1、2017年广东省广州市海珠区中考一模数学 一、选择题 (本题共 10 个小题，每小题 3分，满分 30 分 .下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的 .) 1.如果向东走 50m记为 50m，那么向西走 30m记为 ( ) A. 30m B.| 30|m C. ( 30)m D.130m 解析：向东走 50m记为 50m，那么向西走 30m记为 30m. 答案： A. 2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转 180 后能与原图重合，只有选项 B是中心对称图形 . 答案： B.
2、3.如图，点 A、 B、 C在 D上， ABC=70 ，则 ADC的度数为 ( ) A.110 B.140 C.35 D.130 解 析 ：由圆周角定理得， ADC=2 ABC=140 . 答案 ： B. 4.如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是 ( ). A. B. C. D. 解 析 ：从几何体上面看，是左边 2个，右边 1个正方形 . 答案 ： D. 5.下列计算正确的是 ( ) A.3x2 4x2=12x2 B. 22xxyy(y 0) C. 2 3 5x y xy(x 0， y 0) D. 231 22xy xyy(y 0) 解 析 ： A、 3x2 4x2
3、=12x4，故此选项错误； B、 22xy无法化简，故此选项错误； C、 23xy 无法计算，故此选项错误； D、 231 22xy xyy(y 0)，正确，符合题意 . 答案 ： D. 6.下列命题中，假命题是 ( ) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 解 析 ： A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题； B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故
4、错误，是假命题； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题 . 答案： C. 7.下列函数中， y随 x 的增大而增大的是 ( ) A. 3yxB.y= x+5 C. 12yxD.212yx(x 0) 解 析 ： A、 函数 3yx中， k=3 0， 在每一象限内 y随 x增大而减小，故本选项错误； B、 函数 y= x+5中， k= 1 0， y随 x增大而减小，故本选项错误； C、 函数 12yx中， 12k 0， y随 x增大而增大，故本选项正确； D、 函数212yx(x 0)中， 12a 0， 函数的开口向上，在对称轴的左侧 y随 x增大而减小，故本选项错误 . 答案： C.
5、 8.如图，在 Rt ABC中， B=90 ， A=30 ， DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D， E是垂足，连接 CD.若 BD=1，则 AC的长是 ( ). A.23 B.2 C.43 D.4 解 析 ： 在 Rt ABC中， B=90 ， A=30 ， ACB=60 ， DE垂直平分斜边 AC， AD=CD， ACD= A=30 ， DCB=60 30=30 ， 在 Rt DBC中， B=90 ， DCB=30 ， BD=1， CD=2BD=2， 由勾股定理得： 222 1 3BC ， 在 Rt ABC中， B=90 ， A=30 ， BC= 3 ， AC=2BC=23. 答案：
6、 A. 9.已知抛物线 y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为 (4， 6)，则下列说法错误的是 ( ). A.b2 4ac B.ax2+bx+c 6 C.若点 (2， m)(5， n)在抛物线上，则 m n D.8a+b=0 解 析 ： A、由抛物线与 x轴有 2个交点可知 b2 4ac 0，即 b2 4ac，故此选项正确； B、由抛物线的顶点坐标为 (4， 6)知函数的最大值为 6，则 ax2+bx+c 6，故此选项正确； C、由抛物线对称轴为 x=4且开口向下 可 知离对称轴水平距离越大函数值越小，则 m n，故此选项错误； D、由对称轴 42bx a 知， b= 8a，即 8a+b
7、=0，故 此选项正确 . 答案 ： C. 10.如图，在平面直角坐标系中， Rt OAB的顶点 A在 x轴的正半轴上，顶点 B的坐标为 ( 2 ，2 )，点 C的坐标为 (1， 0)，点 P为斜边 OB上的一动点，则 PA+PC的最小值为 ( ). A. 2 B. 3 C.2 D. 32解 析 ：作 A关于 OB的对称点 D，连接 CD交 OB于 P，连接 AP，则此时 PA+PC的值最小， DP=PA， PA+PC=PD+PC=CD， B( 2 ， 2 )， AB= 2 ， OA= 2 ， OAB=90 ， B= AOB=45 ， 由勾股定理得： OB=AD=2， C(1， 0)， CD=
