1、线性代数自考题-13 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：40，分数：100.00)1.下列二阶矩阵可对角化的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.2.设 A，B 是两个同阶的上三角矩阵，那么 A T B T 是_矩阵（分数：2.50）A.上三角B.下三角C.对角形D.即非上三角也非下三角3.已知 则 X= A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.4.与二阶方阵 可交换的全部方阵为 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.5.设矩阵 （分数：2.50）A.a=3，b=-1，c=1，d=3B.a=-1，b=3，c=1，
2、d=3C.a=3，b=-1，c=0，d=3D.a=-1，b=3，c=0，d=36.设 矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，则 B A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.7.下列等式中，正确的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.8.设 A 为三阶方阵，B 为 4 阶方阵，且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式|B|A|之值为（分数：2.50）A.-8B.-2C.2D.89.设行矩阵 A=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，B=(y 1 ，y 2 ，y 3 )，且 （分数：2.50）A.2B.1C.-1D.-210.设矩阵 则 AB= A0 B(1，-1) C
3、D （分数：2.50）A.B.C.D.11.设 A、B 为 n 阶矩阵，则 A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充要条件为（分数：2.50）A.A=EB.B=OC.AB=BAD.A=B12.设矩阵 A、B、C 满足 AC=CB，且 C 为 mn 矩阵，则 A 和 B 分别是（分数：2.50）A.nm 与 mn 矩阵B.mn 与 nm 矩阵C.nn 与 mm 矩阵D.mm 与 nn 矩阵13.A 是 mn 阶矩阵，B 是 kt 阶矩阵，若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（分数：2.50）A.AB 的第 j 行元素全等于零B.AB 的第 j 列元素全等于零C.BA 的第 j
4、行元素全等于零D.BA 的第 j 列元素全等于零14.设 （分数：2.50）A.2x=7B.2y=xC.y=x+1D.y=x-115.设矩阵 A、B、C 分别是 23、32、33 矩阵，则下列各式有意义的是（分数：2.50）A.CAB.CBAC.BCD.AB-CB16.设矩阵 A、B、C 分别是 mn、ms、sm 矩阵，则下列运算有意义的是（分数：2.50）A.ABCB.(A+B)CC.AT(B+CT)D.BCAT17.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵(mn)，则下列运算结果是 n 阶方阵的是（分数：2.50）A.ABB.ATBTC.BTATD.(A+B)T18.设 A 是 kl
5、 阶矩阵，B 是 mn 阶矩阵，如果 AC T B 有意义，则 C 是_矩阵（分数：2.50）A.knB.kmC.lmD.ml19.A，B 为 n 阶方阵，满足等式 AB=O，则必有（分数：2.50）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.|A|=0 或|B|=0D.|A|+|B|=020.下列矩阵与矩阵 乘法可交换的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.21.设 A、B、C 皆为 n 阶矩阵，下列结论错误的是（分数：2.50）A.A+B+C=C+B+AB.(A+B)C=AC+BCC.C(A+B)=CA+CBD.(A+B)C=CA+CB22.已知 AB=AC，则（分数：2.50
6、）A.若 A=O 时，B=CB.若 AO 时，则 B=CC.无论 A 是否为 O，均有 B=CD.B 可能不等于 C23.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于（分数：2.50）A.A-1+B-1B.A+BC.A(A+B)-1BD.(A+B)-124.设 A、B 为 n 阶方阵，则下列各式一定成立的是（分数：2.50）A.(A+B)2=A2+2AB+B2B.(A-B)(A+B)=A2-B2C.(A+B)2=A2+AB+BA+B2D.(A+B)(A-B)=A2-B225.若矩阵 A 与 B 可以相加，则必有（分数：2.50）A.A 与
