1、河南省专升本考试高等数学真题 2016年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-，-1B.(-，-1)C.(-，1D.(-，1)2.函数 f(x)=x-2x 3 是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性3.已知 则 ff(x)=_ Ax-1 B C1-x D （分数：2.00）A.B.C.D.4.下列极限不存在的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.极限 （分数：2.00）A.0B.1C.-1D.-26.已知极限 则 a的值是_ A1 B-
2、1 C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知当 x0 时，2-2cosxax 2 ，则 a的值是_ A1 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知函数 （分数：2.00）A.a=2时，f(x)必连续B.a=2时，f(x)不连续C.a=-1时，f(x)连续D.a=1时，f(x)必连续9.已知函数 (x)在点 x=0处可导，函数 f(x)=(x-1)(x-1)，则 f“(1)=_（分数：2.00）A.“(0)B.“(1)C.(0)D.(1)10.函数 f(x)=1-|x-1|在点 x=1处_（分数：2.00）A.不连续B.连续且可导C.既不连续也不可导D.连续但不可导11.
3、若曲线 f(x)=1-x 3 与曲线 g(x)=lnx在自变量 x=x 0 时的切线相互垂直，则 x 0 应为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.已知 f(x)=1-x 4 在闭区间-1，1上满足罗尔中值定理，则在开区间(-1，1)内使 f“()=0 成立的=_（分数：2.00）A.0B.1C.-1D.213.设函数 f(x)在区间(-1，1)内连续，若 x(-1，0)时，f“(x)0；x(0，1)时，f“(x)0，则在区间(-1，1)内_（分数：2.00）A.f(0)是函数 f(x)的极小值B.f(0)是函数 f(x)的极大值C.f(0)不是函数 f(x)的极值D.f
4、(0)不一定是函数 f(x)的极值14.设函数 y=f(x)在区间(0，2)内具有二阶导数，若 x(0，1)时，f“(x)0；x(1，2)时，f“(x)0，则_（分数：2.00）A.f(1)是函数 f(x)的极大值B.点(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点C.f(1)是函数 f(x)的极小值D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点15.已知曲线 y=x 4 ，则_ A.在(-，0)内 y=x4单调递减且形状为凸 B.在(-，0)内 y=x4单调递增且形状为凹 C.在(0，+)内 y=x4单调递减且形状为凸 D.在(0，+)内 y=x4单调递增且形状为凹（分数：2.00）A.B.C.
5、D.16.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分f(x-1)dx=_（分数：2.00）A.F(x-1)+CB.F(x)+CC.-F(x-1)+CD.-F(x)+C17.设函数 则 f“(x)=_ A （分数：2.00）A.B.C.D.18.定积分 （分数：2.00）A.B.C.D.19.由曲线 y=e -x 与直线 x=0，x=1，y=0 所围成的平面图形的面积是_ A.e-1 B.1 C.1-e-1 D.1+e-1（分数：2.00）A.B.C.D.20.设定积分 （分数：2.00）A.I1=I2B.I1I2C.I1I2D.不能确定，I1 与 I2的大小21.向量 a=j+k的方向
6、角是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.已知 e -x 是微分方程 y“+3ay“+2y=0的一个解，则常数 a=_ A1 B-1 C3 D （分数：2.00）A.B.C.D.23.下列微分方程中可进行分离变量的是_ A.y“=(x+y)ex+y B.y“=xyex+y C.y“=ayexy D.y“=(x+y)exy（分数：2.00）A.B.C.D.24.设二元函数 z=x 3 +xy 2 +y 3 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.25.用钢板做成一个表面积为 54m 2 的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为_ A.18m3 B.27m3
7、C.6m3 D.9m3（分数：2.00）A.B.C.D.26.设 D=(x，y)|1x 2 +y 2 4，x0，y0，则二重积分 （分数：2.00）A.16B.8C.4D.327.已知 则变换积分次序后 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 L为连接点(0，0)与点(1， )的直线段，则曲线积分 L y 2 ds=_ A1 B2 C3 D （分数：2.00）A.B.C.D.29.下列级数发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.已知级数 则下列结论正确的是_ A B若部分和数列S n 有界，则 收敛 C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、
