1、河南省专升本考试高等数学模拟 6 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0x2B.x2C.x0D.x2 且 x02.f(x)=xsinx_（分数：2.00）A.在(-，+)内有界B.当 x时为无穷大C.在(-，+)内无界D.当 x时有极限3.设函数 则 ff(x)=_ A B Cx D （分数：2.00）A.B.C.D.4.极限 则 a 的值是_ A1 B C （分数：2.00）A.B.C.D.5.当 x0 时，若 则可确定 a 的值一定是_ A0 B1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.6
2、.极限 （分数：2.00）A.1B.-1C.0D.不存在7.对于函数 （分数：2.00）A.x=-1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点B.x=-1 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点C.x=-1 与 x=1 均是第一类间断点D.x=-1 与 x=1 均是第二类间断点8._ （分数：2.00）A.0B.1C.D.不存在9.设 f(1)=0，且极限 存在，则 _ A B （分数：2.00）A.B.C.D.10.已知曲线 f(x)=2arctanx 与 g(x)=lnx，当它们的切线相互平行时，自变量 x 的值应为_ A2 B （分数：2.00）A.B.C.D.11.设曲线 (t 为参数)
3、，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.12.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ Ay=x 2 -5x+6，2，3 B Cy=xe -x ，0，1 D （分数：2.00）A.B.C.D.13.函数 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.有极大值D.有极小值14.曲线 y=x 4 的拐点个数为_（分数：2.00）A.0B.1C.2D.无法确定15.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平渐近线又无垂直渐近线16.若f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2
4、+C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 （分数：2.00）A.-sinxB.sinxC.-1+cosxD.018.设 f(x)为连续函数，则 _ A0 B1 Cn D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 （分数：2.00）A.PQ1B.PQ1C.1PQD.1PQ20.由曲线 y=cos2x(x0)，x 轴，y 轴所围成的平面图形面积为_ A B1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.已知函数 f(x)满足 xf“(x)=f(x)，且 f(1)=e 2 ，则 f(-1)=_ A.e-2 B.-e2 C.e2 D.2（分数：2.
5、00）A.B.C.D.22.设函数 y=f(x)是微分方程 y“-2y“+4y=0 的解，且 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则 f(x)在点 x 0 处_（分数：2.00）A.有极大值B.有极小值C.在某邻域内单调增加D.在某邻域内单调减少23.设 a=1，1，-1，b=-1，-1，1，则有_ Aa/b Bab C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.下列曲面中，是旋转曲面的是_ A Bx 2 -y 2 =2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设函数 z=x 3 y+xy 3 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.26.若 f x (x，y)=2x-y-2，f
6、 y (x，y)=2y-x+1，f xx =2，f xy =-1，f yy =2，则点(1，0)是 f(x，y)的_（分数：2.00）A.极小值点B.极大值点C.非极值点D.非驻点27.设 D 是由 y=x，y=-x 和 所围成的区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.若 L 是 x 2 +y 2 =2 上从点(1，-1)到点(1，1)的一段弧，则 _ A B （分数：2.00）A.B.C.D.29.设级数 都收敛，则级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定30.若级数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个二、
7、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 y=3 x -1 的反函数是 1 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.函数 （分数：2.00）34.设函数 f(x)在 x=x 0 处可微，且 f“(x 0 )0，则当|x|很小时，f(x 0 +x) 1 （分数：2.00）35.若 （分数：2.00）36. （分数：2.00）37.当 x 2 +y 20 时， （分数：2.00）38.设积分区域 D 为 x 2 +y 2 4x，则 （分数：2.00）39.微分方程 sec 2 xtanydx+sec 2 ytanxdy=0 的通解为 1 （分数：2.00）40.幂级数 （分数：
8、2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.讨论 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.一直线经过点(2，-2，0)且与直线 （分数：5.00）_46.设 z=f(e x-y ，ytanx)，其中 f(u，v)是可微函数，求 dz （分数：5.00）_47.计算 （分数：5.00）_48.求微分方程 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.向宽为 a 米的河修建一宽为 b 米的运河，二者