7、 B 可以相乘B.B 与 A 可以相乘C.A 与 BT 可以相乘D.A 与 B 不能相减26.设 A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（分数：2.50）A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA27.若必有 A T =A，矩阵 A 为（分数：2.50）A.正交矩阵B.对称矩阵C.可逆矩阵D.三角矩阵28.设 A 为 n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（分数：2.50）A.A-ATB.CACT，C 为任意 n 阶方阵C.AATD.(AAT)B，B 为 n 阶方阵29.如果 A，B 是同阶对称矩阵，则 AB（分数：2.50）A.是对称矩阵B.是非对称
8、矩阵C.是反对称矩阵D.不一定是对称矩阵30.设 A 为反对称矩阵，则（分数：2.50）A.|A|=0B.|A|0C.A+AT=OD.A2 为反对称矩阵31.设 A 为三阶矩阵，|A|=1，则|-2A T |=（分数：2.50）A.-8B.-2C.2D.832.设 A 为 n 阶方阵，k 为常数，|A|和|kA|分别是 A 和 kA 的行列式，则有（分数：2.50）A.|kA|=k|A|B.|kA|=|k|A|C.|kA|=k|A|nD.|kA|=kn|A|33.设 A 是 n 阶方阵，且|A|=5，则|(5A T ) -1 |=（分数：2.50）A.5n+1B.5n-1C.5-n-1D.5-
9、n34.设 A、B 均为 n 阶矩阵，则 A|A+AB|=0 （分数：2.50）A.B.C.D.35.若 A，B 均为 n 阶方阵，且 AB=0，则（分数：2.50）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.|A|=0 或|B|=0D.|A|+|B|=036.设 A，B 为 n 阶矩阵，则（分数：2.50）A.|AB|=|BA|B.AB=BAC.|A+B|=|A|+|B|D.(A+B)-1=A-1+B-137.设 ， 是三维列向量，则行列式|，|=（分数：2.50）A.|，|B.|-，-，-|C.|，+，-|D.|-，+，|38.如果 n 阶方阵 A 满足 A T A=AA T =I，则 A 的
10、行列式|A|为（分数：2.50）A.|A|=1B.|A|=-1C.|A|=1 或-1D.|A|=039.设 A 是 n 阶方阵，B 是对换 A 中两列所得的方阵，若|A|B|，则（分数：2.50）A.|A|可能是零B.|A|0C.|A+B|0D.|A-B|040.设 A 是三阶反对称矩阵，即 A T =-A，则|A|=（分数：2.50）A.0B.1C.1D.0 或 1线性代数自考题-13 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：40，分数：100.00)1.下列二阶矩阵可对角化的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 n 阶方阵
11、A 相似于对角矩阵2.设 A，B 是两个同阶的上三角矩阵，那么 A T B T 是_矩阵（分数：2.50）A.上三角B.下三角 C.对角形D.即非上三角也非下三角解析：解析 A T ，B T 均为下三角阵，因此 A T B T 也是下三角阵答案为 B3.已知 则 X= A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 本题考查矩阵的运算答案为 B4.与二阶方阵 可交换的全部方阵为 A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由于矩阵乘法无交换律，故不是所有的方阵都满足已知要求设所求方阵5.设矩阵 （分数：2.50）A.a=3，b=-1，c=1，d=3B.a=-
12、1，b=3，c=1，d=3C.a=3，b=-1，c=0，d=3D.a=-1，b=3，c=0，d=3解析：解析 6.设 矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，则 B A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 在 ABA*=2BA*+E 两端右乘 A，得 ABA*A=2BA*A+A 因为 A*A=|A|E=3E，故 3(A-2E)B=A 从而 7.下列等式中，正确的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 对任意矩阵 A=(a ij ) mn ，kA=(ka ij ) mn 答案为 D8.设 A 为三阶方阵，B 为 4 阶方阵，且行列式|A|=1，
13、|B|=-2，则行列式|B|A|之值为（分数：2.50）A.-8 B.-2C.2D.8解析：解析 根据矩阵数乘运算律，与行列式的性质，因为 A 是三阶的，所以|B|A|=(-2) 3 1=-8答案为 A9.设行矩阵 A=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，B=(y 1 ，y 2 ，y 3 )，且 （分数：2.50）A.2 B.1C.-1D.-2解析：解析 AB T =x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 又因为 10.设矩阵 则 AB= A0 B(1，-1) C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 11.设 A、B 为 n 阶矩阵，则 A 2 -B 2 =(A+B)
