1、四川省专升本高等数学真题(1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时， （分数：4.00）A.a 是比 2x 高阶的无穷小量B.a 是比 2x 低阶的无穷小量C.a 与 2x 是同阶的无穷小量，但不是等价无穷小量D.a 与 2x 是等价无穷小量2._ （分数：4.00）AeB.e-1C.-e-1D.-e3.设 y=lnx，则 y“=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 axb，f“(x)0，f“(x)0，则在区间(a，b)内曲线弧 y=f(x)的图形_（分数：4.00）A.沿 x 轴正向下降
2、且向上凹B.沿 x 轴正向下降且向下凹C.沿 x 轴正向上升且向上凹D.沿 x 轴正向上升且向下凹5.球心在(-1，2，-2)且与 xOy 平面相切的球面方程是_（分数：4.00）A.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=4B.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2C.x2+y2+z2=4D.x2+y2+z2=26._ （分数：4.00）A.-2B.-1C.0D.17.已知向量 a=i+j+k，则垂直于 a 且垂直于 y 轴的向量是_（分数：4.00）A.i-j+kB.i-j-kC.i+kD.i-k8.下列级数中，条件收敛的级数是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.
3、9.微分方程 y“+y=0 的通解为_（分数：4.00）A.C1cosx+C2sinxB.(C1+C2x)exC.(C1+C2x)e-xD.C1e-x+C2ex10.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是_（分数：4.00）A.AAT=ATAB.A*A=AA*C.(A2)n=(An)2D.(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设二元函数 z=ln(x+y 2 )，则 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.过点(1，-1，0)与直线 （分数：4.00）14. （分数：4.00）15.设 （分数：4.00）三、计算题(总题数：8，
4、分数：64.00)16.求 （分数：8.00）_17.设 y=y(x)由方程 y 2 -3xy+x 3 =1 确定，求 dy （分数：8.00）_18.已知平面过两点 M(3，-2，5)和 N(2，3，1)且平行于 z 轴，求此平面的方程 （分数：8.00）_19.求 （分数：8.00）_20.计算 （分数：8.00）_21.将 f(x)=cos 2 x 展开 x 的幂级数 （分数：8.00）_22.求 y“-2y“-3y=e x 的通解 （分数：8.00）_23.设线性方程组 （分数：8.00）_四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10
5、元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用是 400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 )(元)求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少? （分数：8.00）_25.过点 M(3，0)作曲线 y=ln(x-3)的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面图形 D试求平面图形 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：8.00）_五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.证明不等式： （分数：10.00）_四川省专升本高等数学真题(1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，
6、 （分数：4.00）A.a 是比 2x 高阶的无穷小量B.a 是比 2x 低阶的无穷小量C.a 与 2x 是同阶的无穷小量，但不是等价无穷小量 D.a 与 2x 是等价无穷小量解析：解析 2._ （分数：4.00）AeB.e-1 C.-e-1D.-e解析：解析 由于3.设 y=lnx，则 y“=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 y=lnx，4.设 axb，f“(x)0，f“(x)0，则在区间(a，b)内曲线弧 y=f(x)的图形_（分数：4.00）A.沿 x 轴正向下降且向上凹B.沿 x 轴正向下降且向下凹 C.沿 x 轴正向上升且向上凹D.沿 x 轴正向上升
7、且向下凹解析：解析 当 axb 时，f“(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下降由于在(a，b)内 f“(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下凹故选 B5.球心在(-1，2，-2)且与 xOy 平面相切的球面方程是_（分数：4.00）A.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=4 B.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2C.x2+y2+z2=4D.x2+y2+z2=2解析：解析 已知球心为(-1，2，-2)，则代入球面标准方程为(x+1) 2 +(y-2) 2 +(z+2) 2 =r 2 又与xOy 平面相切，则 r=2故选 A6._ （分数：4.00）A.-
8、2B.-1C.0 D.1解析：解析 因为被积函数 是奇函数，所以在对称区间内7.已知向量 a=i+j+k，则垂直于 a 且垂直于 y 轴的向量是_（分数：4.00）A.i-j+kB.i-j-kC.i+kD.i-k 解析：解析 根据题意知 a=(1，1，1)，设所求向量为(x，y，z)，则8.下列级数中，条件收敛的级数是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 A 中所给级数 ，由于 ，可知 ，因此 发散，应排除 A；对于B 中所给级数 ，由于 ，可知 ，因此 发散，应排除 B；对于 D 中所给级数 ，考虑 为 p=2 的 p 级数，可知其为收敛级数，从而知 为绝