8、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)=x 3 的反函数是 y= 1 （分数：2.00）32.极限 （分数：2.00）33.已知函数 （分数：2.00）34.函数 f(x)=e 1-x 在点 x=0.99处的近似值为 1 （分数：2.00）35.不定积分sin(x+1)dx= 1 （分数：2.00）36.定积分 （分数：2.00）37.函数 z=xy-x 2 -y 2 在点(0，1)处的全微分 dz| (0，1) = 1. （分数：2.00）38.与向量2，1，2同向平行的单位向量是 1 （分数：2.00）39.微分方程 y+xy 2 =0的通解是 1 （分数：2.00）
9、40.幂级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.计算极限 （分数：5.00）_42.求函数 （分数：5.00）_43.计算不定积分 （分数：5.00）_44.计算定积分 （分数：5.00）_45.设直线 （分数：5.00）_46.已知函数 z=f(x，y)由方程 xz-yz-x+y=0所确定，求全微分 dz （分数：5.00）_47.已知 D=(x，y)|0x 2 +y 2 4，计算二重积分 （分数：5.00）_48.求微分方程 xy“+y-x=0的通解 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题
10、数：2，分数：14.00)51.求由直线 x=1，x=e，y=0 及曲线 （分数：7.00）_52.某工厂生产计算器，若日产量为 x台的成本函数为 C(x)=7500+50x-0.02x 2 ，收入函数为 R(x)=80x-0.03x 2 ，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大? （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程 4x+3x 3 -x 5 =0有一负根 x=-2，证明方程 4+9x 2 -5x 4 =0必有一个大于-2 的负根 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2016年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分
11、钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-，-1B.(-，-1)C.(-，1D.(-，1) 解析：解析 要使函数有意义，则需 1-x0，即 x1，故应选 D2.函数 f(x)=x-2x 3 是_（分数：2.00）A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性解析：解析 f(-x)=-x-2(-x) 3 =-x+2x 3 =-(x-2x 3 )=-f(x)，故 f(x)为奇函数，故应选 A3.已知 则 ff(x)=_ Ax-1 B C1-x D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 4.下列极限不存在的是_ A B C D （分数
12、：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 故应选 D5.极限 （分数：2.00）A.0B.1C.-1 D.-2解析：解析 6.已知极限 则 a的值是_ A1 B-1 C2 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 7.已知当 x0 时，2-2cosxax 2 ，则 a的值是_ A1 B2 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 8.已知函数 （分数：2.00）A.a=2时，f(x)必连续B.a=2时，f(x)不连续 C.a=-1时，f(x)连续D.a=1时，f(x)必连续解析：解析 要使函数 f(x)在 x=1处连续，则有 当 a=2时，9.已知函数 (x)在点 x=0处
13、可导，函数 f(x)=(x-1)(x-1)，则 f“(1)=_（分数：2.00）A.“(0)B.“(1)C.(0) D.(1)解析：解析 由 (x)在 x=0处可导，可知 (x)在 x=0处连续， 10.函数 f(x)=1-|x-1|在点 x=1处_（分数：2.00）A.不连续B.连续且可导C.既不连续也不可导D.连续但不可导 解析：解析 11.若曲线 f(x)=1-x 3 与曲线 g(x)=lnx在自变量 x=x 0 时的切线相互垂直，则 x 0 应为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 f“(x 0 )=(1-x 3 )| x=x0 =- ， 由于切线相互垂直
14、，则 12.已知 f(x)=1-x 4 在闭区间-1，1上满足罗尔中值定理，则在开区间(-1，1)内使 f“()=0 成立的=_（分数：2.00）A.0 B.1C.-1D.2解析：解析 f“(x)=-4x 3 ，f“()=-4=0，则 =0，故应选 A13.设函数 f(x)在区间(-1，1)内连续，若 x(-1，0)时，f“(x)0；x(0，1)时，f“(x)0，则在区间(-1，1)内_（分数：2.00）A.f(0)是函数 f(x)的极小值 B.f(0)是函数 f(x)的极大值C.f(0)不是函数 f(x)的极值D.f(0)不一定是函数 f(x)的极值解析：解析 由极值第一判定定理，可知 f(
