1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 卷 )数学理 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.31ii=( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解析： 313 4 2 21 1 1 2iiii ii i i . 答案： D. 2.设集合 A=1， 2， 4， B=x|x2-4x+m=0.若 A B=1，则 B=( ) A.1， -3 B.1， 0 C.1， 3 D.1， 5 解析： 集合 A=1， 2， 4， B=x|x2-4x+m=0. 若 A B=1，则 1 A 且 1 B， 可
2、得 1-4+m=0，解得 m=3， 即有 B=x|x2-4x+3=0=1， 3. 答案： C. 3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 解析：设这个塔顶层有 a盏灯， 宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2倍， 从塔顶层依次向下每层灯数是以 2为公比、 a为首项的等比数列， 又总共有灯 381盏， 7123 8 1 1 2 712a a，解得 a=3， 则这个塔顶层有
3、 3盏灯 . 答案： B. 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( ) A.90 B.63 C.42 D.36 解析： 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6的圆柱的一半， 2213 1 0 3 6 6 32V . 答案 ： B. 5.设 x， y满足约束条件2 3 3 02 3 3 030xyxyy ，则 z=2x+y的最小值是 ( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 解析： x、 y满足约束条件2 3 3 02 3 3 030xyxyy 的可行域如图： z=2x+y 经过可
4、行域的 A时，目标函数取得最小值， 由 32 3 3 0yxy -解得 A(-6， -3)， 则 z=2x+y 的最小值是： -15. 答案 ： A. 6.安排 3名志愿者完成 4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有 ( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 解析： 4项工作分成 3 组，可得： 24 6C ， 安排 3名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1人完成， 可得： 336 36A种 . 答案 ： D. 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩 .老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在
5、给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩 .看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩 .根据以上信息，则 ( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析： 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良， (若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩 ) 乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩 . 答案： D. 8.执行如图的程序框图，如果输入的 a=-1，则输出的 S=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： 执行程序
6、框图，有 S=0， K=1， a=-1，代入循环， 第一次满足循环， S=-1， a=1， K=2； 满足条件，第二次满足循环， S=1， a=-1， K=3； 满足条件，第三次满足循环， S=-2， a=1， K=4； 满足条件，第四次满足循环， S=2， a=-1， K=5； 满足条件，第五次满足循环， S=-3， a=1， K=6； 满足条件，第六次满足循环， S=3， a=-1， K=7； 7 6不成立，退出循环输出， S=3. 答案： B. 9.若双曲线 C： 221xyab(a 0， b 0)的一条渐近线被圆 (x-2)2+y2=4所截得的弦长为 2，则 C的离心率为 ( ) A.
7、2 B. 3 C. 2 D.233解析 ：双曲线 C： 221xyab(a 0， b 0)的一条渐近线不妨为： bx+ay=0， 圆 (x-2)2+y2=4的圆心 (2， 0)，半径为： 2， 双曲线 C： 221xyab(a 0， b 0)的一条渐近线被圆 (x-2)2+y2=4所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为： 222222 1 3 bab ， 解得： 222443cac ，可得 e2=4，即 e=2. 答案： A. 10.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中， ABC=120， AB=2， BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( ) A. 32B.
