1、线性代数自考题-18 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：12，分数：40.00)1.若 mn 矩阵 A 中 n 个列向量线性无关，则 A 的秩（分数：4.00）A.大于 mB.大于 nC.等于 nD.等于 m2.向量组 1 =(1，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，6，3)的秩为（分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.设有向量组 1 ， 2 ， s 1 ， 2 ， t 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的秩分别为 r 1 ，r 2 ，r 3 ，则 r 1 ，r 2 ，r 3 ，之间的正确关系是（分数：4.00）A.r3=
2、r1+r2B.r3-r1r2C.r3r1+r2D.r3r1+r24.设有向量组 1 =(1，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（分数：4.00）A.1，2，3B.1，2，4C.1，2，5D.1，2，4，55.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为（分数：3.00）A.向量组 11，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示B.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示C.向量组
3、 1，2，m 与向量组 1，2，m 等价D.矩阵 A=(1，2，m)与矩阵 B=(1，2，m)等价6.设 A=(a ij )是 sr 矩阵，B=(b ij )是 rs 矩阵，如果 BA=I r ，则必有（分数：3.00）A.rsB.rsC.rsD.rs7.在 R 3 中形如(a，0，b)的所有向量构成的线性空间的维数是（分数：3.00）A.0B.1C.2D.38.下面四个向量组中是 R 3 的一组基的是（分数：3.00）A.(0，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)B.(1，0，0)，(0，0，1)，(1，0，1)C.(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)D.(1，1，1)，(2，
4、2，2)，(3，3，3)9.向量组 （分数：3.00）A.是 R3 的一组基B.线性相关C.不是 R3 的基D.是 R3 的标准正交基10.设 （分数：3.00）A.(2，-1，3，2)T，(-1，1，1，-3)TB.(-1，0，0，0)T，(1，1，0，0)TC.(-1，0，0，0)T，(1，3，0，0)TD.(1，0，0，0)T，(0，1，0，0)T11.设 （分数：3.00）A.(2，1，2)TB.(1，0，1)TC.(0，1，0)TD.(0，0，1)T12.已知 R 3 中的向量 x=(6，9，14) T ，e 1 =(1，1，1) T ，e 2 =(1，1，2) T ，e 3 =(1
5、，2，3) T ，则 x 在 e 1 ，e 2 ，e 3 下的坐标是（分数：3.00）A.(1，2，3)TB.(2，1，3)TC.(3，1，2)TD.(1，3，2)T二、填空题(总题数：30，分数：60.00)13.已知三维向量 =(1，-3，3)，=(1，0，-1)则 +3= 1 （分数：2.00）14.已知 =(2，1，3)，=(-1，3，6)则 2+3= 1 （分数：2.00）15.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )I=m，|( 1 ， 2 ， 3 ， 2 )|=n，则|( 3 ， 2 1 ，( 1 + 2 )|= 1 （分数：
6、2.00）16.设向量 a 1 =(1，1，1) T ，a 2 =(1，1，0) T ，a 3 =(1，0，0) T ，=(0，1，1) T ，则 由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示的表示式为 1 （分数：2.00）17.当 t 1 时，向量组 1 =(1，0，1)， 2 =(2，2，3)， 3 =(1，3，t)线性无关 （分数：2.00）18.当 k= 1 时，向量组 1 =(6，k+1，7)， 2 =(k，2，2)， 3 =(k，1，0)线性相关 （分数：2.00）19.已知向量组 （分数：2.00）20.已知向量组 1 =(1，2，3)， 2 =(3，-1，2)， 3 =(2，3，
7、k)线性相关，则数 k= 1 （分数：2.00）21.两个同维向量 与 线性相关的充要条件为 1 （分数：2.00）22.已知 1 ， 2 线性无关而 1 ， 2 ， 3 线性相关，则向量组 1 ，3 2 ，7 3 的极大无关组为 1 （分数：2.00）23.设向量组 （分数：2.00）24.若向量 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示法惟一，则 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1 （分数：2.00）25.由 m 个 n 维向量组成的向量组，当 1 时，向量组一定线性相关 （分数：2.00）26.如果向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则从这个向量组中任意取出 t 个(1tm)，