8、3 ， 即 PA+PC的最小值是 3 . 答案： B. 二、填空题 (本题共 6 个小题，每小题 3分，共 18分 .) 11.在不透明口袋内有形状 、 大小 、 质地完全一样的 5 个小球，其中红球 3 个，白球 2个，随机抽取一个小球是红球的概率是 _. 解 析 ： 共有 5个小球，其中红球 3个，白球 2个， 随机抽取一个小球是红球的概率是 35. 答案 ： 35. 12.分解因式： 3x2 6xy=_. 解 析 ： 3x2 6xy=3x(x 2y). 答案 ： 3x(x 2y). 13.某饮料店为了解本店一种罐装饮料上半年的销售情况，随机调查了 6 天该种饮料的日销售情况，结果如下 (
9、单位：罐 )： 33， 28， 32， 25， 24， 30，这 6天销售量的中位数是 _. 解 析 ： 6个数从小到大分别是 24， 25， 28， 30， 32， 33，最中间的数为第 3个数和第 4个数，它们是 28和 30， 所以这 6天销售量的中位数是 (28+30) 2=29. 答案 ： 29. 14.某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共 1000元，另外每册收取材料费 4元，则总收费 y与制作纪念册的册数 x的函数关系式为 _. 解 析 ：由题意可知： y=4x+1000. 答案 ： y=4x+1000 15.如图， AB 是 O的直径， AC、 BC 是 O的弦，直
10、径 DE BC于点 M.若点 E在优弧 CAB 上，AC=8， BC=6，则 EM=_. 解 析 ： 直径 DE BC 于点 M. CM=BM， AO=OB， OM AC， BOM BAC， 12O M O BA C A B， OM=4， AB是 O的直径， C=90 ， AB=10， OE=5， EM=9. 答案 ： 9. 16.若一元二次方程 ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则 a2 b2+5的最小值为 _. 解 析 ： 一元二次方程 ax2+bx+1=0有两个相同的实数根， =b2 4a=0， b2=4a， a2 b2+5=a2 4a+5=(a 2)2+1 1. 答案 ： 1.
11、三、解答题 (本题共 9 个小题，共 102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 .) 17.(1)解不等式组 108 3 ( 1) 4xx (2)解方程 2131xx. 解析： (1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可； (2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案 ： (1) 108 3 ( 1 ) 4xx 由 得： x 1， 由 得： x 3， 则此不等式组的解集为 3 x 1； (2)去分母得： 2(x+1)=x 3， 去括号得： 2x+2=x 3， 解得： x= 5， 检验：当 x= 5时，
12、(x+1)(x 3) 0， 则 x= 5为原方程的解 . 18.如图， AC 是菱形 ABCD的对角线，点 E、 F分别在边 AB、 AD上，且 AE=AF. 求证： ACE ACF. 解析： 根据菱形对角线的性质，可知一条对角线平分一组对角，即 FAC= EAC，再根据边角边即可证明 ACE ACF. 答案 ： AC 是菱形 ABCD的对角线， FAC= EAC， 在 ACE和 ACF中， A E A FE A C F A CA C A C ， ACE ACF(SAS). 19.已知 A= 2222 2 4()2 4 4 2x x xx x x x x (1)化简 A； (2)若 x满足 x
13、2 2x 8=0，求 A的值 . 解析： (1)根据分式的运算法则化简； (2)将 x的值求出后，然后代入求值即可求出答案 . 答案 ： (1) 22 2 ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 2x x x xAx x x x 21 ( 2 )( 2 ) 2x xx x x 2 1x x 2x (2) 2 2 8 0xx (x-4)(x+2)=0 X1=4， x2=-2 要使 A有意义， x 0， x+2 0， x 2 0 x 0， x 2， x 2 当 x=4时， 2 2 142A x 20.中央电视台举办的 “ 中国诗词大会 ” 节目受到中学生的广泛关注 .某中学为了解该校九年级学
14、生对观看 “ 中国诗词大会 ” 节目的喜爱程度，对该校九年级部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图 .在条形图中，从左向右依次为： A级 (非常喜欢 )， B级 (较喜欢 )， C级 (一般 )， D级 (不喜欢 ).请结合两幅统计图，回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是 _，表示 “D 级 (不喜欢 )” 的扇形的圆心角为 _ ； (2)若该校九年级有 200 名学生 .请你估计该年级观看 “ 中国诗词大会 ” 节目 B 级 (较喜欢 )的学生人数； (3)若从本次调查中的 A 级 (非常喜欢 )的 5 名学生中，选出 2名去参加广州市中学生诗词大会比赛，已知 A