14、(A-B)的充要条件为（分数：2.50）A.A=EB.B=OC.AB=BA D.A=B解析：解析 A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)=A 2 -AB+BA-B 2 两边消去 A 2 -B 2 得 AB-BA=0 即 AB=BA 故 A、B 为 n 阶矩阵，则 A 2 -B 2 =(A+B)(A-B) 的充要条件是 AB=BA答案为 C12.设矩阵 A、B、C 满足 AC=CB，且 C 为 mn 矩阵，则 A 和 B 分别是（分数：2.50）A.nm 与 mn 矩阵B.mn 与 nm 矩阵C.nn 与 mm 矩阵D.mm 与 nn 矩阵 解析：解析 根据矩阵乘法的定义，A 的列数等于 C
15、的行数，A 的行数等于 C 的行数，因此 A 为 mm 矩阵；同理 B 的行数等于 C 的列数，B 的列数等于 C 的列数，因此 B 为 nn 矩阵答案为 D13.A 是 mn 阶矩阵，B 是 kt 阶矩阵，若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（分数：2.50）A.AB 的第 j 行元素全等于零B.AB 的第 j 列元素全等于零 C.BA 的第 j 行元素全等于零D.BA 的第 j 列元素全等于零解析：解析 矩阵 AB 的第(i，j)元素等于 A 的第 i 行乘以 B 的第 j 列，因此当 B 的第 j 列元素全为零时，AB 的第 j 列元素全为零，正确的选择应该是 B注意 B
16、和 A 不一定可以相乘，即 BA 未必有意义，因此C、D 不可能是正确的选择答案为 B14.设 （分数：2.50）A.2x=7B.2y=xC.y=x+1 D.y=x-1解析：解析 由于 15.设矩阵 A、B、C 分别是 23、32、33 矩阵，则下列各式有意义的是（分数：2.50）A.CAB.CBA C.BCD.AB-CB解析：解析 由于 C 的列数等于 B 的行数，因此 CB 有意义，并且 CB 的列数等于 A 的行数，所以 CBA 有意义答案为 B16.设矩阵 A、B、C 分别是 mn、ms、sm 矩阵，则下列运算有意义的是（分数：2.50）A.ABCB.(A+B)CC.AT(B+CT)
17、D.BCAT解析：解析 由于 A T 为 nm 矩阵，而 B+C T 为 ms 矩阵，所以 A T (B+C T )有意义答案为 C17.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵(mn)，则下列运算结果是 n 阶方阵的是（分数：2.50）A.ABB.ATBT C.BTATD.(A+B)T解析：解析 由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知 A T B T 是 n 阶方阵答案为 B18.设 A 是 kl 阶矩阵，B 是 mn 阶矩阵，如果 AC T B 有意义，则 C 是_矩阵（分数：2.50）A.knB.kmC.lmD.ml 解析：解析 由矩阵乘法定义知 C T 为 lm 矩阵，又由矩阵
18、转置的定义可得 C 为 ml 矩阵答案为D19.A，B 为 n 阶方阵，满足等式 AB=O，则必有（分数：2.50）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.|A|=0 或|B|=0 D.|A|+|B|=0解析：解析 A、B 为 n 阶方阵，且 AB=0 则|AB|=|A|B|=0，故|A|=0 或|B|=0答案为 C20.下列矩阵与矩阵 乘法可交换的是 A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 21.设 A、B、C 皆为 n 阶矩阵，下列结论错误的是（分数：2.50）A.A+B+C=C+B+AB.(A+B)C=AC+BCC.C(A+B)=CA+CBD.(A+B)C=CA+
19、CB 解析：解析 (A+B)C=AC+BCCA+CB矩阵的乘法没有交换律答案为 D22.已知 AB=AC，则（分数：2.50）A.若 A=O 时，B=CB.若 AO 时，则 B=CC.无论 A 是否为 O，均有 B=CD.B 可能不等于 C 解析：解析 AB=AC 得 A(B-C)=0，|A|B-C|=0故|A|=0 或|B-C|=0答案为 D23.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于（分数：2.50）A.A-1+B-1B.A+BC.A(A+B)-1B D.(A+B)-1解析：解析 因为 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为
20、 n 阶可逆矩阵，则 (A -1 +B -1 )A=E+B -1 A=B -1 (B+A)(A -1 +B -1 )A(B+A) -1 B =B -1 (B+A)(B+A) -1 B=E 故(A -1 +B -1 ) -1 =A(B+A) -1 B答案为 C24.设 A、B 为 n 阶方阵，则下列各式一定成立的是（分数：2.50）A.(A+B)2=A2+2AB+B2B.(A-B)(A+B)=A2-B2C.(A+B)2=A2+AB+BA+B2 D.(A+B)(A-B)=A2-B2解析：解析 矩阵乘法不满足交换律答案为 C25.若矩阵 A 与 B 可以相加，则必有（分数：2.50）A.A 与 B
