1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 卷 )数学文 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 A=1， 2， 3， B=2， 3， 4，则 A B=( ) A.1， 2， 3， 4 B.1， 2， 3 C.2， 3， 4 D.1， 3， 4 解析： A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， A B=1， 2， 3， 4 答案： A. 2.(1+i)(2+i)=( ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i 解析： 原式 =2-1+3i=1+3i. 答案： B. 3.函数 s i n
2、 23f x x的最小正周期为 ( ) A.4 B.2 C. D.2解析： 函数 s i n 23f x x的最小正周期为： 22 . 答案： C. 4.设非零向量 ab， 满足 -a b a b 则 ( ) A.ab B. ab C.ab D. ab 解析： 非零向量 ab， 满足 -a b a b ， 22-a b a b ， 解得 0ab ， ab . 答案： A. 5.若 a 1，则双曲线 2 22 1x ya 的离心率的取值范围是 ( ) A.( 2 ， + ) B.( 2 ， 2) C.(1， 2 ) D.(1， 2) 解析： a 1，则双曲线 2 22 1x ya 的离心率为：
3、22111 1 2caa a a ，. 答案： C. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( ) A.90 B.63 C.42 D.36 解析： 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6的圆柱的一半， 2213 1 0 3 6 6 32V . 答案 ： B. 7.设 x， y满足约束条件2 3 3 02 3 3 030xyxyy ，则 z=2x+y的最小值是 ( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 解析： x、 y满足约束条件2 3 3 02 3 3 030xyxyy 的可行域如
4、图： z=2x+y经过可行域的 A时，目标函数取得最小值， 由 32 3 3 0yxy解得 A(-6， -3)， 则 z=2x+y的最小值是： -15. 答案： A. 8.函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A.(-， -2) B.(-， -1) C.(1， + ) D.(4， + ) 解析： 解：由 x2-2x-8 0得： x (-， -2) (4， + )， 令 t=x2-2x-8，则 y=lnt， x (-， -2)时， t=x2-2x-8为减函数； x (4， + )时， t=x2-2x-8为增函数； y=lnt为增函数， 故函数 f(x)=ln(x2-2x
5、-8)的单调递增区间是 (4， + )， 答案： D. 9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有 2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 ( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可能知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析： 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良， (若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩 ) 乙看到了丙的成绩，知自己 的成绩 丁看到甲、丁也
6、为一优一良，丁知自己的成绩 . 答案： D. 10.执行如图的程序框图，如果输入的 a=-1，则输出的 S=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： 执行程序框图，有 S=0， K=1， a=-1，代入循环， 第一次满足循环， S=-1， a=1， K=2； 满足条件，第二次满足循环， S=1， a=-1， K=3； 满足条件，第三次满足循环， S=-2， a=1， K=4； 满足条件，第四次满足循环， S=2， a=-1， K=5； 满足条件，第五次满足循环， S=-3， a=1， K=6； 满足条件，第六次满足循环， S=3， a=-1， K=7； 7 6不成立，退出循环输出， S=
7、3. 答案： B. 11.从分别写有 1， 2， 3， 4， 5的 5张卡片中随机抽取 1张，放回后再随机抽取 1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( ) A.110B.15C.310D.25解析： 从分别写有 1， 2， 3， 4， 5的 5张卡片中随机抽取 1张，放回后再随机抽取 1张， 基本事件总数 n=5 5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： (2， 1)， (3， 1)， (3， 2)， (4， 1)， (4， 2)， (4， 3)， (5， 1)， (5， 2)， (5， 3)， (5， 4)， 共有 m=10个基本事件，
8、 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 10 225 5p . 答案： D. 12.过抛物线 C： y2=4x 的焦点 F，且斜率为 3 的直线交 C于点 M(M在 x轴上方 )， l为 C的准线，点 N在 l上，且 MN l，则 M到直线 NF的距离为 ( ) A. 5 B.22 C.23 D.33 解析： 抛物线 C： y2=4x的焦点 F(1， 0)，且斜率为 3的直线： y= 3 (x-1)， 过抛物线 C： y2=4x的焦点 F，且斜率为 3 的直线交 C于点 M(M在 x轴上方 )， l 可知： 2 431yxyx，解得 M(3， 23). 可得 N(-1， 23)，
