1、河南省专升本考试高等数学真题 2006年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.已知 f(2x-1)的定义域为0，1，则 f(x)的定义域为_ A （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数3.当 x0 时，x 2 -sinx是 x的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小4.极限 （分数：2.00）A.B.2C.3D.55.设函数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.设函数 f(x)在点 x=1处可导，
2、则 （分数：2.00）A.f“(1)B.2f“(1)C.3f“(1)D.-f“(1)7.若曲线 y=x 2 +1上点 M处的切线与直线 y=4x+1平行，则点 M的坐标为_（分数：2.00）A.(2，5)B.(-2，5)C.(1，2)D.(-1，2)8. （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 y (n-2) =xlnx(n2，为正整数)，则 y (n) =_ A(x+n)lnx B C （分数：2.00）A.B.C.D.10. （分数：2.00）A.有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B.有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C.有两条水平渐近线，一条垂直渐近线D.有两条水平渐近线，两条垂直渐近线1
3、1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ Ay=|x-1|，0,2 B （分数：2.00）A.B.C.D.12.函数 y=e -x 在区间(-，+)内_（分数：2.00）A.单调递增且图像是凹的曲线B.单调递增且图像是凸的曲线C.单调递减且图像是凹的曲线D.单调递减且图像是凸的曲线13.若f(x)dx=F(x)+C，则e -x f(e -x )dx=_ A.e-x+F(e-x)+C B.F(e-x)+C C.e-x-F(e-x)+C D.-F(e-x)+C（分数：2.00）A.B.C.D.14.设 f(x)为可导函数，且 f“(2x-1)=e x ，则 f(x)=_ A B C D （分
4、数：2.00）A.B.C.D.15.导数 Aarcsinx B0 Carcsinb-arcsina D （分数：2.00）A.B.C.D.16.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设区域 D由 x=a，x=b(ba)，y=f(x)，y=g(x)所围成，则区域 D的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.若直线 （分数：2.00）A.2B.3C.4D.519.设 （分数：2.00）A.2B.1C.-1D.-220.设方程 e 2z -xyz=0确定了函数 z=f(x，y)，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.
5、21.设函数 （分数：2.00）A.dx+2dyB.dx-2dyC.2dx+dyD.2dx-dy22.二元函数 z=2xy-3x 2 -3y 2 +20在定义域内_（分数：2.00）A.有极大值，无极小值B.无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D.无极大值，无极小值23.设 D为圆周 x 2 +y 2 -2x-2y+1=0围成的闭区域，则 （分数：2.00）AB.2C.4D.1624.交换二次积分 (a0，常数)的积分次序后可化为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.若二重积分 则积分区域 D为_ Ax 2 +y 2 2x Bx 2 +y 2 2 Cx 2 +y 2
6、2y D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 L为直线 x+y=1上从点 A(1，0)到点 B(0，1)的直线段，则 L (x+y)dx-dy=_（分数：2.00）A.2B.1C.-1D.-227.下列级数中，绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设幂级数 (a n 为常数，n=0，1，2)在点 x=-2处收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定29.微分方程 sinxcosydy+cosxsinydx=0的通解为_（分数：2.00）A.sinxcosy=CB.cosxsiny=CC.sinxsiny=CD.co
7、sxcosy=C30.微分方程 y“+y“-2y=xe -x 的特解用待定系数法可设为_ A.y*=x(ax+b)e-x B.y*=x2(ax+b)e-x C.y*=(ax+b)e-x D.y*=axe-x（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31.设函数 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.设函数 y=arctan2x，则 dy= 1 （分数：2.00）34.设函数 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=-1处取得极小值-2，则常数 a和 b分别为 1 （分数：2.00）35.曲线 y=x 3 -3x 2 +2x-1的拐点为 1 （
8、分数：2.00）36.设函数 f(x)、g(x)均可微，且同为某函数的原函数，f(1)=3，g(1)=1，则 f(x)-g(x)= 1 （分数：2.00）37. （分数：2.00）38.设函数 （分数：2.00）39.向量 a=1，1，2与向量 b=2，-1，1的夹角为 1 （分数：2.00）40.曲线 （分数：2.00）41.设函数 （分数：2.00）42.设区域 D=(x，y)|0x1，-1y1，则 （分数：2.00）43.函数 f(x)=e -x2 在 x=0处展开的幂级数是 1 （分数：2.00）44.幂级数 （分数：2.00）45.通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x (