9、对收敛，应排除 D；对于 C中所给级数 ，由于 的 p 级数，可知其发散但是，注意到 为交错级数，且 ， ，由莱布尼茨判别法可知 9.微分方程 y“+y=0 的通解为_（分数：4.00）A.C1cosx+C2sinx B.(C1+C2x)exC.(C1+C2x)e-xD.C1e-x+C2ex解析：解析 由题意得微分方程的特征方程为 r 2 +1=0，故 r=i 为共轭复根，于是通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx10.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是_（分数：4.00）A.AAT=ATA B.A*A=AA*C.(A2)n=(An)2D.(E+A)(E-A)=(E-A)(E+
10、A)解析：解析 因为 A 是 n 阶矩阵，所以 二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设二元函数 z=ln(x+y 2 )，则 （分数：4.00）解析：dx 解析 由于 函数 z=ln(x+y 2 )的定义域为 x+y 2 0在 z 的定义域内 为连续函数，因此 dz 存在，且 又由于 故 12. （分数：4.00）解析：解析 13.过点(1，-1，0)与直线 （分数：4.00）解析：x-2y+3z-3=0(或(x-1)-2(y+1)+3z=0)解析 直线垂直于平面 ， 的法向量即为直线的方向向量，即 n=s=(1，-2，3)，且点(1，-1，0)在平面 上，(x-1)-2(y+1)
11、+3z=014. （分数：4.00）解析：解析 令 ，则 ，当 x=-1 时，u=3，当 x=1 时，u=1，则原式15.设 （分数：4.00）解析： 解析 由 AX+E=A 2 +X (A-E)X=A 2 -E， ，则 ，显然 A-E 可逆，所以(A-E) -1 (A-E)X=X-(A-E) -1 (A 2 -E)=(A-E) -1 (A-E)(A+E)=A+E，所以 三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 17.设 y=y(x)由方程 y 2 -3xy+x 3 =1 确定，求 dy （分数：8.00）_正确答案：()解析：解法一 将方
12、程两端关于 x 求导，可得 2yy“-3(y+xy“)+3x 2 =0， 可解得 ，因此 解法二 将方程两端求微分 2ydy-3(ydx+xdy)+3x 2 dx=0， 18.已知平面过两点 M(3，-2，5)和 N(2，3，1)且平行于 z 轴，求此平面的方程 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 因为平面平行于 z 轴，故设所求平面方程为 Ax+By+D=0又过两点 M，N，将其坐标分别代入方程得 解得 ，再代入方程得 19.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 20.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 21.将 f(x)=cos 2 x 展开 x 的幂级数
13、（分数：8.00）_正确答案：()解析：解 解析 我们已知 cosx 的展开式，所以首先将 f(x)化成22.求 y“-2y“-3y=e x 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 其对应的齐次线性微分方程的特征方程为 r 2 -2r-3=0，特征根为 r 1 =-1，r 2 =3，相应齐次方程的通解为 设方程的特解为 y * =Ae x ，代入 y“-2y“-3y=e x ， 得 ，原方程的特解 所以原方程的通解为 (其中 C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 求解二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=f(x)的一般步骤：
14、(1)先求出与其相对应的齐次线性微分方程的通解 23.设线性方程组 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得 所以 =0 或 =-3 时，方程组无解；0 且-3 时，方程组有唯一解，其解为四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用是 400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 )(元)求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少? （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设 L(x，y)表示产品甲与乙分别生产 x 与 y 单位时
15、所得的总利润，因为总利润等于总收入减去总费用，所以 L(x，y)=(10x+9y)-400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 ) =8x+6y-0.01(3x 2 +xy+3y 2 )-400， L x (x，y)=8-0.01(6x+y)=0， L y (x，y)=6-0.01(x+6y)=0， 得驻点(120，80) 因为 A=L xx =0.060，B=L xy =-0.01，C=L yy =-0.06， 所以 B 2 -AC=(-0.01) 2 -(-0.06) 2 =-3.510 -3 0， 故 x=120，y=80，L(120，80)=320 是极大值 所以生产 1
16、20 单位产品甲与 80 单位产品乙所得利润最大 解析 解本题的关键是掌握二元函数的无条件极值，根据题意写出总利润函数 L(x，y)，然后利用求二元函数 z=L(x，y)最值法求解即可25.过点 M(3，0)作曲线 y=ln(x-3)的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面图形 D试求平面图形 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设切线与曲线的切点为 M 0 (x 0 ，ln(x 0 -3)(如图所示)， 由于 所以切线方程为 因为切线经过点 M(3，0)，所以将 M(3，0)代入上式得 x 0 =e+3，从而切线方程为 于是，所求旋转的体积为 解析 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)(假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 x 轴后所成的旋转体的体积公式为： 五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.证明不等式： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 f(x)=lnx，因为，nm，m，n 为正整数，所以根据拉格朗日中值定理，易知 f(x)在区间n,m上，至少存在一点 (n，m)，使得 又因为 0nm，故 ，从而有 整理得