21、可以相乘B.B 与 A 可以相乘C.A 与 BT 可以相乘 D.A 与 B 不能相减解析：解析 由于 A 与 B 有相同的行数与列数，从而 A 的列数等于 B“的行数，故 A 与 B“可以相乘答案为 C26.设 A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（分数：2.50）A.AB-BAB.AB+BA C.ABD.BA解析：解析 若 A 满足 A T =-A，则称 A 为实反对称矩阵，逐项排查 (AB-BA) T =(AB) T -(BA) T =B T A T -A T B T =-BA+AB=AB-BA不符 (AB) T =B T A T =-BA不符 (
22、BA) T =A T B T =-AB不符 (AB+BA) T =(AB) T +(BA) T =B T A T +A T B T =-BA-AB=-(AB+BA)符合条件 答案为 B27.若必有 A T =A，矩阵 A 为（分数：2.50）A.正交矩阵B.对称矩阵 C.可逆矩阵D.三角矩阵解析：解析 这是对称矩阵的定义，所以选项 B 正确考虑选项 A，如果矩阵取 则 A T =A，但 故选项 A 不对A -1 不存在，故选项 C 不对若 28.设 A 为 n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（分数：2.50）A.A-ATB.CACT，C 为任意 n 阶方阵C.AAT D.(AAT)B，B
23、为 n 阶方阵解析：解析 (AA T ) T =(A T ) T A T =AA T AA T 为对称矩阵答案为 C29.如果 A，B 是同阶对称矩阵，则 AB（分数：2.50）A.是对称矩阵B.是非对称矩阵C.是反对称矩阵D.不一定是对称矩阵 解析：解析 设 A 与 B 均为对称矩阵但30.设 A 为反对称矩阵，则（分数：2.50）A.|A|=0B.|A|0C.A+AT=O D.A2 为反对称矩阵解析：解析 A 为反对称矩阵，则 A T =-A，故本题选 C答案为 C31.设 A 为三阶矩阵，|A|=1，则|-2A T |=（分数：2.50）A.-8 B.-2C.2D.8解析：解析 |-2A
24、 T |=(-2) 3 |A T |=(-2) 3 |A|=-81=-8答案为 A32.设 A 为 n 阶方阵，k 为常数，|A|和|kA|分别是 A 和 kA 的行列式，则有（分数：2.50）A.|kA|=k|A|B.|kA|=|k|A|C.|kA|=k|A|nD.|kA|=kn|A| 解析：解析 |kA|=k n |A|答案为 D33.设 A 是 n 阶方阵，且|A|=5，则|(5A T ) -1 |=（分数：2.50）A.5n+1B.5n-1C.5-n-1 D.5-n解析：解析 因为|A|=5，所以 34.设 A、B 均为 n 阶矩阵，则 A|A+AB|=0 （分数：2.50）A. B.
25、C.D.解析：解析 |A+AB|=|A(I+B)|=|A|I+B|=0 |A|=0 或|I+B|=0 充分性成立由|A|=0 或|I+B|=0 知，|A(I+B)|=0 即|A+AB|=0 必要性成立，所以，选项 A 正确；选项 B 中(A+B) 2 =A 2 +AB+BA+B 2 一般情况下ABBA，所以选项 B 错误；选项 C 中(AB) T =B T A T ，所以选项 C 错误，选项 D 中假设 35.若 A，B 均为 n 阶方阵，且 AB=0，则（分数：2.50）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.|A|=0 或|B|=0 D.|A|+|B|=0解析：解析 36.设 A，B 为
26、n 阶矩阵，则（分数：2.50）A.|AB|=|BA| B.AB=BAC.|A+B|=|A|+|B|D.(A+B)-1=A-1+B-1解析：解析 |AB|=|A|B|=|BA|矩阵乘法没有交换律答案为 A37.设 ， 是三维列向量，则行列式|，|=（分数：2.50）A.|，|B.|-，-，-|C.|，+，-|D.|-，+，| 解析：解析 根据行列式的运算法则：|，|=-|，|， |-，-，-|=-|，|=-|，|， |，+，-|=|，-|+|，-|=|，-|+|，|=-2|，|， |-，+，|=|-，+，|=|-，|=|，|， 所以选项 D 成立答案为 D38.如果 n 阶方阵 A 满足 A
27、T A=AA T =I，则 A 的行列式|A|为（分数：2.50）A.|A|=1B.|A|=-1C.|A|=1 或-1 D.|A|=0解析：解析 |AA T |=|A|A T |=|A| 2 =|I|=1，所以|A|=1答案为 C39.设 A 是 n 阶方阵，B 是对换 A 中两列所得的方阵，若|A|B|，则（分数：2.50）A.|A|可能是零B.|A|0 C.|A+B|0D.|A-B|0解析：解析 A 对换两列得到到 B 故|B|=-|A|且|A|B|故|A|0答案为 B40.设 A 是三阶反对称矩阵，即 A T =-A，则|A|=（分数：2.50）A.0 B.1C.1D.0 或 1解析：解析 由于|A|=|A T |=|-A|=(-1) 3 |A|=-|A|，所以|A|=0答案为 A
