1、2016年宁夏石嘴山市平罗中学高考一模试卷数学理 一、选择题 (本大题共 12小题，每题 5分，共 60 分 .每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ) 1.设全集 U=R， A=x N|-1 x 10， B=x R|x2-x-6=0，则图中阴影部分表示的集合为( ) A.3 B.2 C.3， 2 D.-2， 3 解析：图中阴影部分表示的集合是 A B， 全集 U=R， A=x N|-1 x 10， B=x R|x2-x-6=0=-2， 3， A B=3. 答案： A. 2.复数 21 ii的共轭复数在复平面上对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、解析： 212 1 31 1 1 2iiiii i i =1322i， 复数 21 ii的共轭复数是 1322i，位于第一象限 . 答案 ： A. 3.向量 a (3， -4)， |b | 2，若 5ab ，则向量 ,ab的夹角为 ( ) A.60 B.30 C.135 D.120 解析 ： 52ab ， ； 1 0 5a b c o s a b , ； 12co s a b ， ； 向量 ,ab的夹角为 120 . 答案： D. 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( ) A.1920B.2021C.2122D.2223解析：该程序框图的作用是求 1 1 1 11 2 2 3 3 4
3、 2 1 2 2 的值， 而 1 1 1 12 2 31 1 1 1 1 1 1 2 111 2 2 3 3 4 2 1 2 2 4 2 1 2 2 2 23 . 答案 ： C. 5.函数 f(x)=lnx+x3-9 的零点所在的区间为 ( ) A.(0， 1) B.(1， 2) C.(2， 3) D.(3， 4) 解析：由于函数 f(x)=lnx+x3-9在 (0， + )上是增函数， f(2)=ln2-1 0， f(3)=ln3 0，故函数 f(x)=lnx+x3-9在区间 (2， 3)上有唯一的零点 . 答案： C. 6.函数 f(x)=Asin( x+ )(A 0， 0， 0 )的图象
4、如图所示，为了得到 g(x)=Asin x的图象，可将 f(x)的图象 ( ) A.向右平移12个单位 B.向右平移6个单位 C.向左平移12个单位 D.向左平移6个单位 解析：根据函数 f(x)=Asin( x+?)(A 0， 0， 0 ? )的图象， 可得 A=1， 1 2 74 1 2 3 ，求得 =2. 再根据五点法作图可得， 23 ，求得3. 故 ( 23 )f x s in x ，故把 f(x)的图象向右平移6个单位，可得 g(x)=sin2x的图象 . 答案： B. 7.若直线 ax-by+2=0(a 0， b 0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4，则 11
5、ab的最小值为 ( ) A.14B. 2 C.3 22D.3 222解析：圆 x2+y2+2x-4y+1=0 即 (x+1)2+(y-2)2=4，表示以 M(-1， 2)为圆心，以 2为半径的圆， 由题意可得 圆心在直线 ax-by+2=0(a 0， b 0)上，故 -a-2b+2=0， 即 a+2b=2， 3 3 1 3 222211 22 1222 22a b a bbaa b a b a b ， 当且仅当2baab时，等号成立 . 答案： C. 8.设双曲线 221xyab (a 0， b 0)的渐近线与抛物线 y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于 ( ) A. 3 B.2 C. 5
