1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 )数学理 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1.已知集合 A=x|x| 2， B=-1， 0， 1， 2， 3，则 A B=( ) A.0， 1 B.0， 1， 2 C.-1， 0， 1 D.-1， 0， 1， 2 解析：集合 A=x|x| 2=x|-2 x 2， B=-1， 0， 1， 2， 3， A B=-1， 0， 1. 答案 ： C. 2.若 x， y满足 2030xyxyx ，则 2x+y的最大值为 ( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析：作出不等式组 203
2、0xyxyx ，对应的平面区域如图： (阴影部分 ). 设 z=2x+y得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z， 由图象可知当直线 y=-2x+z经过点 A时，直线 y=-2x+z的截距最大，此时 z最大 . 由 203xyxy，解得 12xy，即 A(1， 2)， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=1 2+2=4. 即目标函数 z=2x+y的最大值为 4. 答案 ： C 3.执行如图所示的程序框图，若输入的 a值为 1，则输出的 k值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：输入的 a值为 1，则 b=1， 第一次执行循环体后， a=-12，不满足退出循环的条件， k=1；
3、 第二次执行循环体后， a=-2，不满足退出循环的条件， k=2； 第三次执行循环体后， a=1，满足退出循环的条件， 故输出的 k值为 2. 答案 ： B 4.设 a ， b 是向量，则“ |a |=|b |”是“ |a +b |=|a -b |”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若“ |a |=|b |，则以 a ， b 为邻边的平行四边形是菱形； 若“ |a +b|=|a -b |”，则以 a ， b 为邻边的平行四边形是矩形； 故“ |a |=|b |”是“ |a +b|=|a -b |”的既不充分也不必要条件 .
4、 答案 ： D. 5.已知 x， y R，且 x y 0，则 ( ) A.11xy 0 B.sinx-siny 0 C.(12)x-(12)y 0 D.lnx+lny 0 解析： x， y R，且 x y 0，则 11xy， sinx与 siny的大小关系不确定， (12)x (12)y，即 (12)x-(12)y 0， lnx+lny与 0的大小关系不确定 . 答案 ： C. 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( ) A.16B.13C.12D.1 解析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 棱锥的底面面积 S=12 1 1=12，高为 1，故棱锥的体
5、积 V=13Sh=16. 答案 ： A 7.将函数 y=sin(2x-3)图象上的点 P(4， t)向左平移 s(s 0)个单位长度得到点 P，若P位于函数 y=sin2x 的图象上，则 ( ) A.t=12， s的最小值为6B.t=32， s的最小值为6C.t=12， s的最小值为3D.t=32， s的最小值为3解析：将 x=4代入得： t=sin6=12， 将函数 y=sin(2x-3)图象上的点 P向左平移 s个单位，得到 P (4-s， 12)点， 若 P位于函数 y=sin2x的图象上， 则 sin(2-2s)=cos2s=12，则 2s=3+2k， k Z，则 s=6+k， k Z
6、， 由 s 0得：当 k=0时， s的最小值为6. 答案 ： A 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒 .每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解析：取两个球共有 4 种情况： 红 +红，则乙盒中红球数加 1个； 黑 +黑，则丙盒中黑球数加 1个； 红 +黑 (红球放入甲盒中 )，则乙盒中黑球数加 1 个； 黑 +
7、红 (黑球放入甲盒中 )，则丙盒中红球数加 1 个 . 设一共有球 2a 个，则 a 个红球， a 个黑球，甲中球的总个数为 a，其中红球 x 个，黑球 y个， x+y=a. 则乙中有 x个球，其中 k个红球， j个黑球， k+j=x； 丙中有 y个球，其中 l 个红球， i个黑球， i+l=y； 黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j 由于 x=k+j，所以可得 i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球 . 答案 ： B. 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 9.设 a R，若复数 (1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a= . 解析： (1+i
8、)(a+i)=a-1+(a+1)i， 若复数 (1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a+1=0，解得： a=-1. 答案： -1 10.在 (1-2x)6的展开式中， x2的系数为 .(用数字作答 ) 解析： (1-2x)6的展开式中，通项公式 Tr+1=6rC(-2x)r=(-2)r6rCxr， 令 r=2，则 x2的系数 =(-2)2 26C=60. 答案： 60. 11.在极坐标系中，直线 cos - 3 sin -1=0 与圆 =2cos交于 A， B 两点，则|AB|= . 解析 ：直线 cos - 3 sin -1=0化为 y直线 x- 3 y-1=0. 圆 =2c
9、os化为 2=2 cos， x2+y2=2x，配方为 (x-1)2+y2=1，可得圆心 C(1， 0)，半径r=1.则圆心 C在直线上， |AB|=2. 答案： 2. 12.已知 an为等差数列， Sn为其前 n项和 .若 a1=6， a3+a5=0，则 S6= . 解析： an为等差数列， Sn为其前 n项和 .a1=6， a3+a5=0， a1+2d+a1+4d=0， 12+6d=0，解得 d=-2， S6=6a1+652d=36-30=6. 答案： 6 13.双曲线 22xyab=1(a 0， b 0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B为该双曲线的焦点 .