9、C 1 、C 2 为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46.计算 （分数：5.00）_47.求函数 y=(x 2 +3x) sin2x 的导数 （分数：5.00）_48.求不定积分 （分数：5.00）_49.计算定积分 （分数：5.00）_50.设 z=f(2x+y)+g(x，xy)，其中 f(t)，g(u，v)皆可微，求 （分数：5.00）_51.计算二重积分 （分数：5.00）_52.求幂级数 （分数：5.00）_53.求微分方程 x 2 dy+(2xy-x+1)dx=0的通解 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：
10、2，分数：14.00)54.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是 x、y(千件)，甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本 （分数：7.00）_55.由曲线 y=(x-1)(x-2)和 x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.设 f(x)在-a，a上连续(a0，为常数)，证明： 并计算： （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数
11、学真题 2006年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.已知 f(2x-1)的定义域为0，1，则 f(x)的定义域为_ A （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由函数 f(2x-1)的定义域为0，1，则知 0x1令 t=2x-1，则-12x-11，所以1t1，从而得到函数 f(x)的定义域为-1x12.函数 （分数：2.00）A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 令函数 则由题意可知函数 y=f(x)的定义域为(-，+)，又因 则函数 3.当 x0 时，x 2 -sinx是 x的_（分数：
12、2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析 由题意可得 4.极限 （分数：2.00）A.B.2 C.3D.5解析：解析 由于函数 sinn是有界函数，|sinn|1，所以可得5.设函数 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 由函数 在 x=0处连续， 6.设函数 f(x)在点 x=1处可导，则 （分数：2.00）A.f“(1)B.2f“(1)C.3f“(1) D.-f“(1)解析：解析 由函数 f(x)在点 x=1处可导，则 7.若曲线 y=x 2 +1上点 M处的切线与直线 y=4x+1平行，则点 M的坐标为_（分数：2.00）A
13、.(2，5) B.(-2，5)C.(1，2)D.(-1，2)解析：解析 由题意可知设点 M处的坐标为(x 0 ，y 0 )，则满足 又因过点 M处的切线平行于直线 y=4x+1，则可知斜率相等， 又 y“=2x，所以 2x 0 =4， 与联立得 8. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由参数方程 9.设 y (n-2) =xlnx(n2，为正整数)，则 y (n) =_ A(x+n)lnx B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意 y (n-2) =xlnx(n2，为正整数)， 10. （分数：2.00）A.有一条水平渐近线，一条垂直渐近线 B.有一条水平渐
14、近线，两条垂直渐近线C.有两条水平渐近线，一条垂直渐近线D.有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解析：解析 有水平渐近线 y=1，又因 则曲线 有垂直渐近线 x=-2， 所以我们最终可以得到曲线11.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ Ay=|x-1|，0,2 B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因函数 y=x 2 -3x+2是由初等函数复合而成则由一切初等函数在其定义区间内都是连续的则可知 y=x 2 -3x+2在闭区间1，2上连续，又因 y“=2x-3，则函数 y=x 2 -3x+2在开区间(1，2)内可导，又 y(1)=1 2 -31+2=0 y(2)=2 2 -32
15、+2=0，所以 y(1)=y(2)，则存在 (1，2)使 f“()=0，即 2-3=0， 12.函数 y=e -x 在区间(-，+)内_（分数：2.00）A.单调递增且图像是凹的曲线B.单调递增且图像是凸的曲线C.单调递减且图像是凹的曲线 D.单调递减且图像是凸的曲线解析：解析 因为在(-，+)内，y“=-e -x 0，所以由函数单调性判定定理可得函数 y=e -x 在区间(-，+)内单调递减，又因 y“=e -x ，所以在函数 y=e -x 的定义域(-，+)内，y“0，则由函数凸凹性判定定理可得，曲线 y=e -x 是凹的，则函数 y=e -x 在区间(-，+)内单调递减且图像是凹的曲线1
16、3.若f(x)dx=F(x)+C，则e -x f(e -x )dx=_ A.e-x+F(e-x)+C B.F(e-x)+C C.e-x-F(e-x)+C D.-F(e-x)+C（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 e -x f(e -x )dx=-f(e -x )d(e -x )，因f(x)dx=F(x)+C， 则-f(e -x )d(e -x )=-F(e -x )+C 所以e -x f(e -x )dx=-F(e -x )+C14.设 f(x)为可导函数，且 f“(2x-1)=e x ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意可知：
