1、线性代数自考题-10 及答案解析(总分：73.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.行列式 （分数：2.00）A.B.C.D.2.设矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 2 阶矩阵 ，则 A*=_A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=n-3(n3)， 是齐次线性方程组 Ax=0 的三个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为_ A.，+ B.，- C.-，-，- D.，+，+（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 1， 2
2、， 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4)T， 1+ 2=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=_A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_7.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设向量 a1=(1，1，1) T，a 2=(1，1，0) T，a 3=(1，0，0) T，=(0，1，1
3、) T，则 由 a1，a 2，a 3线性表示的表示式为_（分数：2.00）填空项 1:_10.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，则 B=E+A*的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 3 阶方阵的特征值为 1，-1，2，则|A-5E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 4 阶方阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，则|B-E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4，x 5)的秩为 4，而正惯性指数为 3，则二次型的规范型为 1（分数：2.00）填空项 1
4、:_15.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：2，分数：36.00)设向量组 又向量 （分数：9.00）(1).a、b 为何值时 不能由 1， 2， 3， 4线性表示?（分数：4.50）_(2).a、b 为何值时 能由 1， 2， 3， 4线性表示且表示式不惟一?（分数：4.50）_已知线性方程组 （分数：27.00）(1).讨论 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解（分数：6.75）_(2).在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)（分数：6.75）_(3).设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2= 3=
5、1，A 对应于 1=-1 的特征向量为 （分数：6.75）_(4).用配方法将二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：6.75）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设 A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素全大于零（分数：7.00）_线性代数自考题-10 答案解析(总分：73.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.行列式 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 * *答案为 A2.设矩阵 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 *答案为 C3
6、.设 2 阶矩阵 ，则 A*=_A BC D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由伴随矩阵的定义即得，答案为 A4.设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=n-3(n3)， 是齐次线性方程组 Ax=0 的三个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为_ A.，+ B.，- C.-，-，- D.，+，+（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有 D 中三个向量线性无关答案为 D5.设 1， 2， 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4)T， 1+ 2=(0，1，2，3)
7、T，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=_A BC D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因 r(A)=3，未知量个数为 4，故与 Ax=b 相应的齐次线性方程组 Ax=0 的解空间是一维的，又因 1是 Ax=b 的一个特解，故其通解形如*于是有*又由已知得*故*取 c1+c2=-1，*答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：=1 或 =-2）解析：解析 由于齐次线性方程度组有非零解因此系数行列式 * *，所以 =1
8、 或 =-27.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * 答案为*8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：解析 AB=0，故 r(A)+r(B)3 又B 为三阶非零矩阵，故 r(B)1 所以 r(A)3，|A|=0 * =7(t-8)+77=7t+21=0 t=-39.设向量 a1=(1，1，1) T，a 2=(1，1，0) T，a 3=(1，0，0) T，=(0，1，1) T，则 由 a1，a 2，a 3线性表示的表示式为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：= 1+0 2- 3）解析：解析 设线性方程组为 x1 1+x2
9、2+x3 3=，对它的增广矩阵施行初等变换，得：*显然 x1 1+x2 2+x3 3= 的同解方程组 Tx=d 就是*它的惟一解就是 x1=1，x 2=0，x 3=-1 可以惟一表示成 1， 2， 3的线性组合是 = 1+0 2- 310.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由于系数矩阵的秩为 2，所以有 3-2=1 个自由未知量11.三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，则 B=E+A*的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3，-1，0）解析：解析 设 为三阶矩阵 A 的特征值，|A|=-112=-2A -1的特征值为-1，1，*，A
10、*的特征值为 2，-2，-1，故得：B 的特征值为：3，-1，012.设 3 阶方阵的特征值为 1，-1，2，则|A-5E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-72）解析：解析 如果 0是 A 的特征值，则存在非零向量 使 A= 0，因此(A-5E)=A-5=( 0-5)，所以 0-5 是 A-5E 的特征值，由此可知 A-5E 的三个特征值为 1-5=-4，-1-5=-6，2-5=-3，所以|A-5E|=(-4)(-6)(-3)=-7213.已知 4 阶方阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，则|B-E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：24
11、）解析：解析 由于 B 与 A 相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩阵 P，使*，所以|B-E|=|P -1|B-E|P|=|P-1BP-1P-1P|=*14.设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4，x 5)的秩为 4，而正惯性指数为 3，则二次型的规范型为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：15.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由二次型矩阵的定义知所求的二次型为：*五、B计算题/B(总题数：2，分数：36.00)设向量组 又向量 （分数：9.00）(1).a、b 为何值时 不能由 1， 2， 3， 4线性表示?（分数：4.50
12、）_正确答案：(设 =x 1 1+x2 2+x3 3+x4 4，则 x1，x 2，x 3，x 4是线性方程组*的解，对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有*当 a=1 且 b=4 时，系数矩阵的秩=2，而增广矩阵的秩=3，所以方程组无解，即 a=1 且 b=4 时 不能由 1， 2， 3， 4线性表示；)解析：(2).a、b 为何值时 能由 1， 2， 3， 4线性表示且表示式不惟一?（分数：4.50）_正确答案：(当 a=1 且 b=3 时，系数矩阵的秩=3，而增广矩阵的秩=3，所以方程组有解且有无穷多解，即 可由 1， 2， 3， 4线性表示且表示式不惟一；又当 a1 时，如果 a+b-5
13、=0，即 b-5-a，则系数矩阵秩=3 且增广矩阵秩=3，方程组有解且有无穷多解，所以 可由 1， 2， 3， 4线性表示且表示式不惟一)解析：已知线性方程组 （分数：27.00）(1).讨论 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解（分数：6.75）_正确答案：(将线性方程组的增广矩阵*作初等行变换 * 当 =-2 时，r(A)=2，*=3，方程组无解； 当 -2 且 1 时，r(A)=*=3，方程组有惟一解； 当 =1 时，r(A)=*=13，方程组有无穷多个解)解析：(2).在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)（分数：6.75）_正确答案
14、：(当 =1 时，*，同解方程组为 x1=-2-x2-x3对应齐次方程组的基础解系为 1=(-1，1，0) T， 2=(-1，0，1) T非齐次方程组的一个特解 =(-2，0，0) T，所以原方程组的通解为 x=k1 1+k2 2+(k 1，k 2为任意常数)解析：(3).设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2= 3=1，A 对应于 1=-1 的特征向量为 （分数：6.75）_正确答案：(设属于 2= 3=1 的特征向量为*，则由(a，x)=0 可得到 x2+x3=0于是得到两个线性无关的解向量*令*可使得*所以*)解析：(4).用配方法将二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：6.75）_正确答案：(* 令*即*，则经过线性变换得 * 将二次型化为标准型*)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设 A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素全大于零（分数：7.00）_正确答案：(证明 对于任意取定的 1in，取第 i 个标准单位向量 i=(0，0，1，0，0) T第 i 列由 A 的正定性知道必有*第 i 行=aii0)解析：
