1、线性代数自考真题 2012年 10月及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：20.00)1.设行列式 ，则行列式 （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 A是 n阶矩阵，O 是 n阶零矩阵，且 A2-E=O，则必有_ A. A=E B. A=-E C. A=A-1 D. |A|=1（分数：2.00）A.B.C.D.3. （分数：2.00）A.B.C.D.4.设向量组 1=(2，0，0) T， 2=(0，0，-1) T，则下列向量中可以由 1， 2线性表示的是_ A.(-1，-1，-
2、1) T B.(0，-1，-1) T C.(-1，-1，0) T D.(-1，0，-1) T（分数：2.00）A.B.C.D.5.已知 43矩阵 A的列向量组线性无关，则 r(AT)=_ A.1 B.2 C.3 D.4（分数：2.00）A.B.C.D.6.设 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是_A. 1- 2B. 1+ 2C. D. （分数：2.00）A.B.C.D.7.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.8.若矩阵 A与对角矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 3阶矩阵 A的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为_ A.
3、-9 B.-3 C.3 D.9（分数：2.00）A.B.C.D.10.二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2x1x2+2x1x3+2x2x3的规范形为_A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)11.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_13.设向量 =(1，2，1) T，=(-1，-2，-3) T，则 3-2 1（分数：2.00）填空项 1:_14.若 A为 3阶矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 B是 3阶矩阵
4、，O 是 3阶零矩阵，r(B)=1，则分块矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_16.向量组 1=(k，-2，2) T， 2= (4，8，-8) T线性相关，则数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A为 3阶矩阵， 1， 2为齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 A为 3阶实对称矩阵， 1=(0，1，1) T， 2=(1，2，x) T分别为 A的对应于不同特征值的特征向量，则数 x= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_五、B
5、计算题/B(总题数：6，分数：54.00)21.计算行列式 （分数：9.00）_22.设矩阵 （分数：9.00）_23.设向量组 （分数：9.00）_24.求解非齐次线性方程组 （分数：9.00）_25.求矩阵 （分数：9.00）_26.确定 a，b 的值，使二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：6.00)27.设 A，B 均为 n阶(n2)可逆矩阵，证明(AB)*=B*A*（分数：6.00）_线性代数自考真题 2012年 10月答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二
6、、B单项选择题/B(总题数：10，分数：20.00)1.设行列式 ，则行列式 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考察行列式的性质 5：行列式可按行(列)展开*答案为 B2.设 A是 n阶矩阵，O 是 n阶零矩阵，且 A2-E=O，则必有_ A. A=E B. A=-E C. A=A-1 D. |A|=1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A -1A=AA-1=En，则 A=A-1时，A 2-E=O其他三项可举反例排除答案为 C3. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题是对反对称矩阵定义的考察，A T=-A，易知*，各元素对应可求得 a=-1，b=0
7、，c=-1答案为 B4.设向量组 1=(2，0，0) T， 2=(0，0，-1) T，则下列向量中可以由 1， 2线性表示的是_ A.(-1，-1，-1) T B.(0，-1，-1) T C.(-1，-1，0) T D.(-1，0，-1) T（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 =k 1 1+k2 2，本题中 1， 2中间数均为 0，无论如何线性组合均不能得出-1，故A、B、C 均排除，答案为 D5.已知 43矩阵 A的列向量组线性无关，则 r(AT)=_ A.1 B.2 C.3 D.4（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 向量组的秩即为向量组的极大无关组所含向量个数，A
8、T为 34矩阵，其行向量组线性无关，所以 r(AT)为其行数 3答案为 C6.设 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是_A. 1- 2B. 1+ 2C. D. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 1=b，A 2=b，A 项：A( 1- 2)=A 1-A 2=b-b=0，B 项：A( 1+ 2)=A 1+A 2=2b，C项：*，D 项：*，答案为 D7.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 Ax=0 的任意 n-r个线性无关的解向量都是它的基础解系。r*，故基础解系所含解向量的个数为 n-r-4-2=2答案为 B8
9、.若矩阵 A与对角矩阵 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考察相似矩阵的特点，题中 P-1AP=D，故 A2=PDP-1PDP -1=PD2P-1=E答案为 A9.设 3阶矩阵 A的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为_ A.-9 B.-3 C.3 D.9（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题是对特征值定义的考察，-3 为 A的一个特征值，则 AP=-3P，-A 2P=-A(-3P)=3AP-3(-3)P=-9P答案为 A10.二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2x1x2+2x1x3+2x2x3的规范形为_A BC D （分数：2.00）A.B.C
10、. D.解析：解析 本题宜用配方法得到 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2+x3)2，故令 Z1=x1+x2+x3，得其规范形为*答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)11.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 行列式的计算，*=*12.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题是对矩阵计算的考察，*，PAP 2=PA=*13.设向量 =(1，2，1) T，=(-1，-2，-3) T，则 3-2 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(
11、5，10，9) T）解析：解析 本题为向量组的线性运算，3-3=3(1，2，1) T-2(-1，-3，-3) T=(5，10，9) T14.若 A为 3阶矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *15.设 B是 3阶矩阵，O 是 3阶零矩阵，r(B)=1，则分块矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 *16.向量组 1=(k，-2，2) T， 2= (4，8，-8) T线性相关，则数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 1与 2线性相关，则*，易得 k=-117.若线性方程组 （分数：2.00）填空
12、项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 导数矩阵为*，由方程组无解可知*故 =-118.已知 A为 3阶矩阵， 1， 2为齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 齐次方程组 Ax=0有基础解系*r(A)n，故|A|=019.设 A为 3阶实对称矩阵， 1=(0，1，1) T， 2=(1，2，x) T分别为 A的对应于不同特征值的特征向量，则数 x= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 本题是对有关实对称矩阵的重要结论的考察，实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交，故 1与 2正交01+1
13、2+1x=C*x=-220.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *五、B计算题/B(总题数：6，分数：54.00)21.计算行列式 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：22.设矩阵 （分数：9.00）_正确答案：(因|A|=20，故 A可逆，* *)解析：23.设向量组 （分数：9.00）_正确答案：(*向量组的秩为 3 1， 2， 3为一个极大线性无关组(答案不惟一)解析：24.求解非齐次线性方程组 （分数：9.00）_正确答案：(由*得到 r(A)=*24，故方程组有无穷多解通解为*，k 1，k 2为任意常数)解析：25.求矩阵 （分数：9.00）
14、_正确答案：(由*，得 A的 3个特征值为 1= 2= 3=0当 =0 时，由(0E-A)x=0得基础解系 p=(1，0，0) T则 A的属于特征值 =0 的全部特征向量为kp，k 不是为零的任意常数)解析：26.确定 a，b 的值，使二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：9.00）_正确答案：(二次型的矩阵*设 A的特征值为 1， 2， 3，由已知条件 1+ 2+ 3=a+2+(-2)=1*解得 a=1，b=2)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：6.00)27.设 A，B 均为 n阶(n2)可逆矩阵，证明(AB)*=B*A*（分数：6.00）_正确答案：(证明 由于 A，B 均为 n阶可逆矩阵，则 AB为 n阶可逆矩阵且 A-1=*所以(AB) *=|AB|(AB)-1=|A|B|B-1A-1=(|B|B-1)(|A|A-1)=B*A*)解析：
