1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 )数学理 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 A=1， 2， 6， B=2， 4， C=x R|-1 x 5，则 (A B) C=( ) A.2 B.1， 2， 4 C.1， 2， 4， 5 D.x R|-1 x 5 解析： A=1， 2， 6， B=2， 4， A B=1， 2， 4， 6， 又 C=x R|-1 x 5， (A B) C=1， 2， 4. 答案： B 2.设变量 x， y满足约束条件202 2 003xyxyxy ，则目标函数 z=x+y的最大值为 ( ) A.23B.1 C.32
2、D.3 解析：变量 x， y满足约束条件202 2 003xyxyxy ，的可行域如图： 目标函数 z=x+y结果可行域的 A点时，目标函数取得最大值， 由 30yx， 可得 A(0， 3)，目标函数 z=x+y的最大值为： 3. 答案： D 3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为 24，则输出 N的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：第一次 N=24，能被 3整除， N=243=8 3不成立， 第二次 N=8， 8不能被 3整除， N=8-1=7， N=7 3不成立， 第三次 N=7，不能被 3 整除， N=7-1=6， N=63=2 3成立， 输出 N=2
3、， 答案： C 4.设 R，则“ | -12|12”是“ sin 12”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 01 2 1 2 1 2 1 2 1 2| 6| ， sin 17 222 6 6kk ， k Z，则 ( ) 70 2 26 6 6 kk ， ， k Z， 可得“12|12 ”是“ sin 12”的充分不必要条件 . 答案： A 5.已知双曲线 221xyab(a 0， b 0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0， 4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ( ) A. 22144x
4、yB. 22188xyC. 22148xyD. 22194xy解析：设双曲线的左焦点 F(-c， 0)，离心率 e= 2ca， c= 2 a， 则双曲线为等轴双曲线，即 a=b， 双曲线的渐近线方程为 by x xa ， 则经过 F和 P(0， 4)两点的直线的斜率 4 0 40k cc， 则 4c=1， c=4，则 a=b=2 2 ，双曲线的标准方程： 22188xy. 答案： B 6.已知奇函数 f(x)在 R上是增函数， g(x)=xf(x).若 a=g(-log25.1)， b=g(20.8)， c=g(3)，则a， b， c的大小关系为 ( ) A.a b c B.c b a C.b
5、 a c D.b c a 解析：奇函数 f(x)在 R上是增函数，当 x 0， f(x) f(0)=0，且 f (x) 0， g(x)=xf(x)，则 g (x)=f(x)+xf (x) 0， g(x)在 (0， + )单调递增，且 g(x)=xf(x)偶函数， a=g(-log25.1)=g(log25.1)，则 2 -log25.1 3， 1 20.8 2， 由 g(x)在 (0， + )单调递增，则 g(20.8) g(log25.1) g(3)， b a c. 答案： C 7.设函数 f(x)=2sin( x+ )， x R，其中 0， | | x.若 f(58)=2， f(118)=
6、0，且f(x)的最小正周期大于 2，则 ( ) A. 23 1 2，B. 2 1 13 1 2 ，C. 1 1 13 2 4 ，D. 173 2 4，解析：由 f(x)的最小正周期大于 2，得42T ， 又 f(58)=2， f(118)=0，得 1 1 5 34 8 8 4T ， T=3，则 2=3，即 =23. f(x)=2sin( x+ )=2sin(23x+ )， 由 f(58)=2sin(2538+ )=2，得 sin( +512)=1. +512 2+2k， k Z.取 k=0，得 =12 . 23 1 2，. 答案： A 8.已知函数 f(x)= 2 3121x x xxxx ，
7、 ， ，设 a R，若关于 x的不等式 f(x) |2x+a|在 R上恒成立，则 a的取值范围是 ( ) A. 4716， 2 B. 47 3916 16 ， C.-2 3 ， 2 D. 392316 ， 解析：当 x 1时，关于 x的不等式 f(x) |2x+a|在 R上恒成立， 即为 -x2+x-32x+a x2-x+3， 即有 -x2+12x-3 a x2-32x+3， 由 y=-x2+12x-3的对称轴为 x=14 1，可得 x=14处取得最大值 4716； 由 y=x2-32x+3的对称轴为 x=34 1，可得 x=34处取得最小值 3916， 则 4 7 3 91 6 1 6a ，
8、 当 x 1时，关于 x的不等式 f(x) |2x+a|在 R上恒成立， 即为 222xx a xxx ，即有 3 2 222xxaxx ， 由 3 2 3 22 2 322xyxxx (当且仅当 x= 23 1)取得最大值 -2 3 ； 由 1 2 1 22222y x xxx (当且仅当 x=2 1)取得最小值 2. 则 -2 3 a 2 ， 由可得， -4716 a 2. 答案： A 二 .填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 . 9.已知 a R， i为虚数单位，若2aii为实数，则 a的值为 . 解析： a R， i为虚数单位， 2 2 1 2 2 1 22 2 2 4
9、 1 5 5a i i a a ia i a a ii i i ， 由2aii为实数，可得 -2+a5=0，解得 a=-2. 答案： -2 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . 解析：设正方体的棱长为 a， 这个正方体的表面积为 18， 6a2=18，则 a2=3，即 a= 3 ， 一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径， 即 3 a=2R，即 R=32，则球的体积 V= 34 3 93 2 2 . 答案： 9211.在极坐标系中，直线 4 cos( -6)+1=0 与圆 =2sin的公共点的个数为 . 解析：直
