1、河南省专升本考试高等数学真题 2010年(1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为区间(-1，1，则函数 e f(x-1) 的定义域为_（分数：2.00）A.-2，2B.(-1，1C.(-2，0D.(0，22.若 f(x)(xR)为奇函数，则下列函数为偶函数的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，e 2x -1是 sin3x的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小4.设函数 （分数：2.00）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D
2、.第二类间断点5.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x2+2=0 B.sinx=1- C.x3+5x2-2=0 D.x2+1+arctanx=0（分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 f(x)在点 x=x 0 处可导，且 f“(x 0 )=-1，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.曲线 y=xlnx的平行于直线 x-y+1=0的切线方程是_（分数：2.00）A.y=x-1B.y=-(x+1)C.y=-x+1D.y=(lnx+1)(x-1)8.设函数 ，则 y“=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.若函数 f(x)满足 df(x)
3、=-2xsinx 2 dx，则 f(x)=_ A.cosx2 B.cosx2+C C.sinx2+C D.-cosx2+C（分数：2.00）A.B.C.D.10. （分数：2.00）A.B.C.D.11.若 f(-x)=f(x)，在区间(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在区间(-，0)内_（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)012.若函数 f(x)在区间(a，b)内连续，在点 x 0 处不可导，x 0 (a，b)，则_（分数：2.00）A.x0是 f(x)的极大值点B.x0是
4、 f(x)的极小值点C.x0不是 f(x)的极值点D.x0可能是 f(x)的极值点13.曲线 y=xe -x 的拐点为_ Ax=1 Bx=2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线15.若 cosx是 f(x)的一个原函数，则df(x)=_（分数：2.00）A.-sinx+CB.sinx+CC.-cosx+CD.cosx+C16.设曲线 y=f(x)过点(0，1)，且在该曲线上任意一点(x，y)处切线的斜率为 x+e x ，则 f(x)=_ A B C D
5、（分数：2.00）A.B.C.D.17. （分数：2.00）A.2B.0C.1D.-118.设 f(x)是连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.19.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.微分方程 x 4 (y“) 2 +y“-x 2 y=0的阶数是_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.421.已知向量 a=5，x，-2和 b=y，6，4平行，则 x和 y的值分别为_（分数：2.00）A.-4，5B.-3，-10C.-4，-10D.-10，-322.平面 x+y+z=1与平面 x+y-z=2的位置关系是_（分数：2.00）A.重合B.平行
6、C.垂直D.相交但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是_ A.y2+z2=1 B.z=x2+y2 C.z2=x2+y2 D.z=x2-y2（分数：2.00）A.B.C.D.24.关于函数 （分数：2.00）A.f(x，y)在点(0，0)处连续B.fx(0，0)=0C.fy(0，0)=0D.f(x，y)在点(0，0)处不可微25.设函数 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.累次积分 写成另一种次序的积分是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.设 D=(x，y)|x|2，|y|2， （分数：2.00）A.2B.16C.12D.428.
7、若幂级数 的收敛半径为 R，则幂级数 的收敛区间为_ A B(2-R，2+R) C(-R，R) D （分数：2.00）A.B.C.D.29.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.若幂级数 （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(3-2x)的定义域为(-3，4，则 f(x)的定义域为 1 （分数：2.00）32.极限 （分数：2.00）33.设函数 f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)，则 f (4) (x)= 1 （分数：2.00）34.设参数方程 所确定的函数为 y=y
8、(x),则 （分数：2.00）35.(lnx+1)dx= 1 （分数：2.00）36.点(3，2，-1)到平面 x+y+z-1=0的距离是 1 （分数：2.00）37.函数 z=(1+y) x 在点(1，1)处的全微分 dz= 1 （分数：2.00）38.设 L为三个顶点分别为(0，0)，(1，0)和(0，1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则 （分数：2.00）39.已知微分方程 y“+ay=e x 的一个特解为 y=xe x ，则 a= 1 （分数：2.00）40.级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：9，分数：45.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.设由方程 e
9、y -xy 2 =e 2 确定的函数为 y=y(x)，求 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.求过点(1，2，-5)且与直线 （分数：5.00）_46.求函数 f(x，y)=x 2 +3y 2 -2xy+8x的极值 （分数：5.00）_47.将 （分数：5.00）_48.计算二重积分 （分数：5.00）_49.求微分方程 9y“-6y“+y=0的通解 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：16.00)50.要做一个容积为 V的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省? （分数：8.00）_平面图形 D由
