1、广东专插本（高等数学）-试卷 43 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.下列四组函数字 f()与 g()表示同一函数的是 ( )（分数：2.00）A.f()tan，g()B.f()ln 3 ，g()3lnC.f() ，g()D.f()ln( 2 1)，g()ln(1)ln(1)3.当 0 时， 3 sin 是 的 ( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷D.低阶无旁小4.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(
2、a)f(b)，则曲线 yf()在(a，b)内平行于 轴的切线 ( )（分数：2.00）A.仅有一条B.至少有一条C.有两条D.不存在5.定积分 （分数：2.00）A.0B.2C.D.6.级数 （分数：2.00）A.abB.abC.acD.ab二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知 0 时，无穷小 1cos 与 asin 2 等价，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_8.函数 yf()由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(，y) ，则 f(1， （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 y4y130
3、 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f() 作 f()的图形，并讨论当 3 时，f()的左右极限及 （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.求曲线 y （分数：2.00）_16.求不定积分ln( （分数：2.00）_17.过曲线 y 2 (0)上某点 A 作切线，若过点 A 作的切线，与曲线 y 2 及 轴围成的图形面积为 （分数：2.00）_18.计算二重积 （分数：2.00）_19.求微分方程 y2yy0 满足初始条件 y(0)4 和 y(0)2 的
4、特解（分数：2.00）_20.判断级数 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.设 1 是 f()的两个极值点，且 f(1)2，又知 f()3 2 ab，求函数f()（分数：2.00）_22.设 F() （分数：2.00）_广东专插本（高等数学）-试卷 43 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.下列四组函数字 f()与 g()表示同一函数的是 ( )（分数：2.00）A.f()tan，g()B.f()ln 3 ，g()3ln
5、C.f() ，g()D.f()ln( 2 1)，g()ln(1)ln(1)解析：解析：A、D 选项中，两函数的定义域不同；C 选项中，当 0 时，f()g()；B 选项中，f()ln 3 3lng()，定义域均为 0，故本题选 B3.当 0 时， 3 sin 是 的 ( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小 C.同阶但不等价无穷D.低阶无旁小解析：解析： 4.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)，则曲线 yf()在(a，b)内平行于 轴的切线 ( )（分数：2.00）A.仅有一条B.至少有一条 C.有两条D.不存在解析：解析：f()在a，b上连续，在(
6、a，b)内可导，且 f(a)f(b)，则 f()满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点 (a，b)，使 f()0，则 f()在(a，b)内至少有一条平行于 轴的切线，故选 B5.定积分 （分数：2.00）A.0B.2C. D.解析：解析：考察定积分在对称区间上积分的性质6.级数 （分数：2.00）A.abB.abC.acD.ab 解析：解析：根据等比级数的敛散性可知，当且仅当 1 时，级数二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知 0 时，无穷小 1cos 与 asin 2 等价，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 0 时，(1cos)
7、2 ，asin 2 a 2 ，由 1cos 与 asin 2 等价知 1， 于是 a 8.函数 yf()由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(，y) ，则 f(1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.微分方程 y4y130 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ye 2 (C 1 cos3C 2 sin3)）解析：解析：对应的特征方程为 r 2 4r130，解得 r23
8、i，故通解为 ye 2 (C 1 cos3C 2 sin3)，其中 C 1 ，C 2 为任意常数三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f() 作 f()的图形，并讨论当 3 时，f()的左右极限及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f()的图形如图，从几何图形上可判断出： (1) 3； (2)(21)7； 由(1)、(2)知， f()不存在 )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 y 的定义域为(0，1
9、)(1，)，因为 y ，y 所以 y0，得 e 2 曲线的凸凹性列表讨论如下： 所以，由上述讨论可知，曲线的凸区间为(0，1)与(e 2 ，)，凹区间为(1，e 2 )；拐点为(e 2 ， )解析：16.求不定积分ln( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.过曲线 y 2 (0)上某点 A 作切线，若过点 A 作的切线，与曲线 y 2 及 轴围成的图形面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，设 A 点坐标( 0 ， 0 2 )由 y2，得切线方程为 y 0 2 2 0 ( 0 )或 ，由已知得： 所以 0 1，A(1，1)，切线方程为2y10，切线 与 轴
10、交点为( ，0)于是 )解析：18.计算二重积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先沿 y 方向积分，区域 D 可表示成： 则 )解析：19.求微分方程 y2yy0 满足初始条件 y(0)4 和 y(0)2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 2r10，特征根为 r 1 r 2 1，因此所给方程的通解为 y(C 1 C 2 )e ， 求导，得 y(C 2 C 1 C 2 )e - 将初始条件代入上面两式，得 )解析：20.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 u n u n (n1，2，)， 而等比级数 是收敛的，由比较审敛法知级数
11、)解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.设 1 是 f()的两个极值点，且 f(1)2，又知 f()3 2 ab，求函数f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()3 2 ab，积分得 f()d(3 2 ab)d 3 2 bCf()， 1 是 f()的极值点，f(1)f(1)0， 即 )解析：22.设 F() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)画出 F()和 S 1 (t)的图形(如图) 则 S2 0 ede -2 0 1， S 1 (t)2te -2t ， 因此 S(t)SS 1 (t)12te -2t ，t(0，) (2)今S(t)2(12t)e -2t 0 得唯一驻点 t 又 0，所以 )解析：
