向量，则以下选项中正确的是U /U。 A.对任意的 k1O 和 k20，k 1+k 2 都是 A的特征向量 B.存在常数
4、k1O 和 k20，使得 k1+k 2 是 A的特征向量 C.对任意的 k1O 和 k20，k 1+k 2 都不是 A的特征向量 D.仅当 k1=k2=0时，时。k 1+k 2 是 A的特征向量（分数：1.00）A.B.C.D.15.设 f(x)=2x+3x-2，则当 x0 时U /U。 A.f(x)是 x等价无穷小 B.f(x)与 x是同阶但非等价无穷小 C.f(x)是比 x高阶的无穷小 D.f(x)是比 x低阶的无穷小（分数：1.00）A.B.C.D.16.是 x的多项式，其可能的最高方次是U /U。 A1 次 B2 次 c3 次 D4 次 （分数：1.00）A.B.C.D.17.下列函数
5、中不是方程 y“-2y+y=0的解的函数是U /U。 A.x2ex B.ex C.xex D.(x+2)ex（分数：1.00）A.B.C.D.18.已知 a、b 均为非零向量，而|a+b|=|a-b|，则U /U。 A.a-b=0 B.a+b=0 C.ab=0 D.ab=0（分数：1.00）A.B.C.D.19.已知直线 L1过点 M。(0，0，-1)且平行于 x轴，L 2过点 M2(0，0，1)且垂直于 xOz平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为U /U。 A.x2+y2=4z B.x2-y2=2z C.x2-y2=z D.x2-y2=4z（分数：1.00）A.B.C.D.20.下列各点中为
6、二元函数 z=x3-y3-3x2+3y-9x的极值点的是U /U。 A.(3，-1) B.(3，1) C.(1，1) D.(-1，-1)（分数：1.00）A.B.C.D.21.设 n维行向量 （分数：1.00）A.B.C.D.22.下列矩阵中不能对角化的是U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.23.已知 xy=kz(k为正常数)，则 等于( )。 A1 B-1 Ck （分数：1.00）A.B.C.D.24.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是U /U。 A.y“-y-2y=3xex B.y“-y-2y=3ex C.y“+y-2y=3xex D.y“+y-2y=3
7、ex（分数：1.00）A.B.C.D.25.设 （分数：1.00）A.B.C.D.26.设 （分数：1.00）A.B.C.D.27.直线 (x0)与 y=H及 y轴所围图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积为U /U。(H，R 为任意常数) （分数：1.00）A.B.C.D.28. （分数：1.00）A.B.C.D.29.设 S：x 2+y2+z2=a2(z0)，S 1为 S在第一卦限中的部分，则有U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.30.下列广义积分中发散的是U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.31.对于曲线 （分数：1.00）A.B.C.D.32.设 D是曲线 y=x2与
8、y=1所围闭区域，A1 （分数：1.00）A.B.C.D.33.母线平行于 Ox轴且通过曲线 （分数：1.00）A.B.C.D.34.在平面 x+y+z-2=0和平面 x+2y-z-1=0的交线上有一点 M，它与平面 x+2y+z+1=0和 x+2y+z-3=0等距离，则 M点的坐标为U /U。 A.(2，0，0) B.(0，0，-1) C.(3，-1，0) D.(0，1，1)（分数：1.00）A.B.C.D.35.直线 L为 （分数：1.00）A.B.C.D.36.已知级数 （分数：1.00）A.B.C.D.37. （分数：1.00）A.B.C.D.38.下列命题正确的是U /U。 A.分段
9、函数必存在间断点 B.单调有界函数无第二类间断点 C.在开区间内连续，则在该区间必取得最大值和最小值 D.在闭区间上有间断点的函数一定有界（分数：1.00）A.B.C.D.39.在区间0，2上，曲线 y=sinx与 y=cosx之间所围图形的面积是U /U。 （分数：1.00）A.B.C.D.40.总体 XN(， 2)，从 X中抽得样本 为样本均值。记则服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是 T=U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.41.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则U /U。 A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B C.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B D.存
10、在可逆矩阵 P和 Q，使 PAQ=B（分数：1.00）A.B.C.D.42.设 ：x 2+y2+z21，z0，则三重积分 等于U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.43.等于( )。 A0 B9 C3 （分数：1.00）A.B.C.D.44.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X-2Y的方差是U /U。 A.8 B.16 C.28 D.44（分数：1.00）A.B.C.D.45.在一元线性回归分析中， （分数：1.00）A.B.C.D.46.若 的收敛域足(-8，8， 的收敛半径及 （分数：1.00）A.B.C.D.47.双纽线(x 2+y2)2=x2
