1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 10 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_2.已知 xykz（k 为正常数），则 （分数：2.00）A.1B.1C.kD.3.已知函数 （分数：2.00）A.2x+2yB.x+yC.2x2yD.xy4.曲面 z1x 2 一 y 2 在点 处的切平面方程是： （分数：2.00）A.B.C.D.5.曲面 zx 2 一 y 2 在点( ，1，1）处的法线方程是： （分数：2.00）A.B.C.D.6
2、zf(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )一阶偏导数存在是该函数在此点可微的什么条件？（分数：2.00）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件7.函数 zf(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微分，且 f x (x 0 ，y 0 )0，f y (x 0 ，y 0 )0，则f(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处有什么极值情况？（分数：2.00）A.必有极大值B.必有极小值C.可能取得极值D.必无极值8.设 ，则 z y 等于： （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 zu 2 ln，而 u(x，y)，(y)均为可导函数，则 等于： （分数：2.00）A.
3、B.C.D.10.设 zf(u，)具有一阶连续偏导数，其中 uxy，x 2 + y 2 ，则 （分数：2.00）A.xf u +yf B.xf u +2yf C.yf u +2xf D.2xf u +2yf 11.设 (x、y、z)xy 2 z，A 在点（1，1，1）处的值为： （分数：2.00）A.B.C.D.12.在曲线 xt1，y 一 t2，z 一 t3 上某点的切线平行于平面 x+2y+z 一 4，则该点的坐标为： （分数：2.00）A.B.C.D.13.曲面 zx 2 +y 2 在（1，2，5）处的切平面方程是：（分数：2.00）A.2x+4y+z11B.2x4y+z1C.2x4yz
4、15D.2x4y+z514.曲面 xyz1 上平行于 x+y+z+30 的切平面方程是：（分数：2.00）A.x+y+z0B.x+y+z1C.x+y+z2D.x+y+z315.曲线 x ，yt+3，z t 3 +4(t0)上对应于 t 的点处的切线与 yOz 平面的夹角为： （分数：2.00）A.B.C.D.16.曲线 （分数：2.00）A.xy0B.yz0C.x+y0D.x+z017.计算 I （分数：2.00）A.I 0 2 d 0 1 rdr 0 1 zdzB.I 0 2 d 0 1 rdr r 1 zdzC.I 0 2 d 0 1 dz r 1 rdrD.I 0 1 dz 0 d 0
5、z zrdr18.曲面 x 2 +y 2 +z 2 2z 之内以及曲面 zx 2 +y 2 之外所围成的立体的体积 V 等于： （分数：2.00）A.B.C.D.19.D 域由 x 轴、x 2 +y 2 2x0(y0)及 x+y2 所围成，f(x，y)是连续函数，化 f(x，y)dxdy为二次积分是： （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 D 是曲线 yx 2 与 y1 所围闭区域， （分数：2.00）A.1B.C.0D.221.设 f(x，y)是连续函数，则 0 1 dxf(x，y)dy 等于：（分数：2.00）A. 0 x dy 0 1 f (x，y)dxB. 0 1 dy 0 x
6、f(x，y)dxC. 0 1 dy 0 1 f(x，y)dxD. 0 1 dy y 1 f(x，y)dx22.设 L 为连接(0，0)点与(1，1)点的抛物线 yx 2 ，则对弧长的曲线积分 L xds 等于： （分数：2.00）A.B.C.D.23.设平面闭区域 D 由 x0，y0，x+y ，x+y1 所围成。 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 1 I 3 I 2C.I 3 I 2 I 1D.I 3 I 1 I 224.计算由曲面 z 及 zx 2 + y 2 所围成的立体体积的三次积分为： （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 D 是两个坐标轴和直线 x+y1 所围
