1、四川省专升本（高等数学）-试卷 11 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.变量 f(x)= （分数：2.00）A.x0B.x1C.x1D.x23.若 （分数：2.00）A.1B.3C.D.任意实数4.函数 y=x 3 +12x+1 在定义域内 ( )（分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.图形是凹的D.图形是凸的5.下列关系正确的是 ( )（分数：2.00）A.df(x)dx=f(x)B.df(x)dx=df(x)C.df(x)dx=f(x)dxD
2、.df(x)dx=f(x)+C6.设 z=z(x，y)是方程 x=ln 确定的隐函数，则 （分数：2.00）A.1B.e xC.ye xD.y7.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 a 2 ，a0，y0，将二重积分 （分数：2.00）A.B.C.D.8.定积分 （分数：2.00）A.B.e 3 一 1C.(e 一 1)D.一 19.设幂级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定10.方程(1 一 x 2 )yxy=0 的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=CB.y=C.y=C.xD.y= 11.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+
3、2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.ab 且 a+2b0二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设函数 f(x)的定义域是1，2，则函数 f(1+lnx)的定义域为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 x y =x 2 y 在(1，1)点的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 z=(lny+ye x ) cosx (y1)，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推
4、理、演算步骤。（分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.求由方程 siny+xe y =0 确定的曲线在点(0，)处的切线方程（分数：2.00）_21.计算sin(ax)一 （分数：2.00）_22.求幂级数 （分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.求微分方程 （分数：2.00）_25.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.如图，工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km，垂足为 B，铁路线上的 C 是距 B 处 100km 的原材料供应站，现要在 BC 之间的 D 处向工厂
5、A 修一条公路，使得从材料供应站 C 经 D 到工厂 A 所需要的运费最省，问 D应选在何处(已知 1km 的铁路运费与公路运费之比是 3：5)? （分数：2.00）_27.设平面 x=1，x=1，y=1 和 y=1 围成的柱体被坐标平面 z=0 和平面 x+y+z=3 所截，求截下部分立体图形的体积（分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明不等式： （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 11 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：
6、2.00）_解析：2.变量 f(x)= （分数：2.00）A.x0B.x1C.x1 D.x2解析：解析：因为 f(x)=3.若 （分数：2.00）A.1B.3C. D.任意实数解析：解析： =kf(x 0 )= f(x 0 )， k= 4.函数 y=x 3 +12x+1 在定义域内 ( )（分数：2.00）A.单调增加 B.单调减少C.图形是凹的D.图形是凸的解析：解析：函数的定义域为(，+) 因为 y=3x 2 +120， 所以 y 单调增加，x(，+) 又 y=6x， 当 x0 时，y0，曲线是凹的；当 x0 时，y0，曲线是凸的5.下列关系正确的是 ( )（分数：2.00）A.df(x)
7、dx=f(x)B.df(x)dx=df(x)C.df(x)dx=f(x)dx D.df(x)dx=f(x)+C解析：解析：本题考查的知识点为不定积分的性质由不定积分的性质可知 df(x)dx=f(x)dx，故选 C6.设 z=z(x，y)是方程 x=ln 确定的隐函数，则 （分数：2.00）A.1B.e xC.ye x D.y解析：解析：该函数可显化为 z=ye x ， 故 7.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 a 2 ，a0，y0，将二重积分 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的累次积分由于在极坐标系下积分区域 D可以表示为 0，
8、0ra 因此8.定积分 （分数：2.00）A. B.e 3 一 1C.(e 一 1)D.一 1解析：解析：9.设幂级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不能确定解析：解析： a n x n 在 x=2 处收敛，故幂级数的收敛半径 R2，收敛区间 (一 2，2)，而一 1(一 2，2) (一 R，R)，故 10.方程(1 一 x 2 )yxy=0 的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=CB.y=C.y=C.x D.y= 解析：解析：分离变量11.设 3 阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=