15、级学生中男生有 3名，请用 “ 列表 ” 或 “ 画树状图 ” 的方法求出所选出的 2名学生中至少有 1名女生的概率 . 解析： (1)本次抽样调查的样本容量是 17 34%=50， 表示 “D 级 (不喜欢 )” 的扇形的圆心角为 3 6 0 15 .30 26 ； (2)用样本中 B等级所占比例乘以总人数可得答案； (3)画树状图列出所有等可能结果，利用概率公式求解可得 . 答案 ： (1)50， 21.6； (2) 5 0 5 1 7 32 0 0 1 0 050 (名 )， 答：估计该年级观看 “ 中国诗词大会 ” 节目 B级 (较喜欢 )的学生人数为 100. (3)画树状图如下：
16、由树状图可以，抽取 2 名学生，共有 20种等可能的结果，其中至少有 1名女生的结果有 14种， ( 2 1 ) 1 4 72 0 1 0P 名 学 生 中 至 少 有 名 女 生21.某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3个温馨提示牌和 4个垃圾箱共需 580元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜 40元 . (1)问购买 1个温馨提示牌和 1个垃圾箱各需多少元？ (2)如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共 100个，费用不超过 8000元，问最多购买垃圾箱多少个？ 解析： (1)根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案； (2)根据费用
17、不超过 8000元，可得不等式，根据解不等式，可得答案 . 答案： (1)设购买 1个温馨提示牌需要 x元，购买 1个垃圾箱需要 y元，依题意得 3 4 5 8 040xyxy， 解得： 60100xy答：购买 1个温馨提示牌需要 60 元，购买 1个垃圾箱 需要 100元 . (2)解：设购买垃圾箱 m个，则购买温馨提示牌 (100 m)个，依题意得 60(100 m)+100m 8000， 解得 m 50， 答：最多购买垃圾箱 50个 . 22.如图，在 ABC中， C=90 (1)利用尺规作 B的角平分线交 AC于 D，以 BD为直径作 O交 AB于 E(保留作图痕迹，不写作法 )； (
18、2)综合应用：在 (1)的条件下，连接 DE. 求证： CD=DE； 若 3sin5A， AC=6，求 AD. 解析： (1)根据题意作出图形即可； (2) 有 BD为 O的直径；得到 BED=90 ，根据角平分线的性质即可得到结论； 解直角三角形即可得到结论 . 答案 ： (1)如图所示 . (2) BD为 O的直径； BED=90 ， 又 C=90 ； DE AB， DC BC； 又 BD 平分 ABC； DE=DC； 在 Rt ADE中， sin DEAAD 3sin5A 35DEAD设 DC=DE=3x， AD=5x AC=AD+DC 3x+5x=6x=3455 3 1 544A D
19、x 23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=ax+b(a 0)的图象与 y轴相交于点 A，与反比例函数2 ky x(c 0)的图象相交于点 B(3， 2)、 C( 1， n). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出 y1 y2时 x的取值范围； (3)在 y轴上是否存在点 P，使 PAB为直角三角形？如果存在，请求点 P的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点 C 坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式； (2)利用图象直接得出结论； (3)分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即
20、可得出结论 . 答案 ： (1)把 B(3， 2)代入2 ky x得： k=6 反比例函数解析式为：2 6y x把 C( 1， n)代入2 6y x，得： n= 6 C( 1， 6) 把 B(3， 2)、 C( 1， 6)分别代入 y1=ax+b，得： 326abab ，解得： 24ab所以一次函数解析式为 y1=2x 4 (2)由图可知，当写出 y1 y2时 x的取值范围是 1 x 0或者 x 3. (3)y轴上存在点 P，使 PAB为直角三角形 ,如图， 过 B作 BP1 y轴于 P1， BP1A=0， P1AB 为直角三角形 此时， P1(0， 2) 过 B作 BP2 AB交 y轴于 P
21、2 P2BA=90， P2AB为直角三角形 在 Rt P1AB 中， 21 2 1A B P B P A 223 ( 2 4 ) 35 在 Rt P1AB 和 Rt P2AB 11c o s c o sP A B P A B 12PAABP A AB 2221( 3 5 ) 1 562ABPAPA 22 1 5 7422P O P A O A 2 7(0 )2P ，综上所述， P1(0， 2)、2 7(0 )2P ，. 24.抛物线 y=ax2+c 与 x 轴交于 A、 B 两点 (A 在 B 的左边 )，与 y 轴交于点 C，抛物线上有一动点 P (1)若 A( 2， 0)， C(0， 4)