8、 155C. 105D. 33解析 ： 【解法一】如图所示，设 M、 N、 P分别为 AB， BB1和 B1C1的中点， 则 AB1、 BC1夹角为 MN和 NP 夹角或其补角 (因异面直线所成角为 (0，2)， 可知11522M N A B， 11222N P B C； 作 BC中点 Q，则 PQM 为直角三角形； PQ=1， MQ=12AC， ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB BC cos ABC =4+1-2 2 1 (-12) =7， AC= 7 ， MQ= 72； 在 MQP中， 22 112M P M Q P Q ； 在 PMN中，由余弦定理得 2 2 22
9、2 25 2 1 12 2 2 10c o s25 52222M N N P P MM N PM H N P ； 又异面直线所成角的范围是 (0，2， AB1与 BC1所成角的余弦值为 105. 【解法二】如图所示， 补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，求 BC1D即可； BC1= 2 ， 222 1 2 2 1 c o s 6 0 3BD ， C1D= 5 ， BC12+BD2=C1D2， DBC1=90， 12 1 0c o s55B C D . 答案 ： C 11.若 x=-2是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点，则 f(x)的极小值为 ( ) A.-1 B.-2e-
10、3 C.5e-3 D.1 解析 ： 函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1， 可得 f (x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1， x=-2是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点， 可得： -4+a+(3-2a)=0. 解得 a=-1. 可得 f (x)=(2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1， =(x2+x-2)ex-1，函数的极值点为： x=-2， x=1， 当 x -2或 x 1时， f (x) 0函数是增函数， x (-2， 1)时，函数是减函数， x=1时，函数取得极小值： f(1)=(12-1-1)e1-1=-1. 答案 ： A. 12.已
11、知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA PB PC的最小值是 ( ) A.-2 B. 32C. 43D.-1 解析 ： 建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点， 则 A(0， 3 )， B(-1， 0)， C(1， 0)， 设 P(x， y)，则 3 1 1P A x y P B x y P C x y ， ， ， ， ， 则 22 2 2 332 2 3 2 224P A P B P C x y y x y 当 x=0， y= 32时，取得最小值 33242 . 答案： B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13.一批
12、产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X表示抽到的二等品件数，则 DX=_. 解析 ： 由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中， p=0.02， n=100， 则 DX=npq=np(1-p)=100 0.02 0.98=1.96. 答案： 1.96. 14.函数 2 3s i n 3 c o s 04 2f x x x x ，的最大值是 _. 解析 ： 22 33s i n 3 c o s 1 c o s 3 c o s44f x x x x x ， 令 cosx=t且 t 0， 1， 则 22 133142y t t t
13、， 当 t= 32时， f(t)max=1， 即 f(x)的最大值为 1. 答案： 1 15.等差数列 an的前 n项和为 Sn， a3=3， S4=10，则11nk kS=_. 解析 ： 等差数列 an的前 n项和为 Sn， a3=3， S4=10， S4=2(a2+a3)=10， 可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1， 1 1 2 1 122 1 1n nnnSS n n n n ， ， 则11 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 3 4 1 1 1nk knS n n n n . 答案： 21nn. 16.已知 F 是抛物线 C： y2=8x 的焦点， M
14、 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN的中点，则 |FN|=_. 解析 ： 抛物线 C： y2=8x 的焦点 F(2， 0)， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为FN的中点， 可知 M的横坐标为： 1，则 M的纵坐标为： 22， 2 22 2 1 2 ( 2 2 0 ) 6F N F M . 答案： 6. 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤 .第 17 21 题为必做题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .(一 )必考题：共 60分 . 17. ABC的内角
15、A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 2s i n 8 s i n2BAC. (1)求 cosB； (2)若 a+c=6， ABC面积为 2，求 b. 解析 ： (1)利用三角形的内角和定理可知 A+C= -B，再利用诱导公式化简 sin(A+C)，利用降幂公式化简 28sin2B，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB， (2)由 (1)可知 8sin17B ，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b. 答案 ： (1) 2s i n 8 s i n2BAC， sinB=4(1-cosB)， sin2B+cos2B=1， 16(1-cosB)2+cos2B=