8、则这 t个向量线性 1 （分数：2.00）27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=-4x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1 （分数：2.00）28.一个线性无关的向量组的极大无关组就是 1 （分数：2.00）29.设向量组 1 =(1，0，0，1)， 2 =(0，1，0，-1)， 3 =(0，0，1，-1)，则 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1 （分数：2.00）30.已知向量组 （分数：2.00）31.设矩阵 （分数：2.00）32.若向量组 （分数：2.00）33.设三维向量 （分数：2.00）34.设三阶方阵 A=(， 2 ，
9、3 )，B=(， 2 ， 3 )，其中 ， 2 ， 3 是三维列向量，如果|A|=2，|B|=3，则|A+B|= 1 （分数：2.00）35.在 n 维向量空间中向量 和任意向量 的内积都等于零的充要条件是|= 1 （分数：2.00）36.已知向量组 u 与向量组 （分数：2.00）37.向量 = 1 在基 （分数：2.00）38.当 k 为 1 时，向量组 （分数：2.00）39.三维向量空间 R 3 中向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 k 1 ，k 2 ，k 3 ，则 在基 1 、k 2 、 3 下的坐标为 1 （分数：2.00）40.向量空间 V=(x 1 ，x 2 ，x n
10、)|x 1 +x 2 +x n =0的维数为 1 （分数：2.00）41.已知 是 R 3 的一组基，则 （分数：2.00）42.设 n 维向量 与 R n 中每一向量均正交，则|= 1 （分数：2.00）线性代数自考题-18 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：12，分数：40.00)1.若 mn 矩阵 A 中 n 个列向量线性无关，则 A 的秩（分数：4.00）A.大于 mB.大于 nC.等于 n D.等于 m解析：解析 A 的秩等于 A 的列向量组的秩，也等于 A 的行向量组的秩，而 A 的列向量组的秩为 n，故选C答案为 C2.向量组 1 =(1
11、，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，6，3)的秩为（分数：4.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析 由向量组 1 =(1，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，6，3)组成的矩阵： 3.设有向量组 1 ， 2 ， s 1 ， 2 ， t 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的秩分别为 r 1 ，r 2 ，r 3 ，则 r 1 ，r 2 ，r 3 ，之间的正确关系是（分数：4.00）A.r3=r1+r2B.r3-r1r2 C.r3r1+r2D.r3r1+r2解析：解析 不妨将每个向量看成是列向量，设 A=( 1 ， s )，B=( 1 ， t )，则分块阵(
12、A，B)的秩就是 r 3 ，因为 r(A，B)r(A)+r(B)，故 r 3 r 1 +r 2 ，即 r 3 -r 1 r 2 ，应该选择B答案为 B4.设有向量组 1 =(1，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（分数：4.00）A.1，2，3B.1，2，4 C.1，2，5D.1，2，4，5解析：解析 故 5.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为（分数：3.00）A.向量组 11，2
13、，m 可由向量组 1，2，m 线性表示B.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示C.向量组 1，2，m 与向量组 1，2，m 等价D.矩阵 A=(1，2，m)与矩阵 B=(1，2，m)等价 解析：解析 举反例设 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)， 1 =(0，0，1，0) 2 =(0，0，0，1)则 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，但 1 ， 2 与 1 ， 2 不能互相线性表示，故排除 A，B，C答案为 D6.设 A=(a ij )是 sr 矩阵，B=(b ij )是 rs 矩阵，如果 BA=I r ，则必有（分数：3.00）A.rsB.rsC
14、.rs D.rs解析：解析 由于 r=r(I r )=r(BA)minr(B)，r(A)，故得 r(B)r，且 r(A)r故 rs答案为C7.在 R 3 中形如(a，0，b)的所有向量构成的线性空间的维数是（分数：3.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 1 =(1，0，0)， 2 =(0，0，1)线性无关且任意 =(a，0，b)都可以由 1 ， 2 线性表出， 1 ， 2 就是 V 的一个基，dimV=2答案为 C8.下面四个向量组中是 R 3 的一组基的是（分数：3.00）A.(0，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)B.(1，0，0)，(0，0，1)，(1，0，1)C.(1，0