10、曲线 y=x 2 ，直线 y=2-x及 x轴所围成求：（分数：8.00）(1).D的面积；（分数：4.00）_(2).D绕 x轴旋转形成的旋转体的体积（分数：4.00）_五、证明题(总题数：1，分数：9.00)51.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=2证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f“()=2+1 成立 （分数：9.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2010年(1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为区间(-1，1，则函数 e
11、f(x-1) 的定义域为_（分数：2.00）A.-2，2B.(-1，1C.(-2，0D.(0，2 解析：解析 由题意得，f(x)的定义域为(-1，1，则在 e f(x-1) 中，x-1(-1，1，即 0x2故选D2.若 f(x)(xR)为奇函数，则下列函数为偶函数的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)为奇函数，对于选项 D，f(-x)e (-x)2 sin 5 (-x)=f(x)e x2 sin 5 x所以选项 D为偶函数故选 D3.当 x0 时，e 2x -1是 sin3x的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小
12、 解析：解析 由题意得， 4.设函数 （分数：2.00）A.可去间断点 B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点解析：解析 由题意得， 因为 5.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x2+2=0 B.sinx=1- C.x3+5x2-2=0 D.x2+1+arctanx=0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于选项 C，我们构造函数 f(x)=x 3 +5x 2 -2，f(0)=-2，f(1)=4，则有 f(0)f(1)0，由零点定理得，f(x)=0 在(0，1)上至少存在一个实根故选 C6.函数 f(x)在点 x=x 0 处可导，且 f“(x 0 )=-1，则
13、A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 7.曲线 y=xlnx的平行于直线 x-y+1=0的切线方程是_（分数：2.00）A.y=x-1 B.y=-(x+1)C.y=-x+1D.y=(lnx+1)(x-1)解析：解析 求曲线 y=xlnx的导数得，y“=lnx+1，又因为直线 x-y+1=0的斜率 k=1，所以令 y“=1得x=1，y=0，所以曲线与直线平行的切线方程为 y-0=x-1，即 y=x-1故选 A8.设函数 ，则 y“=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意得，9.若函数 f(x)满足 df(x)=-2xsinx 2 dx
14、，则 f(x)=_ A.cosx2 B.cosx2+C C.sinx2+C D.-cosx2+C（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意，df(x)=-2xsinx 2 dx，则 f(x)=cosx 2 +C故选 B10. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 为一常数，所以11.若 f(-x)=f(x)，在区间(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在区间(-，0)内_（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0 解析：解析 由题意得，f(x)=f(-x)
15、，则 f(x)为偶函数，因为在(0，+)上，f“(x)0，f“(x)0，所以在(-，0)上，f“(x)0，f“(x)0故选 D12.若函数 f(x)在区间(a，b)内连续，在点 x 0 处不可导，x 0 (a，b)，则_（分数：2.00）A.x0是 f(x)的极大值点B.x0是 f(x)的极小值点C.x0不是 f(x)的极值点D.x0可能是 f(x)的极值点 解析：解析 由判断极值的方法知，x 0 可能是 f(x)的极值点故选 D13.曲线 y=xe -x 的拐点为_ Ax=1 Bx=2 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 y“=e -x -xe -x ，y“=-e -x
16、-e -x +xe -x =xe -x -2e -x =(x-2)e -x ，令 y“=0，得 x=2， ，x2 时，y“0，x2 时，y“0，所以曲线的拐点 14.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线 B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线解析：解析 所以曲线没有垂直渐近线；又因为 x时， 15.若 cosx是 f(x)的一个原函数，则df(x)=_（分数：2.00）A.-sinx+C B.sinx+CC.-cosx+CD.cosx+C解析：解析 令 F(x)=cosx，则 f(x)=F“(x)=-sinx，所以df(x)=d(-sinx
17、)=-sinx+C故选 A16.设曲线 y=f(x)过点(0，1)，且在该曲线上任意一点(x，y)处切线的斜率为 x+e x ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意得， 又因为曲线过点(0，1)，所以 C=0，故17. （分数：2.00）A.2B.0 C.1D.-1解析：解析 18.设 f(x)是连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 19.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 20.微分方程 x 4 (y“) 2 +y“-x 2 y=0的阶数是_（分数：2.00）A.1
18、B.2 C.3D.4解析：解析 由微分方程概念知，阶数为方程中的最高阶导数的阶数故选 B21.已知向量 a=5，x，-2和 b=y，6，4平行，则 x和 y的值分别为_（分数：2.00）A.-4，5B.-3，-10 C.-4，-10D.-10，-3解析：解析 因为向量分别为 a与 b平行，所以22.平面 x+y+z=1与平面 x+y-z=2的位置关系是_（分数：2.00）A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直 解析：解析 平面法向量 s 1 =1，1，1，s 2 =1，1，-1，s 1 s 2 =1，两平面相交但不垂直故选 D23.下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是_ A.y2+
19、z2=1 B.z=x2+y2 C.z2=x2+y2 D.z=x2-y2（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由柱面的方程的特点知，y 2 +z 2 =1表示圆柱面故选 A24.关于函数 （分数：2.00）A.f(x，y)在点(0，0)处连续 B.fx(0，0)=0C.fy(0，0)=0D.f(x，y)在点(0，0)处不可微解析：解析 令 y=kx，则 当 k取不同值时，极限值不同因此25.设函数 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 26.累次积分 写成另一种次序的积分是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意知，0x2，