9、0 D.ab 且 a+2b0解析：解析：利用 A 的伴随矩阵的秩与 A 的秩之间的关系解本题记 A 的伴随矩阵为 A * ， 则有 所以当 r(A * )=1 时，r(A)=2于是 A= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设函数 f(x)的定义域是1，2，则函数 f(1+lnx)的定义域为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，e）解析：解析：函数 f(x)的定义域是1，2，11+lnx2，即 0lnx1，函数 f(1+lnx)的定义域为1，e13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：函数 f(x)在 x
10、 0 处存在极限但不连续的条件是 f(x 0 0)=f(x 0 +0)f(x 0 ) 由于 14.曲线 x y =x 2 y 在(1，1)点的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2 一 x）解析：解析：方程 x y =x 2 y， 两边取对数 ylnx=2lnx+lny 两边对 x 求导 ylnx+ 15.设 z=(lny+ye x ) cosx (y1)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosx.(lny+ye x ) cosx1 .( ）解析：解析： =cosx.(lny+ye x ) cosx1 . (lny+ye x )
11、=cosx.(lny+ye x ) cosx1 .( 16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：先求出 A 3 ，然后计算它的秩因为 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：由于是“19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：此题中 u=ln(2x+1)，dv=dx，可以直接用分部积分公式积分20.求由方程 siny+xe y =0 确定的曲线在点(0，)处的切线方程（分数：2.00
12、）_正确答案：(正确答案：方程两边对 x 求导得 cosy.y+e y +xe y .y=0， 得 所以 )解析：解析：本题主要考查如何求切线方程已知切线过定点，只需求出函数在该点的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程21.计算sin(ax)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：虽有字母 a，b，但只有 x 才是积分变量，将 a，b 看做常数，采用凑微分法即可22.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该幂级数的收敛半径为 由x 一 12，得一 1x3， 当 x=3 时，原级数为 发散；当 x=1 时，原级数为 )解析：解析：幂级数常通过
13、23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先沿 y 方向积分，区域 D 可表示成： 则 )解析：解析：解本题的主要思想是画出积分区域，将重积分化为我们学过的累次积分，注意根据积分区域灵活选用先对 x，后对 y 或先对 y，后对 x 的累次积分24.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该微分方程所对应的齐次方程为 分离变量得 lny=lnx+C 1 =lnCx， y=0 的通解为 y=Cx， 设原方程所对应的通解为 y=C(x)x， y=C(x)x+C(x)， 代入原方程得 C(x)x+C(x)一 )解析：解析：本题先解对应的齐次方程，然后将所得通解中的 C
14、 换成 C(x)，代入非齐次方程确定 C(x)进而求得所求通解25.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数行列式 =( 一 1) 3 (+1)， 当 一 1 且 1 时方程组只有零解； 当 =1 时有无穷多解，通解为 (kR)； 当 =1 时有无穷多解，通解为 )解析：解析：本题通过分类讨论方程组的系数行列式 D=0 或 D0 来判定解的情况四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.如图，工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km，垂足为 B，铁路线上的 C 是距 B 处 100km 的原材料供应站，现要在 BC 之间的 D 处向工厂 A 修一条公路，使得从
15、材料供应站 C 经 D 到工厂 A 所需要的运费最省，问 D应选在何处(已知 1km 的铁路运费与公路运费之比是 3：5)? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，设 BD=x，铁路的运费为 3a 元km，总运费为 y 元 根据题意有y=5a +3a(100 一 x)(0x100)， y=5a )解析：解析：本题主要考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法，解题关键是正确列出函数的关系式，再求其极值27.设平面 x=1，x=1，y=1 和 y=1 围成的柱体被坐标平面 z=0 和平面 x+y+z=3 所截，求截下部分立体图形的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于所截得的形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为 z=3xy，而其底为 因此，由二重积分的几何应用可得 )解析：解析：本题考查二重积分的计算，化二重积分为累次积分即可求解五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 f(x)=ln(1+x)一 则 f(0)=0， f(x)= 0(x0)，即 f(x)在(0，+)上单调递增，所以当 x0 时，恒有 ln(1+x) 由定积分性质有 ln(1+x)dx )解析：解析：本题考查定积分的性质通过构造函数 f(x)=ln(1+x)一 ，证明 x0 时，ln(1+x)