10、若正方形 OABC的边长为 2，则 a= . 解析：双曲线的渐近线为正方形 OABC的边 OA， OC 所在的直线， 渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为 y= x， 即 a=b， 正方形 OABC的边长为 2， OB=2 2 ，即 c=2 2 ，则 a2+b2=c2=8，即 2a2=8，则 a2=4， a=2， 答案： 2 14. 设函数 f(x)= 3 32x x x axxa ， ， 若 a=0，则 f(x)的最大值为 . 若 f(x)无最大值，则实数 a的取值范围是 . 解析：若 a=0，则 f(x)= 3 3 0,20x x xxx ， ，则 f (x)=3x2-3，
11、 x 0-2， x 0， 当 x -1时， f (x) 0，此时函数为增函数， 当 x -1时， f (x) 0，此时函数为减函数， 故当 x=-1时， f(x)的最大值为 2； f (x)=3x2-3， x a-2， x a， 令 f (x)=0，则 x= 1， 若 f(x)无最大值，则3123aa a a， ，或 312322aa a aa ， ， ，解得： a (-， -1). 答案： 2 三、解答题共 6小题，共 80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15. 在 ABC中， a2+c2=b2+ 2 ac. ( )求 B的大小； ( )求 2 cosA+cosC 的最大值
12、. 解析： ( )根据已知和余弦定理，可得 cosB= 22，进而得到答案； ( )由 (I)得： C=34-A，结合正弦型函数的图象和性质，可得 2 cosA+cosC 的最大值 . 答案： ( )在 ABC 中， a2+c2=b2+ 2 ac. a2+c2-b2= 2 ac. cosB= 2 2 2 222 2 2a c b a ca c a c ， B=4. ( )由 (I)得： C=34-A， 2 cosA+cosC= 2 cosA+cos( 34-A)= 2 cosA- 22cosA+ 22sinA= 22cosA+ 22sinA=sin(A+4). A (0， 34)， A+ 4
13、(4， )， 故当 A+4=2时， sin(A+4)取最大值 1，即 2 cosA+cosC的最大值为 1. 16.A， B， C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表 (单位：小时 )： ( )试估计 C班的学生人数； ( )从 A班和 C班抽出的学生中，各随机选取一个人， A 班选出的人记为甲， C班选出的人记为乙 .假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； ( )再从 A， B， C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7， 9， 8.25(单位：小时 )，这 3个新数据与
14、表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断 0和 1的大小 .(结论不要求证明 ) 解析： (I)由已知先计算出抽样比，进而可估计 C 班的学生人数； ( )根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； ( )根据平均数的定义，可判断出 0 1. 答案： (I)由题意得：三个班共抽取 20 个学生，其中 C班抽取 8个， 故抽样比 K= 20 1100 5，故 C班有学生 8 15=40人， ( )从从 A班和 C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有 5 8=40种情况， 而且这些情况是等可能发生的， 当甲锻炼时间为 6时，甲的锻
15、炼时间比乙的锻炼时间长有 2种情况； 当甲锻炼时间为 6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3种情况； 当甲锻炼时间为 7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3种情况； 当甲锻炼时间为 7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3种情况； 当甲锻炼时间为 8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 4种情况； 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 P= 2 3 3 3 4 34 0 8 ； ( ) 0 1. 17.如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面 PAD平面 ABCD， PA PD， PA=PD， AB AD， AB=1， AD=2，AC=CD= 5 . ( )求证： PD平面 PAB；