15、，1)，(0，1，1)，(1，1，1) D.(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)解析：解析 考查向量空间基的概念，向量空间的基就是该向量空间的极大线性无关向量组，从而可知任意三个线性无关的三维向量都是 R 3 的一组基 因为 9.向量组 （分数：3.00）A.是 R3 的一组基 B.线性相关C.不是 R3 的基D.是 R3 的标准正交基解析：解析 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，因此是 R 3 的一组基，但 1 ， 2 ， 3 不是正交向量组，因此不是正交基答案为 A10.设 （分数：3.00）A.(2，-1，3，2)T，(-1，1，1，-3)T B.(-1，0，0，0)T，(1
16、，1，0，0)TC.(-1，0，0，0)T，(1，3，0，0)TD.(1，0，0，0)T，(0，1，0，0)T解析：解析 对矩阵 A 作初等行变换化为阶梯型： 11.设 （分数：3.00）A.(2，1，2)TB.(1，0，1)TC.(0，1，0)TD.(0，0，1)T 解析：解析 首先已知 1 、 2 线性无关(其坐标不成比例)，又令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，则1， 2 ， 3 线性无关 |A|0 由于 A 的左上角二阶主子式(记为|A 11 |不等于 0，故选 即可 12.已知 R 3 中的向量 x=(6，9，14) T ，e 1 =(1，1，1) T ，e 2 =(1，1，2) T
17、 ，e 3 =(1，2，3) T ，则 x 在 e 1 ，e 2 ，e 3 下的坐标是（分数：3.00）A.(1，2，3)T B.(2，1，3)TC.(3，1，2)TD.(1，3，2)T解析：解析 设 x 在 e 1 ，e 2 ，e 3 下的坐标为 x 1 ，x 2 ，x 3 ，则应有 故由等式两边向量各分量对应相等，得非齐次线性方程组 二、填空题(总题数：30，分数：60.00)13.已知三维向量 =(1，-3，3)，=(1，0，-1)则 +3= 1 （分数：2.00）解析：(4，-3，0)解析 +3=(1+3，-3+0，3+(-3)=(4，-3，0)14.已知 =(2，1，3)，=(-1，
18、3，6)则 2+3= 1 （分数：2.00）解析：(1，11，24)解析 2+3=(4，2，6)+(-3，9，18)=(1，11，24)15.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )I=m，|( 1 ， 2 ， 3 ， 2 )|=n，则|( 3 ， 2 1 ，( 1 + 2 )|= 1 （分数：2.00）解析：-(m+n) 解析 |( 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )| =|( 3 ， 2 ， 1 ， 1 )|+|( 3 ， 2 ， 1 ， 2 )| =-| 1 2 3 1 |+(-1)| 1 2 3 2 | =-(m+n)16.设
19、向量 a 1 =(1，1，1) T ，a 2 =(1，1，0) T ，a 3 =(1，0，0) T ，=(0，1，1) T ，则 由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示的表示式为 1 （分数：2.00）解析：= 1 +0 2 - 3 解析 设线性方程组为 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，对它的增广矩阵施行初等变换，得： 显然 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 的同解方程组 Tx=d 就是 17.当 t 1 时，向量组 1 =(1，0，1)， 2 =(2，2，3)， 3 =(1，3，t)线性无关 （分数：2.00）解析： 解析 向量 1 ， 2 ， 3 组成的矩阵： 1
20、， 2 ， 3 线性无关，故 r(A)=3，所以 18.当 k= 1 时，向量组 1 =(6，k+1，7)， 2 =(k，2，2)， 3 =(k，1，0)线性相关 （分数：2.00）解析：k=4 或 解析 解得 k=4 或 19.已知向量组 （分数：2.00）解析：k=2 解析 向量 1 ， 2 ， 3 线性相关，故对 1 ， 2 ， 3 组成的矩阵作初等变换，即由于 1 ， 2 ， 3 线性相关，故 k=220.已知向量组 1 =(1，2，3)， 2 =(3，-1，2)， 3 =(2，3，k)线性相关，则数 k= 1 （分数：2.00）解析：5 解析 设 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )
21、，若 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关，则 A 的秩 R3 21.两个同维向量 与 线性相关的充要条件为 1 （分数：2.00）解析：， 成比例解析 两个同维向量 与 线性相关，故 l+k=0，(l，k 不全为 0)，当 l，k都不为 0 时， 可互相线性表示，当 l=0，k0 或 l0，k=0 时， 可由 表示或 可由 表示，综上所述， 成比例22.已知 1 ， 2 线性无关而 1 ， 2 ， 3 线性相关，则向量组 1 ，3 2 ，7 3 的极大无关组为 1 （分数：2.00）解析： 1 ，3 2 解析 由于 1 与 3 2 线性无关，并且 7 3 可由 1 ，3 2 线性表示23.设