6、 D. 6 解析：由题双曲线 221xyab (a 0， b 0)的一条渐近线方程为 bxya， 代入抛物线方程整理得 ax2-bx+a=0， 因渐近线与抛物线相切，所以 b2-4a2=0， 即 22 55c a e . 答案： C. 9.下列四种说法中，正确的个数有 ( ) 命题 x R 均有 x2-3x-2 0的否定是： x0 R，使得 x02-3x0-2 0； “命题 P Q为真”是“命题 P Q为真”的必要不充分条件； m R，使 2 2mmf x m x 是幂函数，且在 (0， + )上是单调递增； 在线性回归分析中，相关系数 r的值越大，变量间的相关性越强 . A.3个 B.2个
7、C.1个 D.0个 解析：根据含有量词的命题的否定进行判断，命题 x R均有 x2-3x-2 0的否定是： x0 R，使得 x02-3x0-2 0；故错误； 根据充分条件和必要条件的定义进行判断，若 P Q为真命题，则命题 P， Q 都为真命题， P Q为真命题；满足必要性； 若 P Q为真命题，则命题 P， Q至少一个为真命题， P Q不一定为真命题，不满足充分性 . “命题 P Q为真”是“命题 P Q为真”的必要不充分条件；故正确； 根据幂函数的定义和性质进行判断，若 2 2mmf x m x 是幂函数，则 m=1，此时 f(x)=x3，满足在 (0， + )上是单调递增；故正确； 根据
8、线性相关系数 r 的绝对值越接近 1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故错误 . 故正确的是 ，有 2 个 . 答案： B 10.已知不等式组 2 4 0300xyxyy 构成平面区域 (其中 x， y是变量 )，若目标函数 z=ax+6y(a 0)的最小值为 -6，则实数 a的值为 ( ) A.32B.6 C.3 D.12解析：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=ax+6y(a 0)得66azyx ， 则直线斜率 06a ， 平移直线66azyx ， 由图象知当直线66azyx 经过点 A时，直线的截距最小，此时 z最小，为 -6， 由 2 4 00xyy得 20xy，
9、 即 A(-2， 0)， 此时 -2a+0=-6， 解得 a=3. 答案 ： C 11.设 k是一个正整数， 41 xk的展开式中 x3的系数为 116，记函数 y=x2与 y=kx的图象所围成的阴影部分为 S，任取 x 0， 4， y 0， 16，则点 (x， y)恰好落在阴影区域 S 内的概率是 ( ) A.23B.13C.16D.25解析：由二项式定理可知根据题意得 3341116C k ， 解得 k=4； 解方程组 24yxyk解得两个交点 (0， 0)， (16， 4)， 阴影部分的面积为 4 2 2 3 400 321 3342S x x d x x x 丨， 由几何概型可知点 (
10、x， y)恰好落在阴影区域的概率为 3236164P . 答案： C. 12.已知定义域为 x|x 0的偶函数 f(x)，其导函数为 f (x)，对任意正实数 x 满足 xf(x) -2f(x)，若 g(x)=x2f(x)，则不等式 g(x) g(1-x)的解集是 ( ) A.(12， + ) B.(-， 12) C.(-， 0) (0， 12) D.(0， 12) 解析： f(x)是定义域为 x|x 0的偶函数， f(-x)=f(x). 对任意正实数 x满足 xf (x) -2f(x)， xf (x)+2f(x) 0， g(x)=x2f(x)， g (x)=2xf(x)+x2f (x) 0.