17、设 2x-1=t，则 所以 则积分得15.导数 Aarcsinx B0 Carcsinb-arcsina D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意可知 (C为常数)则16.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 A选项： 发散；对于 B选项： 发散；对于 C选项： 收敛；对于 D选项：17.设区域 D由 x=a，x=b(ba)，y=f(x)，y=g(x)所围成，则区域 D的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意可知 ba，由定积分的应用中的面积公式则可得到：区域 D的面积为18.若
18、直线 （分数：2.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析 由直线 则可得直线的方向向量 s=1，n，3，由平面方程 3x-4y+3z+1=0，则可得到平面的法线向量，n=3，-4，3，又因直线19.设 （分数：2.00）A.2B.1 C.-1D.-2解析：解析 由二元函数 20.设方程 e 2z -xyz=0确定了函数 z=f(x，y)，则 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由题意可知 e 2z -xyz=0，令 F(x，y，z)=e 2z -xyz，则 F x =-yz，F z =2e 2z -xy， 21.设函数 （分数：2.00）A.dx+2dy B.d
19、x-2dyC.2dx+dyD.2dx-dy解析：解析 由函数 所以可以得到 22.二元函数 z=2xy-3x 2 -3y 2 +20在定义域内_（分数：2.00）A.有极大值，无极小值 B.无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D.无极大值，无极小值解析：解析 由二元函数 z=2xy-3x 2 -3y 2 +20， 则 z x =2y-6x，z y =2x-6y 令 z x =0，z y =0， 则联立方程组得 23.设 D为圆周 x 2 +y 2 -2x-2y+1=0围成的闭区域，则 （分数：2.00）A B.2C.4D.16解析：解析 D 为圆周 x 2 +y 2 -2x-2y+1=0围
20、成的闭区域，即以点(1，1)为圆心，半径为 1的圆域，由二重积分的性质可知 等于区域 D的面积，即 24.交换二次积分 (a0，常数)的积分次序后可化为_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意可知，积分区域 D可表示为 如图所示 转化为先对 x后对 y的积分区域 D又可表示为 25.若二重积分 则积分区域 D为_ Ax 2 +y 2 2x Bx 2 +y 2 2 Cx 2 +y 2 2y D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意可知，积分区域 D可表示为 如图所示 则转化为直角坐标系下的积分区域 D为(y-1) 2 +x 2 =1(x0) 即
21、区域 D可表示为 26.设 L为直线 x+y=1上从点 A(1，0)到点 B(0，1)的直线段，则 L (x+y)dx-dy=_（分数：2.00）A.2B.1C.-1D.-2 解析：解析 由题意可得积分曲线 L可表示为如图： 27.下列级数中，绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 28.设幂级数 (a n 为常数，n=0，1，2)在点 x=-2处收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定解析：解析 令 u n =(-1) n a n ，v n =a n x n ，又因为幂级数 (a n 为常数，n=0，1，2)在
22、点 x=-2处收敛，所以 |u n |=|(-1) n a n |=|a n |a n (-2) n |=2 n |a n |， 则 绝对收敛，即 29.微分方程 sinxcosydy+cosxsinydx=0的通解为_（分数：2.00）A.sinxcosy=CB.cosxsiny=CC.sinxsiny=C D.cosxcosy=C解析：解析 由微分方程 sinxcosydy+cosxsinydx=0 则 30.微分方程 y“+y“-2y=xe -x 的特解用待定系数法可设为_ A.y*=x(ax+b)e-x B.y*=x2(ax+b)e-x C.y*=(ax+b)e-x D.y*=axe-
23、x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f(x)呈 P m (x)e x 型(其中 P m (x)=x，=-1)，则它的对应的齐次方程为 y“+y“-2y=0，它所对应的特征方程为 r 2 +r-2=0，解之得 r 1 =-2，r 2 =1所以微分方程 y“+y“-2y=xe -x 的特解应设为 y*=(ax+b)e -x 二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31.设函数 （分数：2.00）解析：1解析 因为函数32. （分数：2.00）解析：解析 33.设函数 y=arctan2x，则 dy= 1 （分数：2.00）解析： 解析
24、由函数 y=arctan2x，则 则 34.设函数 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=-1处取得极小值-2，则常数 a和 b分别为 1 （分数：2.00）解析：a=4，b=5 解析 函数 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在其定义域内连续，且处处可导又 f“(x)=3x 2 +2ax+b令 f“(x)=0得驻点 故函数 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 处取极小值， 即 ，f(-1)=-2=-1+x-b ， 与联立得 35.曲线 y=x 3 -3x 2 +2x-1的拐点为 1 （分数：2.00）解析：(1，-1) 解析 由函数 y=x 3 -3x 2 +2x-1可得 y“=3
25、x 2 -6x+2，y“=6x-6令 y“=0，即 6x-6=0，则 x=1当 x1 时，y“0，当 x1 时，y“0；因此当 x=1时，y=-1，所以可得(1，-1)为函数 y=x 3 -3x 2 +2x-1的拐点36.设函数 f(x)、g(x)均可微，且同为某函数的原函数，f(1)=3，g(1)=1，则 f(x)-g(x)= 1 （分数：2.00）解析：2 解析 由函数 f(x)，g(x)均可微，且同为某函数的原函数，因此可设某函数为 (x)，则(x)dx=f(x)+C 1 ，(x)dx=g(x)+C 2 ， 则 f(x)-g(x)=(x)dx-C 1 -(x)dx-C 2 )=C 2 -