9、NF的方程为： y=- 3 (x-1)，即 3 3 0xy ， 则 M到直线 NF的距离为： 3 3 2 3 3 2331 . 答案 ： C. 二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 13.函数 f(x)=2cosx+sinx的最大值为 _. 解析： 函数 2 5 52 c o s s i n 5 c o s s i n 5 s i n55f x x x x x x ，其中 tan =2， 可知函数的最大值为： 5 . 答案： 5 . 14.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x (-， 0)时， f(x)=2x3+x2，则 f(2)=_. 解析 ： 当 x (-，
10、0)时， f(x)=2x3+x2， f(-2)=-12， 又函数 f(x)是定义在 R上的奇函数， f(2)=12， 答案： 12 15.长方体的长、宽、高分别为 3， 2， 1，其顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为 _. 解析 ： 长方体的长、宽、高分别为 3， 2， 1，其顶点都在球 O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为： 2 2 21 1 43 2 122 . 则球 O的表面积为： 2144 1 42 . 答案： 14 . 16. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 2bcosB=acosC+ccosA，则 B=_. 解析 ：
11、 2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB， sinB 0， 1cos2B ， 0 B， 3B . 答案：3三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .(一 )必考题：共 60分 . 17.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，等比数列 bn的前 n项和为 Tn， a1=-1， b1=1， a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5，求 bn的通项公式； (2)若 T
12、3=21，求 S3. 解析 ： (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 d， q，即可得到所求通项公式； (2)运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和 . 答案： (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q， a1=-1， b1=1， a2+b2=2， a3+b3=5， 可得 -1+d+q=2， -1+2d+q2=5， 解得 d=1， q=2或 d=3， q=0(舍去 )， 则 bn的通项公式为 bn=2n-1， n N*； (2)b1=1， T3=
13、21， 可得 1+q+q2=21， 解得 q=4或 -5， 当 q=4时， b2=4， a2=2-4=-2， d=-2-(-1)=-1， S3=-1-2-3=-6； 当 q=-5时， b2=-5， a2=2-(-5)=7， d=7-(-1)=8， S3=-1+7+15=21. 18.如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC=12AD，BAD= ABC=90 . (1)证明：直线 BC平面 PAD； (2)若 PCD面积为 27，求四棱锥 P-ABCD的体积 . 解析 ： (1)利用直线与平面平行的判定定理证明即可 . (2)利用已知条件转化求解
14、几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可 . 答案： (1)证明：四棱锥 P-ABCD中， BAD= ABC=90 . BC AD， AD 平面 PAD， BC?平面 PAD， 直线 BC平面 PAD； (2)解：四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC=12AD， BAD= ABC=90 .设 AD=2x， 则 AB=BC=x， CD= 2 x， O是 AD 的中点， 连接 PO， OC， CD 的中点为： E，连接 OE， 则 OE= 22x， PO= 3 x， 22 72xP E P O O E ， PCD面积为 27，可得： 1 272 P
15、E C D， 即： 17 2 2 72 2 xx ，解得 x=2， PE=23. 则 1 1 1 1 2 4 2 2 3 4 33 2 3 2P A B C DV B C A D A B P O . 19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量 (单位： kg)，其频率分布直方图如下：(1)记 A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直
16、方图，对两种养殖方法的优劣进行比较 . 附： P(K2 K) 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 22 n a d b cKa b c d a c b d . 解析 ： (1)根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案； (2) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 以 将 列 联 表 补 全 ， 进 而 计 算 可 得 22 2 0 0 6 2 6 6 3 8 3 4 1 5 . 7 0 5 1 0 . 8 2 81 0 0 1 0 0 9 6 1 0 4K ，与附表比较即可得答案； (3)由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答
17、案 . 答案 ： (1)根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得： P(A)=(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) 5=0.62； (2)根据题意，补全列联表可得： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则有 22 2 0 0 6 2 6 6 3 8 3 4 1 5 . 7 0 5 1 0 . 8 2 81 0 0 1 0 0 9 6 1 0 4K ， 故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； (3)由频率分布直方图可得： 旧养殖法 100 个网箱产量的平均数1x=(27.