9、直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少? （分数：7.00）_52.求抛物线 y=1-x 2 及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成图形的面积，并计算该图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=1，证明，在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()-2=0 成立 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 6 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0
10、x2B.x2C.x0D.x2 且 x0 解析：解析 要使函数有意义，必须满足2.f(x)=xsinx_（分数：2.00）A.在(-，+)内有界B.当 x时为无穷大C.在(-，+)内无界 D.当 x时有极限解析：解析 由于3.设函数 则 ff(x)=_ A B Cx D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 4.极限 则 a 的值是_ A1 B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 5.当 x0 时，若 则可确定 a 的值一定是_ A0 B1 C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 x0 时， 可得6.极限 （分数：2.00）A.1B.-1C.0D.不
11、存在 解析：解析 因为 所以7.对于函数 （分数：2.00）A.x=-1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点 B.x=-1 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点C.x=-1 与 x=1 均是第一类间断点D.x=-1 与 x=1 均是第二类间断点解析：解析 因为 8._ （分数：2.00）A.0 B.1C.D.不存在解析：解析 因为9.设 f(1)=0，且极限 存在，则 _ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 10.已知曲线 f(x)=2arctanx 与 g(x)=lnx，当它们的切线相互平行时，自变量 x 的值应为_ A2 B （分数：2.00）A.B.C. D.解
12、析：解析 令 f“(x)=g“(x)，可得11.设曲线 (t 为参数)，则 _ A B C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 12.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ Ay=x 2 -5x+6，2，3 B Cy=xe -x ，0，1 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 A 项，y=x 2 -5x+6 在2，3上连续且可导，y(2)=0=y(3)，满足罗尔定理条件，A 正确；B项， 在 x=1 处无定义，故在0，2上不连续，B 错误； C 项，y(0)=0y(1)=e -1 ，C 错误；D 项， 13.函数 （分数：2.00）A.单调增加 B.单调减少C.有
13、极大值D.有极小值解析：解析 14.曲线 y=x 4 的拐点个数为_（分数：2.00）A.0 B.1C.2D.无法确定解析：解析 y“=4x 3 ，y“=12x 2 ，令 y“=0，可得 x=0，当 x0 时，y“0，当 x0 时，y“0，故(0，0)不是拐点，曲线拐点的个数为 0，故应选 A15.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平渐近线又无垂直渐近线解析：解析 因为16.若f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2 +C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （分数：2.00
14、）A.B.C. D.解析：解析 17.设 （分数：2.00）A.-sinx B.sinxC.-1+cosxD.0解析：解析 18.设 f(x)为连续函数，则 _ A0 B1 Cn D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 19.设 （分数：2.00）A.PQ1B.PQ1C.1PQD.1PQ 解析：解析 利用 与 在 上连续，且满足 可得 由 QP 可知结论 A，C 不正确，由 20.由曲线 y=cos2x(x0)，x 轴，y 轴所围成的平面图形面积为_ A B1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 平面图形的面积21.已知函数 f(x)满足 xf“(x)=f(x)
15、，且 f(1)=e 2 ，则 f(-1)=_ A.e-2 B.-e2 C.e2 D.2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设知 22.设函数 y=f(x)是微分方程 y“-2y“+4y=0 的解，且 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则 f(x)在点 x 0 处_（分数：2.00）A.有极大值 B.有极小值C.在某邻域内单调增加D.在某邻域内单调减少解析：解析 把函数代入方程有 f“(x)-2f“(x)+4f(x)=0， 取 x=x 0 得 f“(x 0 )-2f“(x 0 )+4f(x 0 )=0. 所以 f“(x 0 )=-4f(x 0 )0，从而 f(x)在 x 0
16、 处取极大值故应选 A23.设 a=1，1，-1，b=-1，-1，1，则有_ Aa/b Bab C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为24.下列曲面中，是旋转曲面的是_ A Bx 2 -y 2 =2 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为只有选项 C 中有两个平方项的系数相等，根据旋转曲面方程的特点知25.设函数 z=x 3 y+xy 3 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 26.若 f x (x，y)=2x-y-2，f y (x，y)=2y-x+1，f xx =2，f xy =-1，f yy =2，则点(1，0)是 f(x，y)的