10、线 4 cos( - 6)+1=0 展开为： 4 ( 31c o s s i n22)+1=0，化为： 2 3x+2y+1=0. 圆 =2sin即 2=2 sin，化为直角坐标方程： x2+y2=2y，配方为： x2+(y-1)2=1. 圆心 C(0， 1)到直线的距离 2 233 142 3 2d =R. 直线 4 cos( -6)+1=0与圆 =2sin的公共点的个数为 2. 答案： 2 12.若 a， b R， ab 0，则 4441abab的最小值为 . 解析： a ， b R ， ab 0 ，4 4 4 4 2 24 1 2 4 1 4 1 1 14 4 4a b a b a ba
11、b a ba a a b a b a b ， 当且仅当 444 14abab ab ，即 2222214abab ，即 a=412， b=418或 a=-412， b=-418时取“ =” ；上式的最小值为 4. 答案： 4 13.在 ABC 中， A=60 ， AB=3， AC=2.若 2BD DC ， A E A C A B R ，且AD AE =-4，则的值为 . 解析：如图所示， ABC中， A=60 ， AB=3， AC=2， 2BD DC ， 2 2 1 23 3 3 3A D A B B D A B B C A B A C A B A B A C ， 又 A E A C A B
12、( R)， 221 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3A D A E A B A C A C A B A B A C A B A C 221 2 1 23 2 c o s 6 0 3 2 43 3 3 3 ， 11 13，解得 =311. 答案： 31114.用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个 . 解析：根据题意，分 2 种情况讨论： 四位数中没有一个偶数数字，即在 1、 3、 5、 7、 9种任选 4个，组成一共四位数即可， 有 45A=120种情况，即有 120个没有一个偶数数字四位数；
13、 四位数中只有一个偶数数字， 在 1、 3、 5、 7、 9种选出 3个，在 2、 4、 6、 8中选出 1个，有 3154CC=40种取法， 将取出的 4个数字全排列，有 44A=24种顺序，则有 40 24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1080个 . 答案： 1080 三 .解答题：本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15.在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 a b， a=5， c=6， sinB=35. ( )求 b和 sinA的值； ( )求 sin(2A
14、+4)的值 . 解析： ( )由已知结合同角三角函数基本关系式求得 cosB，再由余弦定理求得 b，利用正弦定理求得 sinA； ( )由同角三角函数基本关系式求得 cosA，再由倍角公式求得 sin2A， cos2A，展开两角和的正弦得答案 . 答案： ( )在 ABC中， a b， 故由 sinB=35，可得 cosB=45. 由已知及余弦定理，有 b2=a2+c2-2accosB=25+36-2 5 6 45=13， b= 13 . 由正弦定理sin sinabAB，得 sinA= s in 3 1 313aBb . b= 13 ， sinA=3 1313； ( )由 ( )及 a c，
15、得 cosA=2 1313， sin2A=2sinAcosA=1213， 22 5c o s 1 2 s i n13AA . 故 1 2 2 5 2 7 2s i n 2 s i n 2 c o s c o s 2 s i n4 4 4 1 3 2 1 3 2 2 6()A A A . 16.从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 12， 13， 14. ( )设 X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望； ( )若有 2辆车独立地从甲地到乙地，求这 2辆车共遇到 1个红灯的概率 . 解析： ( )随机变量
16、 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，求出对应的概率值， 写出它的分布列，计算数学期望值； ( )利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值 . 答案： ( )随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3； 则 1 1 1 10 1 1 12 3 4 4PX ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 12 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4PX ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 12 3 4 2 3 4 2 3 4 4PX ， 1 1 1 13 2 3 4 2 4PX ； 所以，随机变量 X的分布列为 随机变量 X
17、的数学期望为 1 1 1 1 1 1 30 1 2 34 2 4 4 2 4 1 2EX ； ( )设 Y表示第一辆车遇到红灯的个数， Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0， Z=1)+P(Y=1， Z=0) =P(Y=0) P(Z=1)+P(Y=1) P(Z=0) = 1 1 1 1 1 1 1 14 2 4 2 4 4 4 8 ； 所以，这 2辆车共遇到 1个红灯的概率为 1148. 17.如图，在三棱锥 P-ABC中， PA底面 ABC， BAC=90 .点 D， E， N分别为棱 PA， PC， BC的中点， M是线段 AD 的中点， PA=
18、AC=4， AB=2. ( )求证： MN平面 BDE； ( )求二面角 C-EM-N 的正弦值； ( )已知点 H在棱 PA 上，且直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为 3721，求线段 AH的长 . 解析： ( )取 AB中点 F，连接 MF、 NF，由已知可证 MF平面 BDE， NF平面 BDE.得到平面MFN平面 BDE，则 MN平面 BDE； ( )由 PA底面 ABC， BAC=90 .可以 A为原点，分别以 AB、 AC、 AP所在直线为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系 .求出平面 MEN与平面 CME 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 C-EM-N的余弦值