18、5 0.012+32.5 0.014+37.5 0.024+42.50.034+47.5 0.040+52.5 0.032+57.5 0.032+62.5 0.012+67.5 0.012) 5=59.42=47.1； 新养殖法 100 个网箱产量的平均数2x=(37.5 0.004+42.5 0.020+47.5 0.044+52.50.054+57.5 0.046+62.5 0.010+67.5 0.008) 5=5 10.47=52.35； 比较可得：12xx， 故新养殖法更加优于旧养殖法 . 20.设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 12x y上，过 M作 x轴的垂线，
19、垂足为 N，点P满足 2NP NM . (1)求点 P的轨迹方程； (2)设点 Q在直线 x=-3上，且 1OP PQ.证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F. 解析 ： (1)设 M(x0， y0)，由题意可得 N(x0， 0)，设 P(x， y)，运用向量的坐标运算，结合 M满足椭圆方程，化简整理可得 P的轨迹方程； (2)设 Q(-3， m)， P( 2 c o s 2 s i n， )， (0 2 )，运用向量的数量积的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ， PF 的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为 -1，即可得证 . 答案： (
20、1)设 M(x0， y0)，由题意可得 N(x0， 0)， 设 P(x， y)，由点 P满足 2NP NM . 可得 0020x x y y， ， 可得 x-x0=0，02yy， 即有 x0=x，0 2yy ， 代入椭圆方程 2 2 12x y，可得 22122xy， 即有点 P的轨迹方程为圆 x2+y2=2； (2)证明：设 Q(-3， m)， P( 2 c o s 2 s i n， )， (0 2 )， 1OP PQ，可得 2 c o s 2 s i n 3 2 c o s 2 s i n 1m ， ， 即为 223 2 c o s 2 c o s 2 s i n 2 s i n 1m ，
21、 解得 3 1 2 c o s2 s i nm ， 即有 Q(-3， 3 1 2 c o s2 s i nm )， 椭圆 2 2 12x y的左焦点 F(-1， 0)， 由 1 2 c o s2 s i nOQk ， 2 s i n2 c o s 1PFk ， 由 kOQ kPF=-1， 可得过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F. 21.设函数 f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x 0时， f(x) ax+1，求 a的取值范围 . 解析 ： (1)求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可 . (2)化简 f(x)=(
22、1-x)(1+x)ex.f(x) ax+1，下面对 a的范围进行讨论： 当 a 1时，当 0 a 1时，设函数 g(x)=ex-x-1，则 g (x)=ex-1 0(x 0)，推出结论；当 a 0时，推出结果，然后得到 a的取值范围 . 答案 ： (1)因为 f(x)=(1-x2)ex， x R， 所以 f (x)=(1-2x-x2)ex， 令 f (x)=0 可知 x=-1 2 ， 当 x -1- 2 或 x -1+ 2 时 f (x) 0，当 1 2 1 2x 时 f (x) 0， 所以 f(x)在 (-， -1- 2 )， (-1+ 2 ， + )上单调递减，在 ( 1 2 1 2 ，
23、)上单调递增； (2)由题可知 f(x)=(1-x)(1+x)ex.下面对 a的范围进行讨论： 当 a 1时，设函数 h(x)=(1-x)ex，则 h (x)=-xex 0(x 0)， 因此 h(x)在 0， + )上单调递减， 又因为 h(0)=1，所以 h(x) 1， 所以 f(x)=(1-x)h(x) x+1 ax+1； 当 0 a 1时，设函数 g(x)=ex-x-1，则 g (x)=ex-1 0(x 0)， 所以 g(x)在 0， + )上单调递增， 又 g(0)=1-0-1=0， 所以 ex x+1. 因为当 0 x 1时 f(x) (1-x)(1+x)2， 所以 (1-x)(1+
24、x)2-ax-1=x(1-a-x-x2)， 取05 4 12ax (0， 1)，则 (1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0， 所以 f(x0) ax0+1，矛盾； 当 a 0时，取0512x (0， 1)，则 f(x0) (1-x0)(1+x0)2=1 ax0+1，矛盾； 综上所述， a的取值范围是 1， + ). 选考题：共 10 分 .请考生在第 22、 23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分 .选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos =4. (1)M 为曲
25、线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM| |OP|=16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程； (2)设点 A的极坐标为 (2，3)，点 B在曲线 C2上，求 OAB面积的最大值 . 解析 ： (1)设 P(x， y)，利用相似得出 M点坐标，根据 |OM| |OP|=16列方程化简即可； (2)求出曲线 C2的圆心和半径，得出 B到 OA 的最大距离，即可得出最大面积 . 答案 ： (1)曲线 C1的直角坐标方程为： x=4， 设 P(x， y)， M(4， y0)，则04xyy，0 4yy x， |OM|OP|=16， 2 2 201 6 1 6x y y ， 即 2
26、22 21 1 6yxy x ， x4+2x2y2+y4=16x2，即 (x2+y2)2=16x2， 两边开方得： x2+y2=4x， 整理得： (x-2)2+y2=4(x 0)， 点 P的轨迹 C2的直角坐标方程： (x-2)2+y2=4(x 0). (2)点 A的直角坐标为 A(1， 3 )，显然点 A在曲线 C2上， |OA|=2， 曲线 C2的圆心 (2， 0)到弦 OA的距离 4 1 3d ， AOB的最大面积 1 2 3 2 32S O A . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知 a 0， b 0， a3+b3=2，证明： (1)(a+b)(a5+b5) 4； (2)a+b 2.
27、 解析 ： (1)由柯西不等式即可证明， (2) 由 a3+b3=2 转化为 3 23ab abab， 再 由 均 值 不 等 式 可 得 ： 3 2232ab ababab ，即可得到 14(a+b)3 2，问题得以证明 . 答案 ： (1)由柯西不等式得： 2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b ， 当且仅当 55ab ba ，即 a=b=1时取等号， (2) a3+b3=2， (a+b)(a2-ab+b2)=2， (a+b)(a+b)2-3ab=2， (a+b)3-3ab(a+b)=2， 3 23ab abab， 由均值不等式可得： 3 2232ab ababab ， 33 324abab ， 31 24 ab， a+b 2，当且仅当 a=b=1 时等号成立 .
