1、四川省专升本高等数学真题(2)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，用 o(x)表示比 x 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是_（分数：4.00）A.xo(x2)=o(x3)B.o(x)o(x2)=o(x3)C.o(x2)+o(x2)=o(x2)D.o(x)+o(x2)=o(x2)2.设 f(0)=0，且 f“(0)存在， _ Af“(0) B2f“(0) Cf(0) D （分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 y=xe -x 在-1，2上的最大值或最小值正确的是_（分数：4.00）A.最大值为 e-1B.
2、最小值为 e-1C.最小值为 0D.最小值为 2e-14. _ A-sin 2 x+C B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设直线 （分数：4.00）A.L 与 垂直B.L 与 相交但不垂直C.L 在 上D.L 与 平行但 L 不在 上6.设 ，则 （分数：4.00）A.1B.-1C.0D.27. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.幂级数 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.49.微分方程 y“=6 有特解 y=_（分数：4.00）A.6xB.3xC.2xDx10.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则下述结论中不正确的是_（分数：4.00）A.(A+B
3、)-1=A-1+B-1B.(AB)T-1=(A-1)T(B-1)TC.(Ak)-1=(A-1)(k 为正整数)D.|(kA)-1|=k-n|A|-1(k 为任意非零常数)二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.函数 （分数：4.00）12.函数 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.设 D=(x，y)|0x1，0y1，则 （分数：4.00）15.设 （分数：4.00）三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.求 （分数：8.00）_17.求 （分数：8.00）_18.已知直线 （分数：8.00）_19.设函数 y=ln(x 2 +1)，求 dy （分数：8.00）_2
4、0.计算曲线积分 （分数：8.00）_21.求微分方程 y“-2y“+y=e -x 的通解 （分数：8.00）_22.将 （分数：8.00）_23.讨论线性方程组 （分数：8.00）_四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大? （分数：8.00）_25.求幂级数 的收敛区间及和函数，并求级数 （分数：8.00）_五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.设函数 ，其中 f(t)在1，上连续，求 F“(x)，并证明在(1，)内至少存在一点 ，使得 （分数：10.00）_四川省
5、专升本高等数学真题(2)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，用 o(x)表示比 x 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是_（分数：4.00）A.xo(x2)=o(x3)B.o(x)o(x2)=o(x3)C.o(x2)+o(x2)=o(x2)D.o(x)+o(x2)=o(x2) 解析：解析 由高阶无穷小量的定义可知 A，B，C 都是正确的，对于 D 可找出反例，例如当 x0 时 f(x)=x 2 -x 3 =o(x)，g(x)=x 3 =o(x 2 )，但 f(x)+g(x)=x 2 =o(x)，故应该选 D2.设
6、 f(0)=0，且 f“(0)存在， _ Af“(0) B2f“(0) Cf(0) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 此极限属于“ ”型，可用洛必达法则，即3.函数 y=xe -x 在-1，2上的最大值或最小值正确的是_（分数：4.00）A.最大值为 e-1 B.最小值为 e-1C.最小值为 0D.最小值为 2e-1解析：解析 因为 y“=e -x -xe -x =e -x (1-x)，所以函数 y=xe -x 在-1，1上为增函数，在1，2上为减函数，故 y max =e -1 ，故选 A4. _ A-sin 2 x+C B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析
7、：解析 5.设直线 （分数：4.00）A.L 与 垂直B.L 与 相交但不垂直C.L 在 上D.L 与 平行但 L 不在 上 解析：解析 直线 L 的方向向量为 s=(1，-1，2)，平面 的法向量为 n=(1，-1，-1)，则 ns=0，且点(3，0，-2)在直线 L 上，但不在平面 上，故选 D6.设 ，则 （分数：4.00）A.1 B.-1C.0D.2解析：解析 则 7. _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 x=asint，则 dx=acostdt，当 x=0 时 t=0，当 x=a 时 ，故原式8.幂级数 （分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4