7、成的三角形区域，则 的值为： （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 D 是矩形区域：1x1，1y1，则 （分数：2.00）A.（e 一 1） 2B.C.4(e1) 2D.(ee 1 ) 227. D 是由 y 2 x 及 yx2 所围成的区域，则化为二次积分后的结果为： （分数：2.00）A.B.C.D.28.将 （其中 D：x 2 +y 2 1）化为极坐标系下的二次积分，其形式为下列哪一式？ （分数：2.00）A.B.C.D.29.改变积分次序 0 3 dy y 6y f(x，y)dx，则有下列哪一式？（分数：2.00）A. 0 3 dx x 6x f (x，y)dyB. 0 3 dx
8、 0 x f(x，y)dy+ 3 6 dx 0 6x f(x，y)dyC. 0 3 dx 0 x f(x，y)dyD. 0 6 dx 0 6x f(x，y)dy30.积分 的值等于： （分数：2.00）A.B.C.D.31.设总体 XN(， 2 )， 2 均未知，X 1 ，X 2 ，X n 为其样本，检验假设 H 0 ： 2 0 2 ，H 1 ： 2 0 2 ，当 X 2 （分数：2.00）A. 2 005 2 (n1)B. 2 095 2 (n1)C. 2 0975 2 (n1)或 2 0025 2 (n1)D. 2 095 2 (n1)或 2 005 2 (n1)注册岩土工程师（基础考试-
9、上午-高等数学）-试卷 10 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_解析：2.已知 xykz（k 为正常数），则 （分数：2.00）A.1B.1 C.kD.解析：解析：xykz，xykz0 由 F(x，y，z)0，分别求出 F x 、F y 、F z 计算 F x y，F y x，F z k 3.已知函数 （分数：2.00）A.2x+2yB.x+y C.2x2yD.xy解析：解析：将 化为 f(x，y)形式。 设 xyu， 而 uxy x 2 ，
10、即 x 2 u 代入 f(xy， )x 2 ，化为 f(u，)u 即 f(x，y)xy，对函数 f(x，y)求偏导，得 所以 4.曲面 z1x 2 一 y 2 在点 处的切平面方程是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：把显函数化为隐函数形式。 F(x，y，z)x 2 +y 2 +z 一 10，曲面切平面的法向量 F x ，F y ，F z 2x，2y，1 已知 M 0 的坐标为 2x，2y，1M 0 1，1，1 则切平面方程为 整理得 x+y+z 5.曲面 zx 2 一 y 2 在点( ，1，1）处的法线方程是： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：写成隐函数 F(
11、x，y，z)0，即 zx 2 +y 2 0 切平面法线向量 6.zf(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )一阶偏导数存在是该函数在此点可微的什么条件？（分数：2.00）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件D.无关条件解析：解析：函数在 P 0 (x 0 ，y 0 )可微，则在该点偏导一定存在。7.函数 zf(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微分，且 f x (x 0 ，y 0 )0，f y (x 0 ，y 0 )0，则f(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处有什么极值情况？（分数：2.00）A.必有极大值B.必有极小值C.可能取得极值 D.必无极值解析：解析：zf
12、x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )可微，且 f x (x 0 ，y 0 )0，f y (x 0 ，y 0 )0，是取得极值的必要条件，因而可能取得极值。8.设 ，则 z y 等于： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：把 x 看作常量，对 y 求导。9.设 zu 2 ln，而 u(x，y)，(y)均为可导函数，则 等于： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：利用复合函数求偏导的公式计算。10.设 zf(u，)具有一阶连续偏导数，其中 uxy，x 2 + y 2 ，则 （分数：2.00）A.xf u +yf B.xf u +2yf C.yf u +2xf D.2