16、( )求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值； ( )在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求 AMAP的值，若不存在，说明理由 . 解析： ( )由已知结合面面垂直的性质可得 AB平面 PAD，进一步得到 AB PD，再由 PDPA，由线面垂直的判定得到 PD平面 PAB； ( )取 AD 中点为 O，连接 CO， PO，由已知可得 CO AD， PO AD.以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得 P(0， 0， 1)， B(1， 1， 0)， D(0， -1， 0)， C(2， 0， 0)，进一步求出向量 PB 、 PD 、 PC 的坐标，再求出平面 PCD
17、 的法向量 n ，设 PB 与平面 PCD 的夹角为，由 sin =|cos n ， PB |= n PBn PB 求得直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值； ( )假设存在 M点使得 BM平面 PCD，设 AMAP=， M(0， y1， z1)，由 AM AP 可得 M(0，1-， )， BM =(-1， -， )，由 BM平面 PCD，可得 BM n =0，由此列式求得当 AMAP=14时， M点即为所求 . 答案： ( )平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， 且 AB AD， AB 平面 ABCD， AB平面 PAD， PD 平面 PAD， AB PD， 又
18、 PD PA，且 PA AB=A， PD平面 PAB； ( )取 AD中点为 O，连接 CO， PO， CD=AC= 5 ， CO AD， 又 PA=PD， PO AD. 以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则 P(0， 0， 1)， B(1， 1， 0)， D(0， -1， 0)， C(2， 0， 0)， 则 PB =(1， 1， -1)， PD =(0， -1， -1)， PC =(2， 0， -1)， CD =(-2， -1， 0)， 设 n =(x0， y0， 1)为平面 PCD的法向量， 则由 00n PDn PC ，得 00102 1 0yx ，则 n =(12， -1，
19、1). 设 PB与平面 PCD的夹角为，则 sin =|cos n ， PB |= n PBn PB =1 1121 1 1 34 = 33； ( )假设存在 M点使得 BM平面 PCD，设 AMAP=， M(0， y1， z1)， 由 ( )知， A(0， 1， 0)， P(0， 0， 1)， AP =(0， -1， 1)， B(1， 1， 0)， AM =(0， y1-1， z1)， 则有 AM AP ，可得 M(0， 1-， )， BM =(-1， -， )， BM平面 PCD， n =(12， -1， 1)为平面 PCD 的法向量， BM n =0，即 -12+ + =0，解得 =14
20、. 综上，存在点 M，即当 14AMAP时， M点即为所求 . 18.设函数 f(x)=xea-x+bx，曲线 y=f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4， ( )求 a， b的值； ( )求 f(x)的单调区间 . 解析： ( )求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及 f(2)，建立方程组关系即可求 a， b的值； ( )求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求 f(x)的单调区间 . 答案： ( ) y=f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4， 当 x=2时， y=2(e-1)+4=2e+2，即 f(2)=2
