1、专升本高等数学(一)-83 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1. 等于_A1 B （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=5-x3，则 y=_ A.1-x2 B.1-3x2 C.-x2 D.-3x2（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=ex-2，则 dy=_ A.exdx B.ex-1dx C.ex-2dx D.ex-3dx（分数：4.00）A.B.C.D.4.(2x-1)dx=_ A.x2+C B.x2-x+C C.2x2+x+C D.2x2+C（分数：4.00）A.B.C.D.5. =_A1 Bln 22
2、 C （分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7.cos(2x-1)dx=_ Asin(2x-1)+C B C-sin(2x-1)+C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 z=ysinx，则 （分数：4.00）A.B.C.D.9.方程 y“-3y+2y=xe2x的待定特解 y*应取_ A.Axe2x B.(Ax+B)e2x C.Ax2e2x D.x(Ax+B)e2x（分数：4.00）A.B.C.D.10.若 收敛，则下面命题正确的是_ A 可能不存在 B 必定不存在 C 存在，但 D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，
3、分数：40.00)11.设当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=f(x)在点 x=0 处可导，且 x=0 为 f(x)的极值点，则 f(0)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=3+cosx，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_14.3e xdx=_（分数：4.00）填空项 1:_15.=_ （分数：4.00）填空项 1:_16.微分方程 y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_17.设 z=ln(x2+y)，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_18.过 M0(1，-1，2)且垂直于平面 2x-y+3z-1=0 的直线方程为_（分数：
4、4.00）填空项 1:_19.级数 （分数：4.00）填空项 1:_20.=_ （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=x+sinx，求 y（分数：8.00）_22.求曲线 （分数：8.00）_23.计算不定积分 （分数：8.00）_24.设 z=z(x，y)由 x2+y3+2z=1 确定，求 （分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.求微分方程 y“-y-2y=3ex的通解（分数：10.00）_27.设 f(x)为连续函数，且 （分数：10.00）_28.设 F(x)为 f(x)的一个原函数，且 f(x)=xlnx，求 F
5、(x)（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-83 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1. 等于_A1 B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小量代换 解法 1 由*可知 * 解法 2 当 x0 时，sinxx，sinmxmx，因此 *2.设 y=5-x3，则 y=_ A.1-x2 B.1-3x2 C.-x2 D.-3x2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为导数运算y=(5-x3)=5-(x3)=-3x2，因此选 D3.设 y=ex-2，则
6、 dy=_ A.exdx B.ex-1dx C.ex-2dx D.ex-3dx（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为微分运算y=(ex-2)=ex-2(x-2)=ex-2，dy=ydx=ex-2dx，因此选 C4.(2x-1)dx=_ A.x2+C B.x2-x+C C.2x2+x+C D.2x2+C（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点为不定积分运算(2x-1)dx=2xdx-dx=x 2-x+C因此选 B5. =_A1 Bln 22 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为定积分运算 * 因此选 C6. （
7、分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点为定积分换元积分法 * 因此选 A7.cos(2x-1)dx=_ Asin(2x-1)+C B C-sin(2x-1)+C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点为不定积分换元积分法 * 因此选 B8.设 z=ysinx，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为二阶偏导数 由于 z=ysinx，因此 * 可知应选 C9.方程 y“-3y+2y=xe2x的待定特解 y*应取_ A.Axe2x B.(Ax+B)e2x C.Ax2e2x D.x(Ax+B)e2x（分数：4.00）
8、A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解 y*的取法：若自由项 f(x)=Pn(x)ex ，当 不为特征根时，可设特解为y*=Qn(x)ex ，Q n(x)为 x 的待定 n 次多项式当 为单特征根时，可设特解为y*=xQn(x)ex 当 为二重特征根时，可设特解为y*=x2Qn(x)ex 所给方程对应齐次方程的特征方程为r2-3r+2=0特征根为 r1=1，r 2=2自由项 f(x)=xe2x，相当于 =2 为单特征根又因为 Pn(x)为一次式，因此应选 D10.若 收敛，则下面命题正确的是_ A 可能不存在 B 必定不存在 C 存在，但 D （分数：
9、4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为级数的基本性质由级数收敛的必要条件：若*收敛，则必有*，可知 D 正确而 A，B，C 都不正确本题常有考生选取 C，这是由于考生将级数收敛的定义*存在，其中*误认为 un，这属于概念不清楚而导致的错误二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查的知识点为函数连续性的概念 由连续性的定义可知，若 F(x)在点 x=0 连续，则必有*由题设可知 *12.设 y=f(x)在点 x=0 处可导，且 x=0 为 f(x)的极值点，则 f(0)=_（