19、，进一步求得正弦值； ( )设 AH=t，则 H(0， 0， t)，求出 NH 、 BE 的坐标，结合直线 NH与直线 BE 所成角的余弦值为 3721列式求得线段 AH的长 . 答案： ( )取 AB 中点 F，连接 MF、 NF， M为 AD中点， MF BD， BD 平面 BDE， MF 平面 BDE， MF平面 BDE. N为 BC中点， NF AC，又 D、 E分别为 AP、 PC的中点， DE AC，则 NF DE. DE 平面 BDE， NF 平面 BDE， NF平面 BDE. 又 MF NF=F.平面 MFN平面 BDE，则 MN平面 BDE； ( ) PA底面 ABC， BA
20、C=90 . 以 A为原点，分别以 AB、 AC、 AP所在直线为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系 . PA=AC=4， AB=2， A(0， 0， 0)， B(2， 0， 0)， C(0， 4， 0)， M(0， 0， 1)， N(1， 2， 0)， E(0， 2， 2)， 则 MN =(1， 2， -1)， ME =(0， 2， 1)， 设平面 MEN的一个法向量为 m =(x， y， z)， 由 00m MNm ME ，得 2020x y zyz ，取 z=2，得 m =(4， -1， 2). 由图可得平面 CME的一个法向量为 n =(1， 0， 0). 4 4 2 1c o s2
21、12 1 1m n m n m n ， . 二面角 C-EM-N的余弦值为 4 2121，则正弦值为 10521； ( )解：设 AH=t，则 H(0， 0， t)， NH =(-1， -2， t)， BE =(-2， 2， 2). 直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为 3721， 22 2 3 7c o s22| 153N H B E tN H B EN H B E t ， ， 解得： t=4. 当 H与 P重合时直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为 3721，此时线段 AH 的长为 4. 18.已知 an为等差数列，前 n项和为 Sn(n N*)， bn是首项为 2的等比数列，且公比大
22、于0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4. ( )求 an和 bn的通项公式； ( )求数列 a2nb2n-1的前 n项和 (n N+). 解析： ( )设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q.通过 b2+b3=12，求出 q，得到 bn=2n.然后求出公差 d，推出 an=3n-2. ( )化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可 . 答案： ( )设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q.由已知 b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而 b1=2，所以 q2+q-6=0.又因为 q 0，解得 q=2.所以， bn=
23、2n. 由 b3=a4-2a1，可得 3d-a1=8. 由 S11=11b4，可得 a1+5d=16，联立，解得 a1=1， d=3， 由此可得 an=3n-2.所以， an的通项公式为 an=3n-2， bn的通项公式为 bn=2n. (II)设数列 a2nb2n-1的前 n项和为 Tn， 由 a2n=6n-2， b2n-1=12 4n，有 a2nb2n-1=(3n-1)4n， 故 Tn=2 4+5 42+8 43+ +(3n-1)4n， 4Tn=2 42+5 43+8 44+ +(3n-1)4n+1， 上述两式相减，得 -3Tn=2 4+3 42+3 43+ +3 4n-(3n-1)4n+
24、1 = 12 1 414n-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8， 得 Tn= 13 2 8433nn . 所以，数列 a2nb2n-1的前 n项和为 13 2 8433nn . 19.设椭圆 221xyab(a b 0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 12.已知 A是抛物线y2=2px(p 0)的焦点， F到抛物线的准线 l的距离为 12. (I)求椭圆的方程和抛物线的方程； (II)设 l上两点 P， Q关于 x轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B(B异于 A)，直线 BQ与 x轴相交于点 D.若 APD的面积为 62，求直线 AP 的方程 . 解析： (I)根据
25、椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出 a， b， p即可得出方程； (II)设 AP 方程为 x=my+1，联立方程组得出 B， P， Q 三点坐标，从而得出直线 BQ 的方程，解出 D点坐标，根据三角形的面积列方程解出 m即可得出答案 . 答案： ( )设 F的坐标为 (-c， 0). 依题意可得12212capaac，解得 a=1， c=12， p=2，于是 b2=a2-c2=34. 所以，椭圆的方程为 22 4 13yx ，抛物线的方程为 y2=4x. ( )直线 l的方程为 x=-1，设直线 AP 的方程为 x=my+1(m 0)， 联立方程组 11xx my，解得点 P(-1， -2
26、m)，故 Q(-1， 2m). 联立方程组 x=my+1， x2+4y23=1，消去 x，整理得 (3m2+4)y2+6my=0，解得 y=0，或 y=2634mm . B( 2234mm ，2634mm ). 直线 BQ的方程为 2226 2 3 4 21 1 03 4 3 4mmxym m m m ， 令 y=0，解得 222332mx m ，故 D( 222332mm ， 0). |AD|=1- 22222 3 63 2 3 2mmmm . 又 APD的面积为 62， 221 6 2 62 3 2 2mmm ，整理得 3m2-2 6 |m|+2=0，解得 |m|=63 ， m= 63 .