11、-y2所围成的区域面积可用定积分表示为U /U。（分数：1.00）A.B.C.D.48.设 A是 mn矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是U /U。 A.若 Ax=0仅有零解，则 Ax=b有惟一解 B.若 Ax=0有非零解，则 Ax=b有无穷多个解 C.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0仅有零解 D.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0有非零解（分数：1.00）A.B.C.D.基础知识-高等数学(九)答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题 lilist-style-t(总题数：48，分数：48.00)1.设 （分
12、数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 f(x)在 x=0处可导，则 ABC三项可立即排除，因此可从判断 f(x)在 x=0处是否可导入手。因为 * 可见 f(x)在 x=0处左、右导数相等，因此 f(x)在 x=0处可导。2.D域由 x轴、x 2+y2-2x=0(y0)及 x+y=2所围成，f(x，y)是连续函数，化 为二次积分是( )。（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 D 域如图 1-3-1阴影所示。 * 再积 y，y(0，1)。3.设总体 X的概率密度为 其中 -1 是未知参数，X 1，X 2，X n是来自总体 X的样本，则 的矩估计量是U /U。（分数：1.00）
13、A.B. C.D.解析：解析 矩估计中用样本均值*作为总体参数 E(X)的无偏估计量，即：E(X)=*4.微分方程 y“=y2的通解是( )。 A.lnx+c B.ln(x+c) C.c2+ln|x+c1| D.c2-ln|x+c1|（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 y=z，则原方程可化为 z=z2，即*两边同时积分得，*两边同时积分有，y=c 2-ln|x+c1|。5.设 D是 xOy平面上以(1，1)、(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D在第一象限的部分，（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 三角形 D可进一步分割为两个分别关于 x轴和
14、y轴对称的三角形，从而根据被积函数关于x或 y的奇偶性即可得出结论。 设 D是 xOy平面上以(0，0)，(1，1)，(-1，1)为顶点的三角形区域，D“足 xOy平面上以(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)为顶点的三角形区域，则 D关于 y轴对称，D“关于 x轴对称。*6.函数 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据题意，x=1 是函数 f(x)的间断点，所以在求其极限时要分别求其左极限和右极限。 * 由于左极限不等于右极限，故 x1 时，f(x)的极限不存在。7.设 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 * * F“(x)=f(x)+xf(x)-f(x)=xf(
15、x)。 F“(x)=0。又由 f(x)0，当 x0 时，F“(x)0；当 x0 时，F“(x)0； 因此(0，F(0)是曲线的拐点。 由 F“(x)的符号可得： 当 x0 时 F(x)单调递减，因此 F(x)F(0)=0； 当 x0 时 F(x)单调递增，因此 F(x)F(0)=0， 从而推得 F(x)在(-，+)坼调增加，F(0)不是极值点。8. ，D：x 2+y2a 2则 a为U /U。（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 * *9. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于回归系数 b=LxyL xx=*075；所以常数项*10.设 f(x)、g(x)在区间a，b上
16、连续，且 g(x)f(x)m(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(x)，x=a 及x=b所围平面图形绕直线 y=m旋转而成的旋转体体积为U /U。 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 利用微元法得体积微元，然后再积分。因为 dV=m-g(x) 2-m-f(x) 2dx，则：*11.设随机变量 X的概率密度为 则 P(0X3)等于U /U。 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由题得*12.设 ， 都是非零向量，若 =，则U /U。 A.= B. 且 C.(-) D.(-)（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 根据题意可得，-=(-)=0，故 (-)。1
17、3.点(1，l，1)到平面 2x+y+2z+5=0的距离 d=U /U。 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 *14.设 1， 2是矩阵 4的两个不同的特征值， 是 A的分别属于 1， 2的特征向量，则以下选项中正确的是U /U。 A.对任意的 k1O 和 k20，k 1+k 2 都是 A的特征向量 B.存在常数 k1O 和 k20，使得 k1+k 2 是 A的特征向量 C.对任意的 k1O 和 k20，k 1+k 2 都不是 A的特征向量 D.仅当 k1=k2=0时，时。k 1+k 2 是 A的特征向量（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 ， 是 A的分别属于 1 2的
18、特征向量，则：A= 1，A= 2，A(k 1+k 2：)=k1A+k 2A=k 1 1+k 2 2，当 A，A2 时，k 1+k 2 就不是矩阵 A的特征向量。15.设 f(x)=2x+3x-2，则当 x0 时U /U。 A.f(x)是 x等价无穷小 B.f(x)与 x是同阶但非等价无穷小 C.f(x)是比 x高阶的无穷小 D.f(x)是比 x低阶的无穷小（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 利用等价无穷小代换与极限四则运算法则求解。 * 再由极限的四则运算法则，* 根据无穷小的阶的定义，可知 B正确。 解析 2利用洛必达法则求解。 *16.是 x的多项式，其可能的最高方次是U /U