26、C 1 =C， 即 f(x)与 g(x)相差一个固定的常数，又因 f(1)=3，g(1)=1， 则 f(x)-g(x)=f(1)-g(1)=3-1=237. （分数：2.00）解析： 解析 由对称区间上函数积分的性质可知， 38.设函数 （分数：2.00）解析： 解析 因为函数 39.向量 a=1，1，2与向量 b=2，-1，1的夹角为 1 （分数：2.00）解析： 解析 由题意可知 a=1，1，2，b=2，-1，1， 则 ab=12+1(-1)+21=3 所以 则 40.曲线 （分数：2.00）解析：y 2 +z 2 =2x 解析 设 M 1 (x 1 ，y 1 ，0)为曲线 L上任意一点，
27、那么有 当曲线 l绕 x轴旋转时，点 M 1 绕 x轴旋转到另一点 M(x，y，z)，这时 x=x 1 保持不变，且点 M到 x轴的距离 将x=x 1 ， 41.设函数 （分数：2.00）解析：1+2xcosy 解析 由函数 z=xy+x 2 siny，则 所以 42.设区域 D=(x，y)|0x1，-1y1，则 （分数：2.00）解析： 解析 由积分区域 D=(x，y)|0x1，-1y1， 43.函数 f(x)=e -x2 在 x=0处展开的幂级数是 1 （分数：2.00）解析： 解析 由函数 f(x)=e x 在 x=0处展开的幂级数为 把 e x 的幂级数展开式中的 x换成-x 2 ，就
28、可得到函数 f(x)=e -x2 的幂级数展开式 44.幂级数 （分数：2.00）解析： 解析 先求收敛域， 则收敛半径为 R=2，在端点 x=2处，幂级数为 是收敛的交错级数，在端点 x=-2处，幂级数为 是发散的因此收敛域为 I=(-2，2 设和函数为 s(x)，即 利用和函数的性质可得到 的幂级数展开式中的 x换成 ， 所以 对上式从 0到 x积分，得 45.通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x (C 1 、C 2 为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为 1 （分数：2.00）解析：y“-2y“-3y=0 解析 由通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x (C 1
29、 ，C 2 为任意常数)可知 1 =-1， 2 =3 则可知微分方程的特征方程为 r 2 -2r-3=0 则通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x (C 1 ，C 2 为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为 y“-2y“-3y=0三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 47.求函数 y=(x 2 +3x) sin2x 的导数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 将函数 y=(x 2 +3x) sin2x 两边取自然对数，有 lny=sin2xln(x 2 +3x)，两边对 x求导，得： 48.求
30、不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 49.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 50.设 z=f(2x+y)+g(x，xy)，其中 f(t)，g(u，v)皆可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 51.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 积分区域 D可表示为 52.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 收敛半径 收敛区间为：|x-1|3，即(-2，4)； 方法二 由比值判别法知，当 即|x-1|3 时，幂级数收敛，而当 53.求微分方程 x 2 dy+(2xy-x+1)dx=0的通解 （分
31、数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 方程可化为 x 2 dy+2xydx=(x-1)dx， 即 d(x 2 y)=(x-1)dx， 两边积分有 故所求通解为： ，C 为任意常数； 方法二 方程可化为 于是， 所以，方程的通解为： 方法三 方程可化为 该方程对应的齐次方程的通解为： 令原方程的通解为： 将其代入原微分方程，有 于是，C“(x)=x-1， 所以， 故原方程的通解为： 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是 x、y(千件)，甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是 C 2 =y
32、2 +2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 本题为求函数 z=f(x，y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8在条件 x+y-8=0下的条件极值 方法一 用拉格朗日乘数法 总成本 f(x，y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8， 约束条件 (x，y)=x+y-8=0， 作辅助函数 F(x，y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8+(x+y-8)， 55.由曲线 y=(x-1)(x-2)和 x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 曲线 y=(x-1)(x-2)和 x轴围的平面图形如图， 因抛物线顶点 A的坐标为 且由 y=(x-1)(x-2)可求得曲线段 于是，所求旋转体的体积为： 方法二(柱壳法) 选 x为积分变量，得旋转体体积： 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.设 f(x)在-a，a上连续(a0，为常数)，证明： 并计算： （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明