17、_（分数：2.00）A.极小值点 B.极大值点C.非极值点D.非驻点解析：解析 f x (1，0)=0，f y (1，0)=0，又 f xx f yy -(f xy ) 2 =4-10，f xx 0，故(1，0)是 f(x，y)的极小值点27.设 D 是由 y=x，y=-x 和 所围成的区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 区域 D 为： 于是 28.若 L 是 x 2 +y 2 =2 上从点(1，-1)到点(1，1)的一段弧，则 _ A B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 f(x，y)=xy，由于 f(x，y)是关于 y 的奇函数，
18、且 L 关于 x 轴对称，故 L xyds=0.29.设级数 都收敛，则级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解析 因为30.若级数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析 由二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 y=3 x -1 的反函数是 1 （分数：2.00）解析：y=log 3 (x+1) 解析 由 y=3 x -1，可得 x=log 3 (1+y)，交换 x，y 可得 y=log 3 (1+x)32. （分数：2.00）解析：cosa解析 33.函数 （分数：2.00）解析：2解析 由于 f(
19、x)连续，故34.设函数 f(x)在 x=x 0 处可微，且 f“(x 0 )0，则当|x|很小时，f(x 0 +x) 1 （分数：2.00）解析：f(x 0 )+f“(x 0 )x 解析 由微分的定义可知，f(x 0 +x)f(x 0 )+f“(x 0 )x35.若 （分数：2.00）解析：解析 36. （分数：2.00）解析：解析 37.当 x 2 +y 20 时， （分数：2.00）解析： 解析 因为 又 f(x，y)在(0，0)处连续，所以 38.设积分区域 D 为 x 2 +y 2 4x，则 （分数：2.00）解析：4 解析 由 x 2 +y 2 4x 得(x-2) 2 +y 2 4
20、， 可知积分区域是以 2 为半径的圆域，由二重积分的性质及几何意义可知其值为 439.微分方程 sec 2 xtanydx+sec 2 ytanxdy=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：tanxtany=C 解析 由 sec 2 xtanydx+sec 2 ytanxdy=0， 得 tanyd(tanx)+tanxd(tany)=0， 即 d(tanxtany)=0，所以 tanxtany=C(C 为任意常数)40.幂级数 （分数：2.00）解析：-1，1 解析 因为收敛半径 当 x=1 时级数为 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：
21、()解析：42.讨论 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 有界，则 所以 f(x)在 x=0 处是连续的 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 当 x=9 时 t=3；当 x=4 时，t=2. 45.一直线经过点(2，-2，0)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为所求直线与直线 平行， 故所求直线的方向向量为 s=2，-1，00，3，-2=2，4，6 又直线过点(2，-2，0)，故所求直线的方程为 46.设 z=f(e x-y ，ytanx)，其中 f(u，v)是可微函数，求 dz （分
22、数：5.00）_正确答案：()解析：令 u=e x-y ，v=ytanx，则 z=f(u，v)， 故 dz=f u (u，v)du+f v (u，v)dv =f u d(e x-y )+f v d(ytanx) =f u e x-y (dx-dy)+f v (ysec 2 xdx+tanxdy) =(e x-y f u +ysec 2 xf v )dx+(tanxf v -e x-y f u )dy47.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：画出积分区域如图所示，选定先对 x 积分后对 y 积分的次序 48.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程为一阶非齐次线性微分方
23、程， 所求的通解为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 x-2=t，原级数化为 所以 当 t=3 时，级数化为 发散； 当 t=-3 时，级数化为 50.求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 当 即 时，级数收敛； 时，级数发散； 时，原级数化为 发散，故收敛域为 令 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.向宽为 a 米的河修建一宽为 b 米的运河，二者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：如图可知船的长度不能超过 BC 的长度，设 BC 的长度为 l， 因为此问题中最大值一定存在， 为唯一驻点，所
24、以所求船长为 l=acsc+bsec，其中 52.求抛物线 y=1-x 2 及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成图形的面积，并计算该图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示，因 y“=-2x，所以 k=-2， 从而经过点(1，0)的切线方程为 y=-2x+2. (1)所求平面图形的面积为 (2)该图形绕 y 转旋转一周所成旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=1，证明，在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()-2=0 成立 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 设 F(x)=xf(x)-x 2 ， 因为 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 所以 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 又 f(1)=1， F(0)=0f(0)-0 2 =0，F(1)=1f(1)-1 2 =0， 即 F(0)=F(1)， 故在(0，1)内至少存在一点 使 F“()=0， 即 f()+f“()-2=0 成立