11、 函数 g(x)在 (0， + )上单调递增， g(x)在 (-， 0)递减； 由不等式 g(x) g(1-x)， 0101xxxx 或 0101xxxx ， 解得： 0 x 12，或 x 0 不等式 g(x) g(1-x)的解集为： x|0 x 12或 x 0，即 (-， 0) (0， 12). 答案： C. 二 .填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分，请将答案填在答题卡的相应位置 .) 13.数列 an满足 Sn 3n+2n+1，则 a4= . 解析 ：由 Sn 3n+2n+1，得 a4 S4-S3 (34+2 4+1)-(33+2 3+1)=56. 答案 ： 56. 1
12、4.已知函数 2 0()3 ()0xlo g x xfxx ，则 14ff的值是 . 解析：先求 14f， 14 0，故代入 x 0时的解析式，211 244f lo g ， 2112349f f f . 答案： 1915.在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC的顶点 B、 C恰好是双曲线 M： 2219 16xy 的左右焦点，且顶点 A在双曲线 M的右支上，则 sinC sinBsinA . 解析：如图所示： 由双曲线的方程得 a2=9， b2=16， c2=9+16=25， 即 a=3， c=5， 则 BC=2c=10， 顶点 A在双曲线 M的右支上， AB-AC=2a=6， 由正弦定理
13、得 2 6 32 1 0 5s i n C s i n B A B A C as i n A B C c . 答案： 35 16.网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为 . 解析 ：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形， 可得该几何体是有一个侧面 PAC垂直于底面，高为 3 ，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图 . 则这个几何体的外接球的球心 O在高线 PD 上，且是等边三角形 PAC的中心， 这个几何体的外接球的半径 2 2 333R P D. 则这个几何体的外接球的表面积为 22
14、1644 2333SR . 答案 ： 163. 三 .解答题 (本大题共 5 小题，共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17.在数列 an中， a1 1， an+1 2an+1 (n N+). ( )证明数列 an+1成等比数列，并求 an的通项公式 . 解析： ( )通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2(an+1)，进而可知数列 an+1是首项、公比均为 1的等比数列，计算即得结论 . 答案： ( ) an+1 2an+1， an+1+1=2(an+1)， 又 a1+1=1+1=2， 数列 an+1是首项、公比均为 1 的等比数列， an+1=2n，
15、 an=2n-1. ( )令 bn=(2n+1)(an+1)，求数列 bn的前 n项和 Sn. 解析： ( )通过 (I)可知 bn=(2n+1) 2n，利用错位相减法计算即得结论 . 答案： ( )由 (I)可知 bn=(2n+1)(an+1)=(2n+1) 2n， 则 Sn=3 21+5 22+ +(2n+1) 2n， 2Sn=3 22+5 23+ +(2n+1) 2n+1， 两式相减得： Sn-2Sn=3 21+2(22+23+ +2n)-(2n+1) 2n+1 111123 2 2 4 2 1 212nnn （ ） =-2-(2n-1) 2n+1， Sn=2+(2n-1) 2n+1.
16、18.在一次考试中， 5名同学数学、物理成绩如表所示： ( )根据表中数据，求物理分 y对数学分 x的回归方程 . 解析： ( )由已知求出 x， y的平均数，从而求出物理分 y对数学分 x的回归方程 . 答案： ( )由已知得 8 9 9 1 9 3 9 5 9 7 935x ， 8 7 8 9 8 9 9 2 9 3 905y 5 2 22 22214 2 0 2 4 4 0iixx ， 5 1 4 3 2 1 0 1 2 2 4 3 3 0iii x x y y . 30 0.7540b ， 2 0 .2 5a y b x . 物理分 y对数学分 x 的回归方程为 0 .7 5 2 0
17、.2 5yx . ( )要从 4名数学成绩在 90 分以上的同学中选出 2名参加一项活动，以 X表示选中的同学中物理成绩高于 90 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X).( 附：回归方程y bx a 中， 121niiiniix x y ybxx ， a y bx ) 解析： ( )随机变量 X的所有可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X的分布列及数学期望 E(X). 答案： ( )随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 22241()60CPXC ， 112224)12(3CCPXC ， 22241()62CPXC . 故 X的分布