8、解析：解析 由于 中 a n =1，因此 可知收敛半径 9.微分方程 y“=6 有特解 y=_（分数：4.00）A.6x B.3xC.2xDx解析：解析 由于 ，则 dy=6dx， 10.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则下述结论中不正确的是_（分数：4.00）A.(A+B)-1=A-1+B-1 B.(AB)T-1=(A-1)T(B-1)TC.(Ak)-1=(A-1)(k 为正整数)D.|(kA)-1|=k-n|A|-1(k 为任意非零常数)解析：解析 假设(A+B) -1 =A -1 +B -1 ，则(A+B)(A+B) -1 =(A+B)(A -1 +B -1 )=E+AB -1 +BA
9、 -1 +E，故选 A二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.函数 （分数：4.00）解析：(1，2解析 由题意可得12.函数 （分数：4.00）解析：3解析 因为当 x3 时，f(x)，所以 x=3 是函数13. （分数：4.00）解析：解析 14.设 D=(x，y)|0x1，0y1，则 （分数：4.00）解析：解析 15.设 （分数：4.00）解析：4 解析 因为|A * |=|A| 3-1 =|A| 2 ，而 三、计算题(总题数：8，分数：64.00)16.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 解析 由于 e x -1x(x0)，故 17.求 （分数：8.00）_正确答
10、案：()解析：解 解析 利用凑微分法使得18.已知直线 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由题意可知，直线 l 的方向向量 s=(3，2，-1)必定平行于所求平面 的法向量 n，因此可取n=s=(3，2，-1)， 利用平面的点法式方程可得 3(x-2)+2(y-1)-z-(-5)=0， 即所求平面方程为 3(x-2)+2(y-1)-(z+5)=0 解析 通过直线的方向向量与平面法向量的关系，得到平面的法向量，利用点法式方程，即可得到平面方程19.设函数 y=ln(x 2 +1)，求 dy （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 解析 运用复合函数的求导法则，则20.计算曲线积分
11、（分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 P=2xy 3 -y 2 cosx，Q=2x-2ysinx+3x 2 y 2 ， 取 L 1 为 y=1 上从点(1，1)到(-1，1)的直线段，则由格林公式得 解析 如果函数 P(x，y)，Q(x，y)在闭区域 D 上具有连续偏导数，那么 21.求微分方程 y“-2y“+y=e -x 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 对应齐次线性微分方程的特征方程为 r 2 -2r+1=0 特征根为 r=1(二重根) 齐次方程的通解为 (C 1 ，C 2 为任意常数) 设原方程的特解为 y * =Ae -x ，代入原方程可得 因此 故原方程的
12、通解为 22.将 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 其收敛区间为(-，+) 解析 利用 23.讨论线性方程组 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设该线性方程组所对应的系数矩阵为 A，该线性方程组所对应的增广矩阵为 B，则 (1)1 日 0 时，有 r(A)=r(B)=3，方程组有唯一解； (2)=1 时，增广矩阵 B 化为 此时 r(A)=r(B)=23，方程有无穷多解； (3)=0 时，增广矩阵 B 化为 四、应用题(总题数：2，分数：16.00)24.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大? （分数：
13、8.00）_正确答案：()解析：解 设小屋的宽为 xm，则小屋长为(20-2x)m，于是小屋面积为 S=(20-2x)x=20x-2x 2 (0x10) 因为 S“=20-4x， 所以令 S“=0，得 x=5(唯一驻点)， 所以当小屋宽为 5m，长为 10m 时小屋的面积最大 解析 设出小屋的宽，并利用已知条件表示出小屋的面积，然后用求一元函数最值法求解即可25.求幂级数 的收敛区间及和函数，并求级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 R=1，幂级数的收敛区间为(-1，1) 设 ，则由 得 令 x=1，得 解析 由 得到 R=1，并利用 五、证明题(总题数：1，分数：10.00)26.设函数 ，其中 f(t)在1，上连续，求 F“(x)，并证明在(1，)内至少存在一点 ，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 已知 因为 F(x)在1，上连续，在(1，)内可导，且 F(1)=F()=0， 由罗尔中值定理知，在(1，)内至少有一点 ，使 F“()=0， 即 解析 由积分性质可得 则