21、e+2， 同时 f (2)=e-1， f(x)=xea-x+bx， f (x)=ea-x-xea-x+b， 则 2222 2 2 2 22 2 1aaaf e b ef e e b e ，即 a=2， b=e. ( ) a=2， b=e； f(x)=xe2-x+ex， f (x)=e2-x-xe2-x+e=(1-x)e2-x+e， f (x)=-e2-x-(1-x)e2-x=(x-2)e2-x， 由 f (x) 0得 x 2，由 f (x) 0得 x 2， 即当 x=2时， f (x)取得极小值 f (2)=(1-2)e2-2+e=e-1 0， f (x) 0恒成立，即函数 f(x)是增函数，
22、即 f(x)的单调区间是 (-， + ). 19. 已知椭圆 C： 22xyab=1(a 0， b 0)的离心率为 32， A(a， 0)， B(0， b)， O(0， 0)， OAB的面积为 1. ( )求椭圆 C的方程； ( )设 P是椭圆 C上一点，直线 PA与 y轴交于点 M，直线 PB与 x轴交于点 N.求证： |AN| |BM|为定值 . 解析： ( )运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a， b， c的关系，解方程可得a=2， b=1，进而得到椭圆方程； ( )设椭圆上点 P(x0， y0)，可得 x02+4y02=4，求出直线 PA 的方程，令 x=0，求得 y， |
23、BM|；求出直线 PB 的方程，令 y=0，可得 x， |AN|，化简整理，即可得到 |AN| |BM|为定值 4. 答案： ( )由题意可得 e= 32ca， 又 OAB的面积为 1，可得 12ab=1，且 a2-b2=c2，解得 a=2， b=1， c= 3 ， 可得椭圆 C的方程为 2 24x y=1； ( )设椭圆上点 P(x0， y0)， 可得 x02+4y02=4， 直线 PA： y=00 2yx (x-2)，令 x=0，可得 y= 002 2yx ，则 |BM|=|1+ 002 2yx |； 直线 PB： y=y0-1x0x+1，令 y=0，可得 x=-x0y0-1，则 |AN|
24、=|2+00 1xy |. 可得 |AN| |BM|=|2+00 1xy | |1+ 002 2yx | = 2002221xy= 220 0 0 0 0 00 0 0 04 4 4 4 822x y x y x yx y x y = 0 0 0 00 0 0 08 4 4 822x y x yx y x y =4， 即有 |AN| |BM|为定值 4. 20.设数列 A： a1， a2， aN (N 2).如果对小于 n(2 n N)的每个正整数 k 都有 ak an，则称 n是数列 A的一个“ G时刻”，记 G(A)是数列 A的所有“ G时刻”组成的集合 . ( )对数列 A： -2， 2
25、， -1， 1， 3，写出 G(A)的所有元素； ( )证明：若数列 A中存在 an使得 an a1，则 G(A) ； ( )证明：若数列 A满足 an-an-1 1(n=2， 3， N)，则 G(A)的元素个数不小于 aN-a1. 解析： ( )结合“ G时刻”的定义进行分析； ( )可以采用假设法和递推法进行分析； ( )可以采用假设法和列举法进行分析 . 答案： ( )根据题干可得， a1=-2， a2=2， a3=-1， a4=1， a5=3， a1 a2满足条件， 2满足条件，a2 a3不满足条件， 3不满足条件， a2 a4不满足条件， 4不满足条件， a1， a2， a3， a4
26、，均小于 a5，因此 5满足条件，因此 G(A)=2，5. ( )因为存在 an a1，设数列 A中第一个大于 a1的项为 ak，则 ak a1 ai，其中 2 i k-1，所以 k G(A)， G(A) ； ( )设 A数列的所有“ G时刻”为 i1 i2 L ik， 对于第一个“ G时刻” i1，有1ia a1 ai(i=2， 3， L， i1-1)，则1ia-ai1ia-1ia-1 1. 对于第二个“ G时刻” i1，有 ai21ia ai(i=2， 3， L， i1-1)，则2ia-1ia2ia-2ia-1 1. 类似的3ia-2ia 1，kia-kia-1 1. 于是， k (kia-kia-1)+(kia-1-kia-2)+L+(2ia-1ia)+(1ia-a1)=kia-a1. 对于 aN，若 N G(A)，则kia=aN. 若 N-G(A)，则 aNkia，否则由 (2)知kia，kia+1， L， aN，中存在“ G时刻”与只有 k个“ G时刻”矛盾 .从而 kkia-a1 aN-a1.