18、列为： 1 2 160 1 2 136EX . 19.正方形 ADEF与梯形 ABCD所在平面互相垂直， AD CD， AB CD， AB=AD=12CD=2，点 M在线段 EC 上且不与 E， C 重合 . ( )当点 M是 EC 中点时，求证： BM平面 ADEF. 解析： ( )三角形的中位线定理可得 MN DC， MN=12DC.再利用已知可得 MN BA 且 MN=BA，即可证明四边形 ABMN 是平行四边形 .再利用线面平行的判定定理即可证明 . 答案： ( )取 ED 的中点 N，连接 MN. 又点 M是 EC中点 . MN DC， MN=12DC. 而 AB DC， AB=12
19、DC. MN BA且 MN=BA， 四边形 ABMN是平行四边形 . BM AN. 而 BM 平面 ADEF， AN 平面 ADEF， BM平面 ADEF. ( )当平面 BDM与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 66时，求三棱锥 M-BDE 的体积 . 解析： ( )取 CD的中点 O，过点 O作 OP DM，连接 BP.可得四边形 ABOD是平行四边形，由于 AD DC，可得四边形 ABOD是矩形 .由于 BO CD，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在平面互相垂直， ED AD，可得 ED平面 ADCB，平面 CDE平面 ADCB.BO平面 CDE.于是 BP DM.即可得出 OPB
20、 是平面 BDM 与平面 ABF(即平面 ABF)所成锐二面角 .由于 cos OPB= 66，可得2 305BP .可得 55=OPs in M D C OD .而 2 =552 5s in E C D.而 DM=MC，同理DM=EM.M为 EC的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得 VM-BDE=VB-DEM=13S DEM AD. 答案： ( )取 CD 的中点 O，过点 O作 OP DM，连接 BP. AB CD， AB=12CD=2， 四边形 ABOD是平行四边形， AD DC， 四边形 ABOD是矩形 . BO CD. 正方形 ADEF与梯形 ABCD所在平面互相垂直， ED AD，
21、 ED平面 ADCB. 平面 CDE平面 ADCB. BO平面 CDE. BP DM. OPB是平面 BDM与平面 ABF(即平面 ABF)所成锐二面角 . cos OPB= 66， 306sin O P B. 306OBBP，解得 2 305BP. 552O P B P c o s O P B . 55=OPs in M D C OD. 而 2 =552 5s in E C D. DM=MC，同理 DM=EM. M为 EC的中点， S DEM 12S CDE 2， AD CD， AD DE，且 DE与 CD相交于 D AD平面 CDE. AB CD， 三棱锥 B-DME的高 =AD=2， V
22、M-BDE=VB-DEM=13S DEM AD=43. 20.椭圆 C： 221xyab(a b 0)的离心率为 12，其左焦点到点 P(2， 1)的距离为 10 . ( )求椭圆 C的标准方程 . 解析： ( )利用两点间的距离公式可得 c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出 a， b. 答案： ( )左焦点 (-c， 0)到点 P(2， 1)的距离为 10 ， 2 1021c ，解得 c=1. 又 12ce a ，解得 a=2， b2=a2-c2=3. 所求椭圆 C的方程为： 22143xy . ( )若直线 l： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A， B 两点 (A， B 不是左右顶
23、点 )，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点 .求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标 . 解析： ( )把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D，可得 kAD kBD=-1，即可得出 m与 k的关系，从而得出答案 . 答案： ( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 22143y kx mxy 得 (3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0， =64m2k2-16(3+4k2)(m2-3) 0，化为 3+4k2 m2. 12 2834mkxx k ， 212 24334mxxk. 22221 2 1 2 1
24、2 1 2 23434mky y k x m k x m k x x m k x x m k . 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2， 0)， kAD kBD=-1，12 122yyxx ， y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0， 2 2 22 2 23 4 4 3 16 403 4 3 4 3 4m k m mkk k k . 化为 7m2+16mk+4k2=0，解得 m1=-2k， m2 27k.，且满足 3+4k2-m2 0. 当 m=-2k时， l： y=k(x-2)，直线过定点 (2， 0)与已知矛盾； 当 m= 27k时， l： y=k(x-27)，直线过定点 (2