13、xf u +2yf 解析：解析：利用复合函数偏导数公式计算，利用公式 11.设 (x、y、z)xy 2 z，A 在点（1，1，1）处的值为： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： xy 2 z(x，0，2yz) +xy 2 (xz，xy 2 ，yz 2 )， 12.在曲线 xt1，y 一 t2，z 一 t3 上某点的切线平行于平面 x+2y+z 一 4，则该点的坐标为： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：切线平行于平面，那么切线的方向向量应垂直于平面的法线向量，利用向量垂直的条件得到 1，2t，3t 2 ， 1，2，1，求出 t 值，t 1 13.曲面 zx 2 +y
14、 2 在（1，2，5）处的切平面方程是：（分数：2.00）A.2x+4y+z11B.2x4y+z1C.2x4yz15D.2x4y+z5 解析：解析：利用点法式，求切平面方程。曲面方程写成隐函数形式 x 2 +y 2 z0，在（1，2，5）点处，法线的方向向量为 2x，2y，1| （1，2，15） 2，4，1。 取 14.曲面 xyz1 上平行于 x+y+z+30 的切平面方程是：（分数：2.00）A.x+y+z0B.x+y+z1C.x+y+z2D.x+y+z3 解析：解析：利用两平面平行、法线向量平行、对应坐标成比例求 M 0 坐标。 设 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )为曲面 xyz
15、1 所求的点，xyz10， yz，xz，xyM 0 y 0 z 0 ，x 0 z 0 ，x 0 y 0 )，已知 1，1，1，因 ，对应坐标成比例，故 得 x 0 y 0 z 0 ，代入求出 M 0 (1，1，1)， 15.曲线 x ，yt+3，z t 3 +4(t0)上对应于 t 的点处的切线与 yOz 平面的夹角为： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用向量和平面的夹角的计算公式计算。曲线在 t 时，切线的方向向量 ，yOz平面的法线向量 1，0，0，利用直线和平面的夹角计算公式16.曲线 （分数：2.00）A.xy0B.yz0C.x+y0 D.x+z0解析：解析：曲线的参
16、数方程为：xx，yx，z0。求出在原点处切线的方向向量，作为法平面的法线向量，17.计算 I （分数：2.00）A.I 0 2 d 0 1 rdr 0 1 zdzB.I 0 2 d 0 1 rdr r 1 zdz C.I 0 2 d 0 1 dz r 1 rdrD.I 0 1 dz 0 d 0 z zrdr解析：解析：通过题目给出的条件画出图形见解图，利用柱面坐标计算，联立消 z： ，得 x 2 +y 2 1。 Dxy ：x 2 +y 2 1，： 18.曲面 x 2 +y 2 +z 2 2z 之内以及曲面 zx 2 +y 2 之外所围成的立体的体积 V 等于： （分数：2.00）A.B.C.D
17、 解析：解析：利用柱面坐标计算三重积分。 立体体积 V1dV，联立 消 z 得 D xy ：x 2 +y 2 1， 由 x 2 +y 2 +z 2 2z，得到 x 2 +y 2 +(z1) 2 1，(z1) 2 1x 2 y 2 ，z1 积分区域 在柱面坐标下的形式为 19.D 域由 x 轴、x 2 +y 2 2x0(y0)及 x+y2 所围成，f(x，y)是连续函数，化 f(x，y)dxdy为二次积分是： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：x 2 +y 2 2x0，(x1) 2 +y 2 1，D 由(x1) 2 +y 2 1(y0)，x+y2 与 x 轴围成，画出平面区域 D
18、 由(x1) 2 +y 2 1，（x1） 2 1 y 2 ，x1 取 x1 由图形确定二重积分，先对 x 积，后对 y 积。 20.设 D 是曲线 yx 2 与 y1 所围闭区域， （分数：2.00）A.1B.C.0 D.2解析：解析：画出积分区域图形。求 得交点（1，1)，(191) 或利用二重积分的对称性质计算。积分区域 D 关于 y 轴对称，函数满足 f（一 x，y）一 f(x，y)，即函数 f(x，y)是关于 x 的奇函数，则二重积分21.设 f(x，y)是连续函数，则 0 1 dxf(x，y)dy 等于：（分数：2.00）A. 0 x dy 0 1 f (x，y)dxB. 0 1