22、向量组 （分数：2.00）解析：a0，b0，c0 解析 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，因此矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )为满秩矩阵， 24.若向量 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示法惟一，则 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1 （分数：2.00）解析：3 解析 向量 可由向量 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示法惟一知， 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 r( 1 ， 2 ， 3 )=325.由 m 个 n 维向量组成的向量组，当 1 时，向量组一定线性相关 （分数：2.00）解析：mn解析 由于向量组里都是 n 维向量，任意 n+1 个 n 维向量必线性相关，故
23、 mn 时，向量组线性相关26.如果向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则从这个向量组中任意取出 t 个(1tm)，则这 t个向量线性 1 （分数：2.00）解析：无关解析 线性无关组的部分向量组成的向量组也是线性无关的27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=-4x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1 （分数：2.00）解析：0 解析 二次型矩阵为： 因为 r(A)=2，故|A|=0， 28.一个线性无关的向量组的极大无关组就是 1 （分数：2.00）解析：它本身解析 一个线性无关的向量组的极大无关组就是它本身29.设向量组 1 =(1
24、，0，0，1)， 2 =(0，1，0，-1)， 3 =(0，0，1，-1)，则 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1 （分数：2.00）解析：3 解析 由 1 ， 2 ， 3 组成的矩阵为： 30.已知向量组 （分数：2.00）解析：3 解析 以 1 ， 2 ， 3 为列向量组成 43 矩阵，然后用初等行变换化为行阶梯形矩阵 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 t-3=0 31.设矩阵 （分数：2.00）解析：1 解析 对矩阵 A 作初等变换，有 32.若向量组 （分数：2.00）解析：1 解析 33.设三维向量 （分数：2.00）解析： 解析 题设条件可以用分块矩阵表示为 A( 1 ， 2 ，
25、3 )=( 2 ， 3 ， 4 ) 方法一：由于 所以( 1 ， 2 ， 3 )为可逆矩阵，从而 方法二：设 4 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，对方程组的增广矩阵作初等行变换得 解出 4 =2 1 - 2 + 3 ，于是 34.设三阶方阵 A=(， 2 ， 3 )，B=(， 2 ， 3 )，其中 ， 2 ， 3 是三维列向量，如果|A|=2，|B|=3，则|A+B|= 1 （分数：2.00）解析：20 解析 |A+B|=|+，2 2 ，2 3 |=|，2 2 ，2 3 |+|，2 2 ，2 3 |=2 2 |， 2 ， 3 |+2 2 |， 2 ， 3 |=4|A|+4|B|=8
26、+12=2035.在 n 维向量空间中向量 和任意向量 的内积都等于零的充要条件是|= 1 （分数：2.00）解析：0 解析 设 36.已知向量组 u 与向量组 （分数：2.00）解析：3 解析 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，秩( 1 ， 2 ， 3 )=3，又 u 与 1 ， 2 ， 3 等价，因此有相同的秩37.向量 = 1 在基 （分数：2.00）解析： 解析 38.当 k 为 1 时，向量组 （分数：2.00）解析：2 解析 1， 2 ， 3 不能构成 R 3 的一组基 1 ， 2 ， 3 线性相关 39.三维向量空间 R 3 中向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 k 1
27、 ，k 2 ，k 3 ，则 在基 1 、k 2 、 3 下的坐标为 1 （分数：2.00）解析： 解析 故 在基 1 ，k 2 ， 3 下的坐标为 40.向量空间 V=(x 1 ，x 2 ，x n )|x 1 +x 2 +x n =0的维数为 1 （分数：2.00）解析：n-1 解析 x 1 +x 2 +x n =0 表示 x 1 ，x 2 ，x n 线性相关，其系数矩阵的秩为，故向量空间 V 的基向量有 n-1 个向量即 V 的维数为 n-141.已知 是 R 3 的一组基，则 （分数：2.00）解析： 解析 以 1 ， 2 ， 3 ， 为列向量的矩阵作初等行变换，有 因此 即 在 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 42.设 n 维向量 与 R n 中每一向量均正交，则|= 1 （分数：2.00）解析：0 解析 设 由于 a 与每一个 n 维向量均正交，因此 a 与