16、1， (17cosB-15)(cosB-1)=0， 15cos17B ； (2)由 (1)可知 8sin17B ， 1 s i n 22ABCS a c B ， 172ac， 2 2 2 2 2 1 7 1 52 c o s 22 1 7b a c a c B a c =a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4， b=2. 18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量 (单位： kg)，其频率分布直方图如图： (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新
17、养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值 (精确到 0.01). 附： P(K2 k) 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 22 n a d b cKa b c d a c b d . 解析 ： (1)由题意可知： P(A)=P(BC)=P(B)P(C)，分布求得发生的频率，即可求得其概率； (2)完成 2 2列联表：求得观测值，与参考
18、值比较，即可求得有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： (3)根据频率分布直方图即可求得其平均数 . 答案 ： (1)记 B表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”， C表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”， 由 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)， 则旧养殖法的箱产量低于 50kg： (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) 5=0.62， 故 P(B)的估计值 0.62， 新养殖法的箱产量不低于 50kg： (0.068+0.046+0.010+0.008) 5=0.66， 故 P(C)的估计值为， 则事件 A的概率估计值为 P(A)=P(B)P(C
19、)=0.62 0.66=0.4092； A发生的概率为 0.4092； (2)2 2列联表： 箱产量 50kg 箱产量 50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则 22 2 0 0 6 2 6 6 3 8 3 4 1 5 . 7 0 51 0 0 1 0 0 9 6 1 0 4K ， 由 15.705 6.635， 有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； (3)由题意可知：方法一： X新=5 (37.5 0.004+42.5 0.020+47.5 0.044+52.50.068+57.5 0.046+62.5 0.010+67
20、.5 0.008)， =5 10.47， =52.35(kg). 新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35(kg) 方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg的直方图的面积： (0.004+0.020+0.044) 5=0.34， 箱产量低于 55kg的直方图面积为： (0.004+0.020+0.044+0.068) 5=0.68 0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为： 0 . 5 0 . 3 45 0 5 2 . 3 50 . 0 6 8(kg)， 新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35(kg). 19.如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD为等边三角
21、形且垂直于底面 ABCD， 12A B B C A D， BAD= ABC=90， E 是 PD 的中点 . (1)证明：直线 CE平面 PAB； (2)点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 M-AB-D 的余弦值 . 解析 ： (1)取 PA 的中点 F，连接 EF， BF，通过证明 CE BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可 . (2)利用已知条件转化求解 M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 M-AB-D的余弦值即可 . 答案： (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF， BF，因为 E是 PD的中点， 所以 1122E F A
22、 D A B B C A D ， BAD= ABC=90， 12BC AD， BCEF是平行四边形，可得 CE BF， BF 平面 PAB， CF 平面 PAB， 直线 CE平面 PAB； (2)四棱锥 P-ABCD中， 侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， 12A B B C A D， BAD= ABC=90， E 是 PD 的中点 . 取 AD的中点 O， M在底面 ABCD上的射影 N在 OC 上，设 AD=2，则 AB=BC=1， OP= 3 ， PCO=60，直线 BM与底面 ABCD所成角为 45， 可得： BN=MN， CN= 33MN， BC=1， 可得： 2211
23、3 B N B N， 62BN， 62MN， 作 NQ AB于 Q，连接 MQ， 所以 MQN就是二面角 M-AB-D的平面角， 22 6 1 0122MQ ， 二面角 M-AB-D的余弦值为： 1 105102 . 20.设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C： 2 2 12x y上，过 M作 x轴的垂线，垂足为 N，点 P满足 2NP NM . (1)求点 P的轨迹方程； (2)设点 Q在直线 x=-3上，且 1OP PQ.证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F. 解析 ： (1)设 M(x0， y0)，由题意可得 N(x0， 0)，设 P(x， y)，运用向量的坐标运算，
