1、专升本高等数学(一)-88 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.极限 等于_A （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且 f“0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内_ A.凹 B.凸 C.凹凸性不可确定 D.单调减少（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 在 x=0处连续，则 a等于_ A2 B （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)为区间a，b上的连续函数，则曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=
2、b，y=0 所围成的封闭图形的面积为_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)为连续函数，则 等于_ Af(2)-f(0) B C （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 y=e-2x，则 y等于_ A.2e-2x B.e-2x C.-2e-2x D.-2e2x（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 z=x2y，则 （分数：4.00）A.B.C.D.9.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.10.方程 y“+3y=x2的待定特解 y*应取_ A.Ax B.Ax2+Bx+C C.Ax2 D.x(Ax2+Bx+C)（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总
3、题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 sinx为 f(x)的原函数，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.(x-5) 4dx=_（分数：4.00）填空项 1:_15.已知平面 ：2x+y-3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_16.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_17.设区域 D：x 2+y2a 2，x0，则 （分数：4.00）填空项 1:_18.设 f(1)=2，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.微分方程 y“-y=0的通解为_（分
4、数：4.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：8.00）_22.设 求 （分数：8.00）_23.计算tanxdx（分数：8.00）_24.设 z=z(z，y)由方程 ez-xy+y+z=0确定，求 dz（分数：8.00）_25.将 （分数：8.00）_26.在曲线 y=x2(x0)上某点 A(a，a 2)处作切线，使该切线与曲线及 x轴所围成的图形的面积为（分数：10.00）_27.求 y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点（分数：10.00）_28.设平面薄片的方程可以表示为 x2+y2R 2，x
5、0，薄片上点(x，y)处的密度 （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-88 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.极限 等于_A （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为重要极限公式 由于*，可知应选 C2.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为可变上限积分的求导 当 f(x)为连续函数，(x)为可导函数时， * 可知* 因此应选 D3.设 y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且 f“0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内_ A.凹 B.
6、凸 C.凹凸性不可确定 D.单调减少（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性 由于在(a，b)区间内 f“(x)0，可知曲线 y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选 A4.设函数 在 x=0处连续，则 a等于_ A2 B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为函数连续性的概念 由于* f(0)=a， f(x)在点 x=0连续，因此*，故 a=1，应选 C5.设 f(x)为区间a，b上的连续函数，则曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的封闭图形的面积为_ A B C （分数：4.00）A.
7、B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点为定积分的几何意义 由定积分的几何意义可知应选 B 常见的错误是选 C如果画个草图，则可以避免这类错误6.设 f(x)为连续函数，则 等于_ Af(2)-f(0) B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为牛顿-莱布尼茨公式和不定积分的性质 * 可知应选 C7.设 y=e-2x，则 y等于_ A.2e-2x B.e-2x C.-2e-2x D.-2e2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为复合函数求导y=(e-2x)=e-2x(-2x)=-2e-2x，可知应选 C8.设 z=x2y，则 （分
8、数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点为偏导数的计算对于 z=x2y，求*的时候，要将 z认定为 x的幂函数，从而*可知应选 A9.级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛 若记*，则*，其中 k为非零正常数由于*为*的 p级数，它为发散级数，因此*为发散级数可以排除选项 B *为交错级数，由莱布尼茨判别法可知其收敛故知*为条件收敛应选 A10.方程 y“+3y=x2的待定特解 y*应取_ A.Ax B.Ax2+Bx+C C.Ax2 D.x(Ax2+Bx+C)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的