10、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 本题考查的知识点为极值的必要条件 由于 y=f(x)在点 x=0 可导，且 x=0 为 f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有 f(0)=013.设 y=3+cosx，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-sinx）解析：解析 本题考查的知识点为导数运算 y=(3+cosx)=-sinx14.3e xdx=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3e x+C）解析：解析 本题考查的知识点为不定积分计算由不定积分基本公式可知 3e xdx=3ex+C15.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
11、0）解析：解析 本题考查的知识点为定积分的性质 积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此 *16.微分方程 y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C）解析：解析 本题考查的知识点为微分方程通解的概念 微分方程为 y=0 dy=0，y=C17.设 z=ln(x2+y)，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为求二元函数的全微分通常求二元函数的全微分的思路为：先求出*如果两个偏导数为连续函数，则可得知*由题设 z=ln(x2+y)，令 u=x2+y，可得z=lnu*当 x2+y0 时，*为连续函数，因此有*18.过
12、 M0(1，-1，2)且垂直于平面 2x-y+3z-1=0 的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为直线方程的求解 由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量 s可取为已知平面的法向量 n=(2，-1，3) 由直线的点向式方程可知所求直线方程为 *19.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，1)）解析：解析 本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间 所给级数为不缺项情形 * 可知收敛半径*，因此收敛区间为(-1，1) 注 考试大纲中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点 本题一些考生填 1，这是误将收敛区间看作收敛半径，
13、多数是由于考试时过于紧张而导致的错误20.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 本题考查的知识点为二次积分的计算 由相应的二重积分的几何意义可知，所给二次积分的值等于长为 1，宽为 2 的矩形的面积值，故为 2或由二次积分计算可知 *三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=x+sinx，求 y（分数：8.00）_正确答案：(y=(x+sinx)=x+(sinx)=1+cosx)解析：解析 由导数的四则运算法则可知22.求曲线 （分数：8.00）_正确答案：(由于 * 可知 y=0 为所给曲线的水平渐近线 由于*，可知 x=2 为所给曲线的竖直
14、渐近线)解析：解析 本题考查的知识点为求曲线的渐近线若*，则直线 y=c 为曲线 y=f(x)的水平渐近线；若*，则直线 x=x0，为曲线 y=f(x)的竖直渐近线有些特殊情形还需研究单边极限23.计算不定积分 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点为不定积分运算 只需将被积函数进行恒等变形，使之成为标准积分公式形式的函数或利用变量替换求积分的函数24.设 z=z(x，y)由 x2+y3+2z=1 确定，求 （分数：8.00）_正确答案：(解法 1 将所给方程两端关于 x 求偏导数，可得*可解得*将所给方程两端关于 y 求偏导数，可得*可解得 *解法 2 令 F(x，
15、y，z)=x 2+y3+2z-1，则Fx=2x，Fy=3y2，Fz=2，因此*)解析：解析 本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数若 z=z(x，y)由方程 F(x，y，z)=0 确定，求 z 对 x，y 的偏导数通常有两种方法：一是利用偏导数公式，当 Fz0 时，*需注意 Fx，F y，F z分别表示 F(x，y，z)对 x，y，z 的偏导数将 F(x，y，z)中 x，y，z 三者同等对待，各看作是独立变元二是将 F(x，y，z)=0 两端关于 x 求偏导数，将 z=z(x，y)看作为中间变量，可以解出*同理将F(x，y，z)=0 两端关于 y 求偏导数，将 z=z(x，y)看作中间变量，可
16、以解出*25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(解法 1 利用极坐标系 D 可以表示为 * 解法 2 利用直角坐标系 D 可以表示为0y1，*， *)解析：解析 本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算积分区域 D 如图所示*如果利用直角坐标计算，区域 D 的边界曲线关于 x，y 地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点注意*可以看出，两种积分次序下的二次积分都可以进行计算，但是若先对 x 积分，后对 y 积分，将简便些本题中考生出现的较普遍的错误为，利用极坐标将二重积分化为二次积分：*右端被积函数中丢掉了 r，这是考生应该注意的问题通常若区域可以表示为，r
17、1()rr 2()，*26.求微分方程 y“-y-2y=3ex的通解（分数：10.00）_正确答案：(相应的齐次微分方程为y“-y-2y=0其特征方程为 r 2-r-2=0其特征根为 r 1=-1，r 2=2齐次方程的通解为 Y=C 1e-x+C2e2x由于 f(x)=3ex，1 不是其特征根，设非齐次方程的特解为y*=Aex代入原方程可得*原方程的通解为*)解析：解析 本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程 由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解 y=相应齐次方程的通解 Y+非齐次方程的一个特解 y* 其中 y 可以通过求解特征方程得特征根而求出而 y*可以利用待
18、定系数法求解27.设 f(x)为连续函数，且 （分数：10.00）_正确答案：(设*，则f(x)=x3+3Ax将上式两端在0，1上积分，得*因此*)解析：解析 本题考查的知识点为两个：定积分表示一个确定的数值；计算定积分由于定积分*存在，因此它表示一个确定的数值，设*，则f(x)=x3+3Ax这是解题的关键!为了能求出 A，可考虑将左端也转化为 A 的表达式，为此将上式两端在0，1上取定积分，可得*得出 A 的方程，可解出 A，从而求得 f(x)本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示一个数值”的性质这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中28.设 F(x)为 f(x)的一个原函数，且 f(x)=xlnx，求 F(x)（分数：10.00）_正确答案：(由题设可得知 *)解析：解析 本题考查的知识点为两个：原函数的概念和分部积分法