25、7， 0). 综上可知，直线 l过定点，定点坐标为 (27， 0). 21.己知函数 21112f x x l n x ( )求 f(x)的单调区间 . 解析： ( )先求函数的定义域，然后求导函数，令导数大于 0(小于 0)，从而求出函数的单调区间 . 答案： ( )函数定义域为 (-1， + )， 21112f x x l n x 21xxfxx， 由 f(x) 0及 x -1，得 x 0，由 f(x) 0及 x -1，得 -1 x 0. 则递增区间是 (0， + )，递减区间是 (-1， 0). ( )若 1 1 1xee ，时， f(x) m恒成立，求 m的取值范围 . 解析： ( )
26、由 ( )得 f(x)在 1 1 1xee ，的单调性，进一步求出 f(x)max，得到 m 的范围 . 答案： ( )由 2 01xxfxx ，得 x=0或 x=-2. 由 ( )知， f(x)在 1 10e ，上递减，在 0， e-1上递增 . 又211112f ee ， 21211f e e ， 221 12 112e e . 1 1 1xee ，时， 21 12m a xf x e . 2 112me时，不等式 f(x) m恒成立 . ( )若设函数 21122g x x x a，若 g(x)的图象与 f(x)的图象在区间 0， 2上有两个交点，求 a的取值范围 . 解析： ( )由
27、2 21 1 112 2 21x l n x x x a 得 2a=(1+x)-2ln(1+x)，构造函数，确定函数的值域，即可求得 a的取值范围 . 答案： ( )由 2 21 1 112 2 21x l n x x x a 得 2a=(1+x)-2ln(1+x) 令 h(x)=(1+x)-2ln(1+x)，则 11xhx x . h(x)在 0， 1上单调递减，在 1， 2上单调递增 h(0)=1， h(1)=2-2ln2， h(2)=3-2ln3，且 h(0) h(2) h(1) 当 2a (2-2ln2， 3-2ln3)，即 a (1-ln2， 32-ln3)时， g(x)的图象与 f
28、(x)的图象在区间0， 2上有两个交点 . 请考生在第 22、 23题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 .选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 x Oy 中，直线 l 的参数方程为523 222xtyt (t 为参数 ).在以原点 O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C的方程为 52 sin . ( )写出直线 l的普通方程和圆 C的直角坐标方程 . 解析： ( )先利用两方程相加，消去参数 t即可得到 l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cos =x， sin =y， 2=x2+y2，进行代换即得圆 C 的直角坐标
29、方程 . 答案： ( )由523 222xtyt 得直线 l的普通方程为 305xy . 又由 52 sin 得 2 52 sin ，化为直角坐标方程为 22 55xy . ( )若点 P坐标为 (3， 5 )，圆 C与直线 l交于 A， B两点，求 |PA|+|PB|的值 . 解析： ( )把直线 l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求 |PA|+|PB|的值 . 答案： ( )把直线 l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程， 得 223522tt ，即 2 3 4 02tt . 设 t1， t2是上述方程的两实数根， 所以123 2tt. 又直线 l过点 P(3， 5
30、)， A、 B两点对应的参数分别为 t1， t2， 所以 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32 . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|2x-1|+2， g(x)=-|x+2|+3. ( )解不等式： g(x) -2. 解析： ( )由 g(x)=-|x+2|+3， g(x) -2，知 |x+2| 5，由此能求出不等式 g(x) -2 的解集 . 答案： ( ) g(x)=-|x+2|+3， g(x) -2， |x+2| 5， -5 x+2 5， 解得 -7 x 3， 不等式 g(x) -2的解集为 x|-7 x 3. ( )当 x R时， f(x)-g(
31、x) m+2恒成立，求实数 m的取值范围 . 解析： ( )由 f(x)=|2x-1|+2， g(x)=-|x+2|+3，知 f(x)-g(x)=|2x-1|+|x+2|-1，设h(x)=|2x-1|+|x+2|-1，则 h(x) 32.由当 x R时， f(x)-g(x) m+2恒成立，知 m+2 32，由此能求出实数 m的取值范围 . 答案： ( ) f(x)=|2x-1|+2， g(x)=-|x+2|+3， f(x)-g(x)=|2x-1|+|x+2|-1， 设 h(x)=|2x-1|+|x+2|-1， 则3 2 22212123xxh x x xxx ，（ ） ， ， h(x) 32. 当 x R时， f(x)-g(x) m+2恒成立， m+2 32，解得 m 12， 所以，实数 m的取值范围是 1(2，.