22、 求抛物线的解析式； 在 的情况下，若点 P 在第四象限运动，点 D(0， 2)，以 BD、 BP 为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形 BDQP面积的取值范围 . (2)若点 P在第一象限运动，且 a 0，连接 AP、 BP分别交 y轴于点 E、 F，则问AOE BOFABCSSS 是否与 a， c有关？若有关，用 a， c表示该比值；若无关，求出该比值 . 解析： (1) 由 A、 C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； 连接 BD、 OP，设出 P 点坐标，利用 S BDP=S ODP+S OBP S BOD可用 x 表示出四边形 BDQP 的面积，借助 x 的取值范围，
23、可求得四边形 BDQP面积的取值范围； (2)过点 P作 PG AB，设 A(x1， 0)， B(x2， 0)， P(x， y)，由 AOE AGP、 BGP BOF，利用相似三角形的性质和一元二次方程根与系数的关系可整理得到 2OE OFOC ，再利用三角形的面积可得AOE BOFABCSSS 的值 . 答案 ： (1) A( 2， 0)， C(0， 4)在抛物线上， 404acc，解得 14ac， 抛物线解析式为 y=x2 4； 如图，连接 DB、 OP，设 P(x， x2 4)， A( 2， 0)，对称轴为 y轴， B(2， 0)， 2 1 1 1 42 |22B D P O D P O
24、 B P B DS S S S O D x O B x O D O B 2 2 2194 2 2 24x x x x x （ ） 点 P在第四象限运动， 0 x 2， 当 x=12时， S BDP有最大值 94，当 x=2时， S BDP有最小值 0， 0 S BDP 94， 四边形 BDQC为平行四边形， S 四边形 BDQP=2S BDP， 0 S 四边形 BDQP 92； (2)如图，过点 P作 PG AB，设 A(x1， 0)， B(x2， 0)， P(x， y)， PG y轴， AOE AGP， BGP BOF， ,A O O E B O O FA G G P B G G P12,x
25、xO E O Fx x y x x y， 1 2 1 2 2 1 1 2 1 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( )x x x x x x x x x x x x xO E O Fy y x x x x x x x x x x x x x x ， 当 y=0时，可得 ax2+c=0， x1+x2=0，12cxx a， 22222cO E O F c cacy y a x c yxa ， OE+OF=2c， 2 2O E O F cO C c ， 1 1 1 ()2 2 2 111 2222A O E B O FABCO A O E O B O F O
26、 B O E O FSS O E O FS O CA B O C O B O C ， AOE BOFABCSSS 的值与 a， c无关，比值为 1. 25.如图： AD 与 O相切于点 D， AF经过圆心与圆交于点 E、 F，连接 DE、 DF，且 EF=6， AD=4. (1)证明： AD2=AE AF； (2)延长 AD到点 B，使 DB=AD，直径 EF上有一动点 C，连接 CB 交 DF于点 G，连接 EG，设 ACB= ， BG=x， EG=y. 当 =90 0时，探索 EG 与 BD的大小关系？并说明理由； 当 =120 0时，求 y与 x的关系式，并用 x的代数式表示 y. 解析
27、： (1)直接利用切线的性质得出 ADE+ EDO=90 ，再利用圆周角定理得出 ADE= ODF，结合相似三角形的判定与性质得出答案； (2) 利用直角三角形的性质得出点 C、 E、 D、 G 在以点 H 为圆心， EG 为直径的圆上，进而得出 EG 与 BD的大小关系； 首先得出 BQ=1， PQ= 3 ， GQ=BG BQ=x 1，进而利用勾股定理求出答案 . 答案： (1)证明：连接 OD AD是 O的切线， OD AD，即 ADE+ EDO=90 ， EF是直径， EDF=90 ，即 EDO+ ODF=90 ， ADE= ODF， OD=OF， ODF= OFD， ADE= OFD，
28、 ADE AFD， AD AEAF AD， 即 AD2=AE AF； (2)解： 当 =90 时， EG BD 理由如下：如图 2，取 EG的中点 H，连接 CH、 DH、 CD， Rt EDG、 Rt ECG，点 H为 EG 的中点， CH=EH=GH=DH=12EG， 点 C、 E、 D、 G在以点 H为圆心， EG 为直径的圆上， EG CD， Rt ABC， DB=AD， CD=DB=AD=12AB， EG BD； 当 =120 时， 如图 3，将 ADE绕着点 D旋转 180 ，得到 BDP，连接 GP，过点 P作 PQ BG， 由 (1)AD2=AE AF 得： 16=AE( AE+6)， 解得： AE=2或 AE= 8(舍去 )， ADE BDP ED=DP， AE=BP=2， A= DBP， EDF=90 ， DG垂直平分 EP， GE=GP=y， A+ ABC=180 120=60 ， DBP+ ABC=60 ，即 GBP=60 ， 在 Rt BPQ中， GBP=60 ， BP=2， BQ=1， PQ= 3 ， GQ=BG BQ=x 1， 在 Rt GPQ中， PQ= 3 ， GQ=x 1， GP=y， PG2=GQ2+PQ2 即 y2=(x 1)2+( 3 )2， 故 2 24y x x .