15、0)应为函数 f(x)的极小值，故应选 A14.设函数 y=f(x)在区间(0，2)内具有二阶导数，若 x(0，1)时，f“(x)0；x(1，2)时，f“(x)0，则_（分数：2.00）A.f(1)是函数 f(x)的极大值B.点(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点 C.f(1)是函数 f(x)的极小值D.点(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 函数 f(x)在(0，1)上为凸，在(1，2)上为凹，故(1，f(1)应为函数 f(x)的拐点，故应选B15.已知曲线 y=x 4 ，则_ A.在(-，0)内 y=x4单调递减且形状为凸 B.在(-，0)内 y=x4单调递增且形状为凹
16、 C.在(0，+)内 y=x4单调递减且形状为凸 D.在(0，+)内 y=x4单调递增且形状为凹（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 y“=4x 3 ，当 x0 时，y“0；当 x0 时，y“0；y“=12x 2 ，在(-，+)上有y“0，根据选项，可知应选 D16.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分f(x-1)dx=_（分数：2.00）A.F(x-1)+C B.F(x)+CC.-F(x-1)+CD.-F(x)+C解析：解析 由题可知f(x)dx=F(x)+C，f(x-1)dx=f(x-1)d(x-1)=F(x-1)+C，故应选 A17.设函数 则 f“(x)=_ A
17、 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 18.定积分 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 令 f(x)=xe -x2 ，f(-x)=-xe -x2 =-f(x)，可知 f(x)为奇函数，故 19.由曲线 y=e -x 与直线 x=0，x=1，y=0 所围成的平面图形的面积是_ A.e-1 B.1 C.1-e-1 D.1+e-1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题可知所求面积20.设定积分 （分数：2.00）A.I1=I2B.I1I2 C.I1I2D.不能确定，I1 与 I2的大小解析：解析 当 x(1，2)时，x 2 x由定积分保序性可知 21.向量 a=
18、j+k的方向角是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 向量 a的坐标表示应为0，1，1，故方向余弦为 则 ， 应为22.已知 e -x 是微分方程 y“+3ay“+2y=0的一个解，则常数 a=_ A1 B-1 C3 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令 y=e -x ，y“=-e -x ，y“=e -x ，代入有 e -x -3ae -x +2e -x =0，由 e -x 0， 则有 1-3a+2=0，a=1故应选 A23.下列微分方程中可进行分离变量的是_ A.y“=(x+y)ex+y B.y“=xyex+y C.y“=ayexy D.y“=
19、(x+y)exy（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对于 B项，y“=xye x e y ，分离变量得 24.设二元函数 z=x 3 +xy 2 +y 3 ，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 25.用钢板做成一个表面积为 54m 2 的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为_ A.18m3 B.27m3 C.6m3 D.9m3（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设水箱的长、宽、高分别为 x，y，z，则有 2xy+2yz+2xz=54，即 xy+yz+xz=27，体积V=xyz，令 F(x，y，z)=xyz+(xy+yz+xz-27)，
20、26.设 D=(x，y)|1x 2 +y 2 4，x0，y0，则二重积分 （分数：2.00）A.16B.8C.4D.3 解析：解析 由二重积分的性质可知 S D 为 D的面积 27.已知 则变换积分次序后 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 积分区域为 D：0x1，0yx，也可表示为：0y1，yx1，故交换积分次序后28.设 L为连接点(0，0)与点(1， )的直线段，则曲线积分 L y 2 ds=_ A1 B2 C3 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 L 可表示为 29.下列级数发散的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析