19、dy 0 x f(x，y)dxC. 0 1 dy 0 1 f(x，y)dxD. 0 1 dy y 1 f(x，y)dx 解析：解析：本题要求改变二重积分的积分顺序。将先对 y 积分，后对 x 积分，换成先对 x 后对 y 积分。 由给出的条件 D： 把积分区域 D 复原（如解图），再写出先对 x，后对 y 积分的顺序。 原式 0 1 dy y 1 f(x，y)dx 22.设 L 为连接(0，0)点与(1，1)点的抛物线 yx 2 ，则对弧长的曲线积分 L xds 等于： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题为对弧长的曲线积分。23.设平面闭区域 D 由 x0，y0，x+y ，x
20、y1 所围成。 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 1 I 3 I 2 C.I 3 I 2 I 1D.I 3 I 1 I 2解析：解析：为了观察方便，做出平面区域 D 的图形（见解图），区域 D 在直线 x+y1 的下方，在直线x+y 上方以及由直线 x0，y0 围成。积分区域 D 上的点满足 x+y1。 故 ln(x+y)0，ln(x+y) 3 0 由三角函数知识，当 0x 时，sinxx，而 D 上的点满足 x+y1，也即满足条件 0(x+y) 。 故 0sin(x+y)z+y，0sin(x+y) 3 (x+y) 3 所以平面区域 D 上的点满足： ln(x+y) 3 s
21、in(x+y) 3 (x+y) 3 由二重积分性质： 24.计算由曲面 z 及 zx 2 + y 2 所围成的立体体积的三次积分为： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：画出图形（见解图）。 求出投影区域 D xy 利用方程组 消去字母 z，得 D xy ：x 2 +y 2 1。 写出在柱面坐标系下计算立体体积的三次积分表示式。 25.设 D 是两个坐标轴和直线 x+y1 所围成的三角形区域，则 的值为： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：画出积分区域 D 的图形（见解图），把二重积分化为二次积分：26.设 D 是矩形区域：1x1，1y1，则 （分数：2.00）A.（
22、e 一 1） 2B.C.4(e1) 2D.(ee 1 ) 2 解析：解析：把二重积分化为二次积分： 27. D 是由 y 2 x 及 yx2 所围成的区域，则化为二次积分后的结果为： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：画出积分区域 D 的图形（见解图），求出交点坐标(4，2)，（1，1），D： 按先 x后 y 的积分顺序化为二次积分。 即28.将 （其中 D：x 2 +y 2 1）化为极坐标系下的二次积分，其形式为下列哪一式？ （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：化为极坐标系下的二次积分，面积元素 drdrd，D： 把 xrcos，yrsin代入被积函数，即29.改变
23、积分次序 0 3 dy y 6y f(x，y)dx，则有下列哪一式？（分数：2.00）A. 0 3 dx x 6x f (x，y)dyB. 0 3 dx 0 x f(x，y)dy+ 3 6 dx 0 6x f(x，y)dy C. 0 3 dx 0 x f(x，y)dyD. 0 6 dx 0 6x f(x，y)dy解析：解析：把积分区域 D 复原，作直线 x6y，xy，并求交点；再作直线 y3，y0，得到区域D(见解图)，改变积分顺序，先 y 后 x，由于上面边界曲线是由两个方程给出，则把 D 分剖成两部分：D 1 、D 2 ，然后分别按先 y 后 x 的积分顺序，写出二次积分的形式，即 30.
24、积分 的值等于： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：化为极坐标计算。面积元素 dxdyrdrd，xrcos，yrsin，写出极坐标系下的二次积分，原式31.设总体 XN(， 2 )， 2 均未知，X 1 ，X 2 ，X n 为其样本，检验假设 H 0 ： 2 0 2 ，H 1 ： 2 0 2 ，当 X 2 （分数：2.00）A. 2 005 2 (n1)B. 2 095 2 (n1)C. 2 0975 2 (n1)或 2 0025 2 (n1) D. 2 095 2 (n1)或 2 005 2 (n1)解析：解析：总体 XN(， 2 )， 2 未知，检验 H 0 ： 2 0 2 ，H 1 ： 2 0 2 ，拒绝域为： 2 （n1）或 2