19、。 A1 次 B2 次 c3 次 D4 次 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 第二行，第三行都减去第一行后，再按第一行展开，知 f(x)的可能的最高方次是一次。17.下列函数中不是方程 y“-2y+y=0的解的函数是U /U。 A.x2ex B.ex C.xex D.(x+2)ex（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由特征方程 2-2+1=0 解得特征根为 =1，从而对应的齐次方程通解为 y=c1ex+c2xex。其中 c1、c 2为任意常数。18.已知 a、b 均为非零向量，而|a+b|=|a-b|，则U /U。 A.a-b=0 B.a+b=0 C.ab=0 D.a
20、b=0（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由 a0，b0 及|a+b|=|a-b|知 (a+b)(a+b)=(a-b)(a*b) 即 aB=-ab，所以ab=0。19.已知直线 L1过点 M。(0，0，-1)且平行于 x轴，L 2过点 M2(0，0，1)且垂直于 xOz平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为U /U。 A.x2+y2=4z B.x2-y2=2z C.x2-y2=z D.x2-y2=4z（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 两直线的方程为*设动点为 M(x，y，z)，则由点到直线的距离的公式知：*，其中 li是直线 Li的方向向量。有：*由 d1=d2得*，故
21、(z+1) 2+y2=(z-1)2+x2。即 x2-y2=4z。20.下列各点中为二元函数 z=x3-y3-3x2+3y-9x的极值点的是U /U。 A.(3，-1) B.(3，1) C.(1，1) D.(-1，-1)（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由方程组*得 f的稳定点为 P0(-1，-1)，P 1(-1，1)，P 2(3，-1)，P 3(3，1)。而由 A=f“xx=6x-6，B=f“ xy=0，C=f“ yy=-6y可得：在 P0(-1，-1)处，由 A=-120，B=0，C=6，AC-B 2=-720 可得，f 不能取得极值；在 P1(-1，1)处，由 A=-120，
22、B=0，C=-6，AC-B 2=720 可得，f 取得极大值；在 P2(3，-1)处，由 A=120，B=0，C=6，AC-B 2=720 可得，f 取得极小值；在 P3(3，1)处，由 A=120，B=0，C=-6，AC-B 2=-720 可得，f 不能取得极值；21.设 n维行向量 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 注意利用 T为一个数来简化计算。*评注 本题主要考查矩阵的运算，另外，设 ， 为 n维的非零列向量，如在题中涉及 T(或 T)，一般要利用 T= T 是一个数，来简化计算，若 A= T，则 A2=( T)A，An=( T) n-1A。22.下列矩阵中不能对角化的是
23、U /U。 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 A 项，*故 A有三个不同的特征值，显然 A可对角化。*即特征值为 1=1(二重)， 2=-2。当 =1 时，r(E-A)=1，故 =1 对应两个线性无关的特征向量，故 A可对角化。*故 =-1 是三重特征值，而 r(-E-A)=2，敞 A不可对角化。D项为实对称矩阵，它必町对角化。23.已知 xy=kz(k为正常数)，则 等于( )。 A1 B-1 Ck （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 将方程整理为 F(x，y，z)=0 的形式，即 xy-kz=0，则有 *24.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分
24、方程是U /U。 A.y“-y-2y=3xex B.y“-y-2y=3ex C.y“+y-2y=3xex D.y“+y-2y=3ex（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 y=C 1ex+C2e-2x+xex是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，相应的齐次方程的特征根 1=1， 2=-2，特征方程应是(-1)(+2)=0，于是相应的齐次方程是 y“+y-2y=0。在 C与 D中，方程 y“+y-2y=3ex，有形如 y*=Axex的特解(此处 eax中 a=1是单特征根)。25.设 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 根据题意可得：*所以 f(x)为奇函数；由于*则 f(x)
25、在(-，+)上为单调递增函数，且当 x-时，f(x)=-1，当 x时，f(x)=1，所以 f(x)的值域为(-1，1)。26.设 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 三个均为对称区间上的积分，自然想到奇偶函数在对称区上的积分性质。 根据被积函数的奇偶性知，*因此有 PMN。27.直线 (x0)与 y=H及 y轴所围图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积为U /U。(H，R 为任意常数) （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 所求旋转体为以原点为顶点，以圆心为(0，H)、半径为 R的圆为底面的倒圆锥体。其体积公式为 V=R 2H3。28. （分数：1.00）A.B. C.D.
