1、广东专插本（高等数学）-试卷 51 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.下列极限中正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 y2 cos ，则 y ( )（分数：2.00）A.2 cos ln2B.2 cos sinC.ln2.2 cos .sinD.2 cos-1 sin4.若f()d 2 C，则.f(1 2 )d ( )（分数：2.00）A.2(1 2 ) 2 CB.2(1 2 ) 2 CC. D.5.下列函数在给定区间满足罗尔定理
2、条件的有 ( )（分数：2.00）A.yB.ye ，1，1C.yD.yln 2 ，1，16.设有级数 a n ，S n a k ，则 S n 有界是级数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 f()(1)(2)(3)(4)，则 f(4) 1（分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 ye - 的拐点为 1（分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 y2yy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题
3、(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.求极限 （分数：2.00）_14.由方程 e y y 2 e 2 确定的函数为 yy()，求 （分数：2.00）_15.求函数 ye 在闭区间0，1上的曲边梯形绕 z 轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_16.求不定积分 （分数：2.00）_17.设 u 2 sin2ye y ，求全微分 du（分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.求微分方程 3y2y0 满足条件 y 0 0，y 0 （分数：2.00）_20.判定级数 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.
4、00)21.设函数 f()2arctan， (1)求函数 f()的单调区间和极值； (2)求曲线 yf()的凹凸区间和拐点（分数：2.00）_22.证明：方程 e （分数：2.00）_广东专插本（高等数学）-试卷 51 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.下列极限中正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为重要极限的结构形式为 e式中“口”可以是自变量 ，也可以是 的函数，而口0，表示当 0 ()时，必有口0，即口是当 0 (
5、)时为无穷小量且小括号内用“”相连时上式 3.设函数 y2 cos ，则 y ( )（分数：2.00）A.2 cos ln2B.2 cos sinC.ln2.2 cos .sin D.2 cos-1 sin解析：解析：y2 cos .ln2.(cos)ln2.2 cos .sin4.若f()d 2 C，则.f(1 2 )d ( )（分数：2.00）A.2(1 2 ) 2 CB.2(1 2 ) 2 CC. D.解析：解析：.f(1 2 )d f(1 2 )d(1 2 ) 5.下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有 ( )（分数：2.00）A.y B.ye ，1，1C.yD.yln 2 ，1，1解
6、析：解析：B 选项中 y(1)不等于 y(1)，C 选项中，y(1)不存在，y(1)y(1)，D 选项中函数在0 处不连续，A 选项中，函数在1，1连续，在(1，1)可导，y(1)y(1)，符合罗尔定理条件，故本题选 A6.设有级数 a n ，S n a k ，则 S n 有界是级数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件 C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件解析：解析：级数 a n 收敛 极限 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 f()(1)(2)(3)(4)，则 f(4) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4!）解析：解析：lnf()lnl
7、n(1)ln(2)ln(3)ln(4)，8.曲线 ye - 的拐点为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：ye e ，ye (e e )e 2e ， 令y0 得 2，即拐点为 9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：f() 为奇函数，且积分区间关于原点对称，则10.微分方程 y2yy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 e C 2 e ）解析：解析：微分方程的特征方程为 2 210，则特征方程有二重根 1，故微分方程的通解为 y(C 1 C 2 )e (C 1 ，C 2
8、为任意常数)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两边对 y 同时求导， ，解出三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 令 t ，则 原式 )解析：14.由方程 e y y 2 e 2 确定的函数为 yy()，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边同时对 求导，得 e y .yy 2 2yy0， 则 y ，由题设当 0 时，y2，故 )解析：15.求函数 ye 在闭区间0，1上的曲边梯形绕 z 轴旋转所得旋
9、转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，该曲边梯形绕 轴旋转所得旋转体的体积为 V 0 1 y 2 d 0 1 (e ) 2 d 0 1 e 2 d e 2 0 1 (e 2 1) )解析：16.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 u 2 sin2ye y ，求全微分 du（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2ye y ， 2cos2ye y 所以 du )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出区域 D 如图所示，由积分区域的对称性及被积函数关于 X 轴和 Y 轴都是偶函数，故有 2 ddy4 2 d
10、dy， 其中 D 1 为区域 D 在第一象限的部分，即 D 1 (，y)1 2 y 2 9，0，y0 利用极坐标变换，D 1 可表示为 00 ，1r3，故 因此， 2 ddy4 )解析：19.求微分方程 3y2y0 满足条件 y 0 0，y 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应的特征方程为 3r 2 2r0，解得 r0， ，故通解为 yC 1 C 2 ， 则 y 代入条件可得 解得 C 1 2，C 2 2 故特解为 y22 )解析：20.判定级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0，又 收敛，故由比较判别法知级数 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.
11、设函数 f()2arctan， (1)求函数 f()的单调区间和极值； (2)求曲线 yf()的凹凸区间和拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为函数 f()2arctan，则 f()1 ， 令 f()0，得驻点 1 当 1 时，f()0； 当11 时，f()0； 当 1 时，f0 故函数 f()在(，1)与(1，)上单调增加；函数 f()在(1，1)上单调减少 因此函数 f()在 1 处取得极大值 f(1) 1，在 1 处取得极小值 f(1)1 ； (2)因为 f() ，所以 f() )解析：22.证明：方程 e （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() ，显然 f()在0，1上连续 又 f(0) 0 由 ， 知 f(1) 0， 由零点定理知，f()在(0，1)内至少有一个零点，即方程 f()0至少有一实根 又 f()e 0(0)， f()在0，1上单调递增，即 f()在(0，1)内与 轴至多有一个交点 所以，由上述讨论知，在(0，1)内，方程 e )解析：