21、：解析 选项 A为调和级数，可知其发散30.已知级数 则下列结论正确的是_ A B若部分和数列S n 有界，则 收敛 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 的必要条件，故应选 C选项 B中，需要求 为正项级数；选项 D应改为若收敛，则二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)=x 3 的反函数是 y= 1 （分数：2.00）解析： 解析 令 y=f(x)=x 3 ， ，故 f(x)的反函数 32.极限 （分数：2.00）解析：解析 33.已知函数 （分数：2.00）解析：可去解析 34.函数 f(x)=e 1-x 在点 x=0.99处的近似值为 1 （分
22、数：2.00）解析：1.01 解析 取 x 0 =1，x=-0.01，有 f(x 0 +x)=f(0.99)f(x 0 )+f“(x 0 )x=1-1(-0.01)=1.0135.不定积分sin(x+1)dx= 1 （分数：2.00）解析：-cos(x+1)+C解析 sin(x+1)dx=sin(x+1)d(x+1)=-cos(x+1)+C.36.定积分 （分数：2.00）解析：ln2解析 37.函数 z=xy-x 2 -y 2 在点(0，1)处的全微分 dz| (0，1) = 1. （分数：2.00）解析：dx-2dy解析 38.与向量2，1，2同向平行的单位向量是 1 （分数：2.00）解
23、析：解析 故与2，1，2同向平行的单位向量为39.微分方程 y+xy 2 =0的通解是 1 （分数：2.00）解析：解析 方程分离变量得 两边积分得 其中 C为任意常数.当 y=0时，可知也为方程的解.40.幂级数 （分数：2.00）解析：3解析 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.计算极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 42.求函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 u=2-cosx，43.计算不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 44.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 45.设直线 （分数：5.00）_
24、正确答案：()解析：解析 设已知直线 l的方向向量为 n，则 由于所求直线与 l平行，故其方向向量可取1，-2，1，又直线过点 A(0，1，2)，故所求直线方程为 46.已知函数 z=f(x，y)由方程 xz-yz-x+y=0所确定，求全微分 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 F(x，y，z)=xz-yz-z+y， 则 F x =z-1，F y =-z+1，F z =x-y， 因此 47.已知 D=(x，y)|0x 2 +y 2 4，计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 积分区域 D可用极坐标表示为 0r2，02,故 48.求微分方程 xy“+y-x
25、=0的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方程化简为 为一阶线性微分方程，由通解公式得 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 t=x-1则级数为 不缺项的幂级数50.求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 收敛半径 R=1， 令 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求由直线 x=1，x=e，y=0 及曲线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 如图所示， 即所求图形则面积 52.某工厂生产计算器，若日产量为 x台的成本函数为 C(x)=7500+50x-0.02x 2 ，收入函数为 R(x)=80x-0.03x 2
26、，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大? （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 利润=收入-成本，故利润 L(x)=R(x)-C(x)=80x-0.03x 2 -7500-50x+0.02x 2 =30x-0.01x 2 -7500 令 L“(x)=30-0.02x=0，x 得 x=1500， 且 L“(1500)=-0.020 故 x=1500为 L(x)的极大值，又由实际问题，极值唯一，故 x=1500为 L(x)的最大值，即日生产 1500台计算器时，工厂的利润最大五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程 4x+3x 3 -x 5 =0有一负根 x=-2，证明方程 4+9x 2 -5x 4 =0必有一个大于-2 的负根 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=4x+3x 3 -x 5 ，由题可知 f(-2)=0，又有 f(0)=0，f(x)在-2，0上连续，存(-2，0)上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点 (-2，0)，使得 f“()=4+9 2 -5 1 =0， 即方程 4+9x 2 -5x 4 =0必有一个大于-2 的负根