9、知识点为二阶常系数线性微分方程特解 y*的取法由于相应齐次方程为 y“+3y=0，其特征方程为 r 2+3r=0，特征根为 r 1=0，r 2=-3，自由项 f(x)=x2，相应于 pn(x)ex 中 =0 为单特征根，因此应设y*=x(Ax2+Bx+C)，故应选 D二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为极限的运算 若利用极限公式 * 可知* 如果利用无穷大量与无穷小量关系，直接推导，可得 *12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为导数的四则
10、运算 *13.设 sinx为 f(x)的原函数，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：cosx）解析：解析 本题考查的知识点为原函数的概念 由于 sinx为 f(x)的原函数，因此 f(x)=(sinx)=cosx14.(x-5) 4dx=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法 *15.已知平面 ：2x+y-3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系 由于平面 与直线 l垂直，则直线的方向向量 s必定
11、平行于平面的法向量 n，因此可以取 s=n=(2，1，-3)又知直线过原点由直线的标准式方程可知*为所求直线方程16.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析 本题考查的知识点为二元函数的偏导数解法 1 由于*，可知*解法 2 当 y=1时，z| y=1=x+x2，因此*17.设区域 D：x 2+y2a 2，x0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为二重积分的性质 *表示所给二重积分值等于积分区域 D面积的 3倍，区域 D是半径为 a的半圆，面积为*，因此*18.设 f(1)=2，则 （分数：4.00）填空项 1:_
12、 （正确答案：1）解析：解析 本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义 由于 f(1)=2，可知 *19.微分方程 y“-y=0的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1+C2ex）解析：解析 本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解特征方程为 r 2-r=0，特征根为 r 1=0，r 2=1，方程的通解为 y=C 1+C2ex20.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径注意此处幂级数为缺项情形*当*即 x22 时级数绝对收敛，可知*三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：
13、8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限22.设 求 （分数：8.00）_正确答案：(由于*， 因此*)解析：解析 本题考查的知识点为参数方程的求导运算 只需依公式*来确定23.计算tanxdx（分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点为定积分的换元积分法24.设 z=z(z，y)由方程 ez-xy+y+z=0确定，求 dz（分数：8.00）_正确答案：(解法 1 令 F(x，y，z)=e z-xy+y+z，则Fx=-y，F y=-x+1，F z=e2+1，*解法 2 利用微分运算dez-dxy+dy+dz=0ezdz-ydx-x
14、dy+dy+dz=0，*)解析：解析 本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分求二元隐函数的偏导数有两种方法：(1)利用隐函数偏导数公式：若 F(x，y，z)=0 确定 z=z(x，y)，F z0，则*(2)将所给方程两端直接对 x求偏导数，从所求表达式中解出*相仿，将所给方程两端直接对 y求偏导数，从所求表达式中解出*25.将 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点为将初等函数展开为 x的幂级数如果题目中没有限定展开方法，一律要利用间接展开法这要求考生记住几个标准展开式：*，ex，sinx，cosx，ln(1+x)对于 x的幂级数展开式26.在曲线 y=x2(
15、x0)上某点 A(a，a 2)处作切线，使该切线与曲线及 x轴所围成的图形的面积为（分数：10.00）_正确答案：(由于 y=x2，则 y=2x，曲线 y=x2上过点 A(a，a 2)的切线方程为y-a2=2a(x-a),即 y=2ax-a 2，曲线 y=x2，其过点 A(a，a 2)的切线及 x轴围成的平面图形的面积*由题设*，可得a=1因此 A点的坐标为(1，1)过 A点的切线方程为 y-1=2(x-1)或 y=2x-1)解析：解析 本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程 本题在利用定积分表示平面图形时，以 y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧27.求 y=xex的极值
16、及曲线的凹凸区间与拐点（分数：10.00）_正确答案：(y=xe x的定义域为(-，+)，y=(1+x)ex，y“=(2+x)ex令 y=0，得驻点 x1=-1令 y“=0，得 x2=-2*极小值点为 x=-1，极小值为 *；曲线的凹区间为(-2，+)；曲线的凸区间为(-，-2)；拐点为*)解析：解析 本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题28.设平面薄片的方程可以表示为 x2+y2R 2，x0，薄片上点(x，y)处的密度 （分数：10.00）_正确答案：(依题设*解法 1 利用对称性由于区域 D关于 x轴对称，*为 x的偶函数，记 D在 x轴上方的部分为 D1，则*解法 2 *)解析：解析 本题考查的知识点为二重积分的物理应用 若已知平面薄片 D，其密度为 f(x，y)，则所给平面薄片的质量 M可以由二重积分表示为 *