24、结合 M满足椭圆方程，化简整理可得 P的轨迹方程； (2)设 Q(-3， m)， P( 2 c o s 2 s i n， )， (0 2 )，运用向量的数量积的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ， PF 的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为 -1，即可得证 . 答案 ： (1)设 M(x0， y0)，由题意可得 N(x0， 0)， 设 P(x， y)，由点 P满足 2NP NM . 可得 0020x x y y， ， 可得 x-x0=0， y= 2 y0， 即有 x0=x，0 2yy ， 代入椭圆方程 2 2 12x y，可得 22122xy， 即有点 P
25、的轨迹方程为圆 x2+y2=2； (2)证明：设 Q(-3， m)， P( 2 c o s 2 s i n， )， (0 2 )， 1OP PQ，可得 2 c o s 2 s i n 3 2 c o s 2 s i n 1m ， ， 即为 223 2 c o s 2 c o s 2 s i n 2 s i n 1m ， 解得 3 1 2 c o s2 s i nm ， 即有 Q(-3， 3 1 2 c o s2 s in )， 椭圆 2 2 12x y的左焦点 F(-1， 0)， 由 1 2 c o s2 s i nOQk ， 2 s i n2 c o s 1PFk ， 由 kOQ kPF=-
26、1， 可得过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F. 21.已知函数 f(x)=ax2-ax-xlnx，且 f(x) 0. (1)求 a； (2)证明： f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e-2 f(x0) 2-2. 解析 ： (1)通过分析可知 f(x) 0 等价于 h(x)=ax-a-lnx 0，进而利用 1h x ax 可得 m in 1h x h a ，从而可得结论； (2) 通过 (1) 可知 f(x)=x2-x-xlnx ，记 t(x)=f (x)=2x-2-lnx ， 解 不 等 式 可 知 m i n 1 l n 2 1 02t x t ，从而可知 f (x)=0
27、 存在两根 x0， x2，利用 f(x)必存在唯一极大值点 x0及0 12x可知 0 14fx，另一方面可知 0 211f x f ee. 答案： (1)解：因为 f(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-lnx)(x 0)， 则 f(x) 0等价于 h(x)=ax-a-lnx 0，求导可知 1h x ax . 则当 a 0时 h (x) 0，即 y=h(x)在 (0， + )上单调递减， 所以当 x0 1时， h(x0) h(1)=0，矛盾，故 a 0. 因为当 10 xa 时 h (x) 0、当 x 1a时 h (x) 0， 所以 m in1h x h a ， 又因为 h(1)=a-
28、a-ln1=0， 所以 1 1a，解得 a=1； (2)证明：由 (1)可知 f(x)=x2-x-xlnx， f (x)=2x-2-lnx， 令 f (x)=0，可得 2x-2-lnx=0，记 t(x)=2x-2-lnx，则 12txx ， 令 t (x)=0，解得： x=12， 所以 t(x)在区间 (0， 12)上单调递减，在 (12， + )上单调递增， 所以 t(x)min=t(12)=ln2-1 0，从而 t(x)=0有解，即 f (x)=0 存在两根 x0， x2， 且不妨设 f (x)在 (0， x0)上为正、在 (x0， x2)上为负、在 (x2， + )上为正， 所以 f(x
29、)必存在唯一极大值点 x0，且 2x0-2-lnx0=0， 所以 f(x0)=x02-x0-x0lnx0=x02-x0+2x0-2x02=x0-x02， 由0 12x可知 20 0 0 2m a x 1 1 12 2 4f x x x ； 由 1 0fe可知0 112x e ， 所以 f(x)在 (0， x0)上单调递增，在 (0 1x e，)上单调递减， 所以 0 211f x f ee； 综上所述， f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e-2 f(x0) 2-2. (二 )选考题：共 10分 .请考生在第 22、 23 题中任选一题作答 .如果多做，按所做的第一题计分 .选修 4-4：坐
30、标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos =4. (1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM| |OP|=16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程； (2)设点 A的极坐标为 (2，3)，点 B在曲线 C2上，求 OAB面积的最大值 . 解析 ： (1)设 P(x， y)，利用相似得出 M点坐标，根据 |OM| |OP|=16列方程化简即可； (2)求出曲线 C2的圆心和半径，得出 B到 OA 的最大距离，即可得出最大面积 . 答案 ： (1)曲线 C1的直角坐标方程为
31、： x=4， 设 P(x， y)， M(4， y0)，则04xyy ， 0 4yy x ， |OM|OP|=16， 2 2 201 6 1 6x y y ， 即 22221 1 6yxyx ， x4+2x2y2+y4=16x2，即 (x2+y2)2=16x2， 两边开方得： x2+y2=4x， 整理得： (x-2)2+y2=4(x 0)， 点 P的轨迹 C2 的直角坐标方程： (x-2)2+y2=4(x 0). (2)点 A的直角坐标为 A(1， 3 )，显然点 A在曲线 C2上， |OA|=2， 曲线 C2的圆心 (2， 0)到弦 OA的距离 4 1 3d ， AOB的最大面积 1 2 3
32、2 32S O A . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知 a 0， b 0， a3+b3=2，证明： (1)(a+b)(a5+b5) 4； (2)a+b 2. 解析 ： (1)由柯西不等式即可证明， (2)由 a3+b3=2 转化为 3 23ab abab，再由均值不等式可得： 3 2232ab ababab ，即可得到 31 24 ab，问题得以证明 . 答案 ： (1)由柯西不等式得： 2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b ， 当且仅当 55ab ba ，即 a=b=1时取等号， (2) a3+b3=2， (a+b)(a2-ab+b2)=2， (a+b)(a+b)2-3ab=2， (a+b)3-3ab(a+b)=2， 3 23ab abab， 由均值不等式可得： 3 2232ab ababab ， 33 324abab ， 31 24 ab， a+b 2，当且仅当 a=b=1 时等号成立 .
