1、专升本高等数学(一)-151 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，无穷小 x+sinx 是比 x_（分数：4.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小2.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内可导，且 f(x 0 )为 f(x)的一个极小值，则 （分数：4.00）A.-2B.0C.1D.23.设函数 f(x)=e -x2 ，则 f(x)等于_（分数：4.00）A.-2e-x2B.2e-x2C.-2xe-x2D.2xe-x24.函数 y=x-arctanx 在(-,+)内_（分数：4.
2、00）A.单调增加B.单调减少C.不单调D.不连续5.设f(x)dx=e x +C，则xf(1-x 2 )dx 为_ Axe 1-x2 +C B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.tanx2B.tanxC.sec2x2D.2xtanx27.下列反常积分收敛的_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性9.方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是_（分数：4.00）A.椭球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物面10. （分数：4.00）A.有水平渐近线，无铅直渐近
3、线B.无水平渐近线，有铅直渐近线C.既有水平渐近线，又有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 y=2 2arccosx ，则 dy= 1 （分数：4.00）14.设 （分数：4.00）15.幂级数 （分数：4.00）16.过点 P(4,1,-1)，且与点 P 和原点的连线垂直的平面方程为 1 （分数：4.00）17. （分数：4.00）18. （分数：4.00）19.将 （分数：4.00）20.方程 y+y+y=0 的通解为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70
4、00)21.设 y=y(x)是由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数，求 dy （分数：8.00）_22.已知曲线 y=ax 4 +bx 3 +x 2 +3 在点(1,6)处与直线 y=11x-5 相切，求 a,b （分数：8.00）_23.设xf(x)dx=arcsinx+C，求 （分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25.求方程 y=e 3x-2y 满足初始条件 （分数：8.00）_26.设 z=e x(x2+y2) ，求 dz （分数：10.00）_27.求 （分数：10.00）_28.一艘轮船以 20 海里/小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 8
5、2 海里处以 16 海里/小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近? （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-151 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，无穷小 x+sinx 是比 x_（分数：4.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小解析：考点 本题考查了无穷小量阶的比较的知识点 解析 2.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内可导，且 f(x 0 )为 f(x)的一个极小值，则 （分数：4.00）A.-2B.0 C.1D.2解析：考点 本题考查了函数的极值的知识点
6、 解析 因 f(x)在 x=x 0 处取得极值，且可导，于是 f(x 0 )=0又 3.设函数 f(x)=e -x2 ，则 f(x)等于_（分数：4.00）A.-2e-x2B.2e-x2C.-2xe-x2 D.2xe-x2解析：考点 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点 解析 因 f(x)=e -x2 ，则 f(x)=e -x2 (-2x)=-2xe -x2 4.函数 y=x-arctanx 在(-,+)内_（分数：4.00）A.单调增加 B.单调减少C.不单调D.不连续解析：考点 本题考查了函数的单调性的知识点 解析 因 y=x-arctanx，则 5.设f(x)dx=e x +C，则xf(
7、1-x 2 )dx 为_ Axe 1-x2 +C B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 本题考查了换元积分法求不定积分的知识点 解析 另解：将f(x)dx=e x +C 两边对 x 求导得 f(x)=e x ， 6.设 （分数：4.00）A.tanx2B.tanxC.sec2x2D.2xtanx2 解析：考点 本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点 解析 因 7.下列反常积分收敛的_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 本题考查了反常积分的敛散性的知识点 解析 由 当 p1 时发散，p1 时收敛，可知应选 D 注：本题容易看出 A 选项发
8、散而 B 选项 中 相当于 ，故此积分发散对于 C 选项，由 8.级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.无法确定敛散性解析：考点 本题考查了 p 级数的敛散性的知识点 解析 级数的通项为 ，此级数为 p 级数又因 9.方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是_（分数：4.00）A.椭球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物面 解析：考点 本题考查了二次曲面(圆柱面)的知识点 解析 由方程特征知，方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是圆柱面10. （分数：4.00）A.有水平渐近线，无铅直渐近线B.无水平渐近线，有铅直渐近线C.既有水平渐近线，又有铅直渐
9、近线 D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线解析：考点 本题考查了曲线的渐近线的知识点 解析 对于曲线 ，因 ，故有水平渐近线 y=1；又 二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）解析：1 考点 本题考查了函数的连续性的知识点 解析 12. （分数：4.00）解析：e 6 考点 本题考查了 的应用的知识点 解析 13.设 y=2 2arccosx ，则 dy= 1 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了一元函数的微分的知识点 解析 由 y=2 2arccosx ，则 14.设 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了二元函数在一点处的一阶导数的知识点 解析 令
10、 x=1，y=1， 注：本题也可将 x=1 代入 f 中得 15.幂级数 （分数：4.00）解析：+ 考点 本题考查了幂级数的收敛半径的知识点 解析 16.过点 P(4,1,-1)，且与点 P 和原点的连线垂直的平面方程为 1 （分数：4.00）解析：4x+y-z-18=0 考点 本题考查了平面方程的知识点 解析 由点 P 与原点的连线和平面垂直，因此 就是平面的法线向量， 所以 17. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了二元函数的混合偏导的知识点 解析 由 ，得 ， 故 18. （分数：4.00）解析：1 考点 本题考查了定积分的知识点 解析 19.将 （分数：4.00）解析： 考点
11、 本题考查了交换积分次序的知识点 解析 从原积分可看出积分区域 D=(x,y)|0x2,xy4-x，则 20.方程 y+y+y=0 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点 解析 由方程知它的特征方程为 r 2 +r+1=0，所以 因此通解为 三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=y(x)是由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数，求 dy （分数：8.00）_正确答案：()解析：方程两边对 x 求导有(注意 y 是 x 的函数)， 注：本题还可用一阶微分的形式不变性解为 所以3+ln(x-y)dy=2+ln(x-
12、y)dx， 因此 22.已知曲线 y=ax 4 +bx 3 +x 2 +3 在点(1,6)处与直线 y=11x-5 相切，求 a,b （分数：8.00）_正确答案：()解析：曲线过点(1,6)，即点(1,6)满足曲线方程， 所以 6=a+b+4， (1) 再 y=4ax 3 +3bx 2 +2x，且曲线在点(1,6)处与 y=11x-5 相切， 所以 23.设xf(x)dx=arcsinx+C，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：原式两边对 x 求导，得 注：积分的结果应回到原变量 x 上，令 x=sint， 所以 24. （分数：8.00）_正确答案：()解析：令 ，则 x=t 2
13、1，dx=2tdt， 25.求方程 y=e 3x-2y 满足初始条件 （分数：8.00）_正确答案：()解析：原题可改写为 ，即 e 2y dy=e 3x dx， 两边积分得 代入初始条件 所以 ，故所求特解为 26.设 z=e x(x2+y2) ，求 dz （分数：10.00）_正确答案：()解析：由 z=e x(x2+y2) ，则 27.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：积分区域 D 如图所示，据被积函数特点(含 x 2 +y 2 )，及积分区域的特点(扇形)，该积分易用极坐标计算 D 可表示为 28.一艘轮船以 20 海里/小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 82 海里处以 16 海里/小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近? （分数：10.00）_正确答案：()解析：设经过 t 小时两船相距 S 海里，则