27、 直线 AP的方程为 3x+ 6 y-3=0，或 3x- 6 y-3=0. 20.设 a Z，已知定义在 R上的函数 f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间 (1， 2)内有一个零点 x0，g(x)为 f(x)的导函数 . ( )求 g(x)的单调区间； ( )设 m 1， x0) (x0， 2，函数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，求证： h(m)h(x0) 0； ( )求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 p， q，且 pq 1， x0) (x0， 2，满足0 41p xq Aq. 解析： ( )求出函数的导函数 g(x)=f (x)=8x3+9x2-6
28、x-6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可 . ( )由 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，推出 h(m)=g(m)(m-x0)-f(m)， 令函数 H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x)，求出导函数 H 1(x)利用 ( )知，推出 h(m)h(x0) 0. ( )对于任意的正整数 p， q，且 pq 1， x0) (x0， 2，令 m=pq，函数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m). 由 ( )知，当 m 1， x0)时，当 m (x0， 2时，通过 h(x)的零点 .转化推出 4 3 2 2 3 40 412 3 3 622pp ff p p q p
29、q p q a qqqpxq g x g g q . 推出|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4| 1.然后推出结果 . 答案： ( )由 f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a，可得 g(x)=f (x)=8x3+9x2-6x-6， 进而可得 g (x)=24x2+18x-6.令 g (x)=0，解得 x=-1，或 x=14. 当 x变化时， g (x)， g(x)的变化情况如下表： 所以， g(x)的单调递增区间是 (-， -1)， (14， + )，单调递减区间是 (-1， 14). ( )由 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，得 h(m)=g(m)(m-x0)-f
30、(m)， h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m). 令函数 H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x)，则 H 1(x)=g (x)(x-x0). 由 ( )知，当 x 1， 2时， g (x) 0， 故当 x 1， x0)时， H 1(x) 0， H1(x)单调递减； 当 x (x0， 2时， H 1(x) 0， H1(x)单调递增 . 因此，当 x 1， x0) (x0， 2时， H1(x) H1(x0)=-f(x0)=0，可得 H1(m) 0即 h(m) 0， 令函数 H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x)，则 H 2(x)=g (x0)-g(x).由 ( )知， g(x)在
31、 1， 2上单调递增，故当 x 1， x0)时， H 2(x) 0， H2(x)单调递增；当 x (x0， 2时， H 2(x) 0， H2(x)单调递减 .因此，当 x 1， x0) (x0， 2时， H2(x) H2(x0)=0，可得得 H2(m) 0即 h(x0) 0，所以， h(m)h(x0) 0. ( )对于任意的正整数 p， q，且 pq 1， x0) (x0， 2， 令 m=pq，函数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m). 由 ( )知，当 m 1， x0)时， h(x)在区间 (m， x0)内有零点； 当 m (x0， 2时， h(x)在区间 (x0， m)内有零点 .
32、所以 h(x)在 (1， 2)内至少有一个零点，不妨设为 x1，则 h(x1)=g(x1)(pq-x0)-f(pq)=0. 由 ( )知 g(x)在 1， 2上单调递增，故 0 g(1) g(x1) g(2)， 于是 4 3 2 2 3 40 412 3 3 622pp ff p p q p q p q a qqqpxq g x g g q . 因为当 x 1， 2时， g(x) 0，故 f(x)在 1， 2上单调递增， 所以 f(x)在区间 1， 2上除 x0外没有其他的零点，而 pq x0，故 f(pq) 0. 又 因 为 p ， q ， a 均 为 整 数 ， 所 以 |2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4| 是 正 整 数 ， 从 而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4| 1. 所以 0 412p xq g q.所以，只要取 A=g(2)，就有0 41p xq Aq.