26、解析：解析 *29.设 S：x 2+y2+z2=a2(z0)，S 1为 S在第一卦限中的部分，则有U /U。（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 显然，待选答案的四个右端项均大于零，而 S关于平面 x=0和 y=0对称，因此，ABD 三项中的左端项均为零，可见 C项一定正确。事实上，有 *30.下列广义积分中发散的是U /U。 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 * *31.对于曲线 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 y=x4-x2=x2(x2-1)，令 x2(x2-1)=0，求得驻点为：x 1=-1，x 2=0，x3=1。又 y“=4x3-2x，则：
27、*B项，拐点是指连续函数在该点两侧凹凸性改变的点，判断方法为：二阶导数 f“(x)=0或不存在，且在该点两侧 f“(x)变号。令 y“=4x3-2x=0，解得 x=0或*经验证三点都符合。D项，由于 f(-x)=-f(x)，所以曲线以原点为中心对称。32.设 D是曲线 y=x2与 y=1所围闭区域，A1 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 *33.母线平行于 Ox轴且通过曲线 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因柱面的母线平行于 x轴，故其准线在 yOz平面上，且为曲线在 yOz平面上的投影，在方程组*中消去 x得：*此即为柱面的准线，故柱面的方程为：3y 2-z2=
28、16。34.在平面 x+y+z-2=0和平面 x+2y-z-1=0的交线上有一点 M，它与平面 x+2y+z+1=0和 x+2y+z-3=0等距离，则 M点的坐标为U /U。 A.(2，0，0) B.(0，0，-1) C.(3，-1，0) D.(0，1，1)（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 A 项，点(2，0，0)不在平面 x+2y-z-1=0上；B 项，点(0，0，-1)不在平面 x+y+z-2=0上；D项，点(0，1，1)与两平面不等距离。35.直线 L为 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 直线，J 的方向向量 * 平面 的法向量，n=4i-2j+k，所以 sn
29、，即直线 L垂直于平面。36.已知级数 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 若*均收敛，则同时有 p-20 且 p0，综合得 0p2。37. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 原式=*38.下列命题正确的是U /U。 A.分段函数必存在间断点 B.单调有界函数无第二类间断点 C.在开区间内连续，则在该区间必取得最大值和最小值 D.在闭区间上有间断点的函数一定有界（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 A 项，例如分段函数*在定义域内没有间断点； C 项，函数 f(x)=x，0x1，在开区间(0，1)内单调连续，没有最大值和最小值； D 项，若函数在闭区内有第二
30、类断点，则函数在该区间内不一定有界； B 项，若函数单调有界，则一定没有第二类间断点。39.在区间0，2上，曲线 y=sinx与 y=cosx之间所围图形的面积是U /U。 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 y=sinx 与 y=cosx的交点分别在*只有 B项符合。40.总体 XN(， 2)，从 X中抽得样本 为样本均值。记则服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是 T=U /U。（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意，* *41.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则U /U。 A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B C.存在可逆矩阵 C，使 CT
31、AC=B D.存在可逆矩阵 P和 Q，使 PAQ=B（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用同阶矩阵等价的充要条件是其秩相同，即得正确答案。由题设 A、B 可逆，若取P=B，Q=A -1，则 PAQ=BAA-1=B，即 A与 B等价，可见 D成立。矩阵乘法不满足交换律，故 A不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合同的，因此 B、C 均不成立。42.设 ：x 2+y2+z21，z0，则三重积分 等于U /U。（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 如果 关于 x，y 轮换对称即把 表达式中的 x，y 换为 y，x， 不变，则 *而本题的 关于 x、y 轮换对称，关于
32、 x、z(或 y、z)不轮换对称，故 *43.等于( )。 A0 B9 C3 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 *为奇函数，在对称区间(-3，3)上积分为 0。44.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X-2Y的方差是U /U。 A.8 B.16 C.28 D.44（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 直接利用相互独立随机变量方差公式进行计算即可。D(3X-2Y)=32D(X)+22D(Y)=94+42=4445.在一元线性回归分析中， （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 b=LxyL xx=-45=-0.8，而*4
33、6.若 的收敛域足(-8，8， 的收敛半径及 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 *47.双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为U /U。（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的图形是关于)，轴对称的，因此所求面积 S为 x0 部分图形面积 S1的两倍。对于 x0 部分双纽线的极坐标方程是*48.设 A是 mn矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是U /U。 A.若 Ax=0仅有零解，则 Ax=b有惟一解 B.若 Ax=0有非零解，则 Ax=b有无穷多个
34、解 C.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0仅有零解 D.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0有非零解（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用方程组解的判定定理。 由解的判定定理知，对 Ax=b，若有*则 Ax=b一定有解。进一步，若 r=n，则 Ax=b有惟一解；若 rn，则 Ax=b有无穷多解。而对 Ax=0一定有解，且设 r(A)=r，则若 r=n，Ax=0 仅有零解；若 rn，Ax=0 有非零解。 因此，若 Ax=b有无穷多解，则必有从而 r(A)=rn，Ax=0 有非零解，所以 D成立。 但反过来，若 r(A)=r=n(或n)，并不能推导出所以 Ax=b可能无解，更谈不上有惟一解或无穷多解。