20、由此可得，-1y1， 所以交换积分次序后为27.设 D=(x，y)|x|2，|y|2， （分数：2.00）A.2B.16 C.12D.4解析：解析 由题意得，-2x2，-2y2，28.若幂级数 的收敛半径为 R，则幂级数 的收敛区间为_ A B(2-R，2+R) C(-R，R) D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 的收敛半径为 R，令 t=(x-2) 2 ，则 的收敛半径为 R，即-RtR，则(x-2) 2 R，即 29.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 p-级数的性质得 发散，故 A条件收敛 故 C、D 发散，故
21、选 B30.若幂级数 （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个 D.3个解析：解析 由幂级数发散、收敛的性质知，并根据收敛区间讨论可得，在这 4个点中发散点的个数有两个，即 x=0，x=6故选 C二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(3-2x)的定义域为(-3，4，则 f(x)的定义域为 1 （分数：2.00）解析：-5，9)解析 由题意得 f(3-2x)的定义域为(-3，4，即-3x4，所以-53-2x9，即 f(x)的定义域为-5，9)32.极限 （分数：2.00）解析：解析 33.设函数 f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)，则 f (4) (x)=
22、1 （分数：2.00）解析：24 解析 由函数 f(x)得，求四阶导数之后，只有首项是不为 0的实数，即 f (4) (x)=4!=2434.设参数方程 所确定的函数为 y=y(x),则 （分数：2.00）解析：解析 35.(lnx+1)dx= 1 （分数：2.00）解析：xlnx+C解析 36.点(3，2，-1)到平面 x+y+z-1=0的距离是 1 （分数：2.00）解析：解析 37.函数 z=(1+y) x 在点(1，1)处的全微分 dz= 1 （分数：2.00）解析：2ln2dx+dy 解析 dz=(1+y) x ln(1+y)dx+x(1+y) x-1 dy， 当 x=1，y=1 时
23、，dz=2ln2dx+dy38.设 L为三个顶点分别为(0，0)，(1，0)和(0，1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则 （分数：2.00）解析：0解析 39.已知微分方程 y“+ay=e x 的一个特解为 y=xe x ，则 a= 1 （分数：2.00）解析：-1 解析 将 y=xe x 代入微分方程得，e x +xe x +axe x =e x ，得 ax+x=0，即 a=-140.级数 （分数：2.00）解析：e 3 解析 因为 三、计算题(总题数：9，分数：45.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 42.设由方程 e y -xy 2 =e 2 确定
24、的函数为 y=y(x)，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 F(x，y)=e y -xy 2 -e 2 ， 则有 F x =-y 2 ，F y =e y -2xy， 所以, 因为 e y -xy 2 =e 2 ，所以当 x=0时，y=2， 所以 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 即 e x =t 2 -1，x=ln(t 2 -1)，则 44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 45.求过点(1，2，-5)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由题意得，两平面的法向量分别为 n 1 =2，-1，1，n 2
25、=1，-3，0， 所以， 所以该直线的方向向量为 s=3，1，-5，又因为直线过点(1，2，-5)， 所以该直线的方程为 46.求函数 f(x，y)=x 2 +3y 2 -2xy+8x的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 f(x，y)=x 2 +3y 2 -2xy+8x， f x (x，y)=2x-2y+8，f y (x，y)=6y-2x，f x =2，f xy =-2，f yy =6， 要求函数的驻点，只要解方程 f x =0，f y =0， 即 47.将 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 48.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由题意可
26、知，用极坐标计算， 49.求微分方程 9y“-6y“+y=0的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 9y“-6y“+y=0 对应的特征方程为 9r 2 -6r+1=0 特征根为 因此所给方程的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：16.00)50.要做一个容积为 V的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省? （分数：8.00）_正确答案：()解析：解析 设该容器的高为 h，底面半径为 r， 则该容器的容积 V=r 2 h，即 该带盖容器的用料 S=2r 2 +2rh， 所以 解得唯一驻点 ，S 取值最小 平面图形 D由曲线 y=x 2 ，直线 y=2-x及 x轴
27、所围成求：（分数：8.00）(1).D的面积；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解析 由题意可得，此平面区域 D如图所示， 用 x=1将区域 D分成 D 1 和 D 2 D 1 为曲边三角形，D 2 为直角三角形，所以 D的面积 (2).D绕 x轴旋转形成的旋转体的体积（分数：4.00）_正确答案：()解析：解析 平面区域 D绕 x轴旋转所得的旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：9.00)51.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=2证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f“()=2+1 成立 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 构造函数 F(x)=f(x)-x 2 ， 因为 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，所以函数 F(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 F“(x)=f“(x)-2x于是 F(x)在0，1上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间(0，1)内至少存在一点 ，使得 将 f(0)=0，f(1)=2 代入上式，得
