1、陕西省专升本考试高等数学模拟 6 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.下列说法正确的是_（分数：5.00）A.无穷小的和为无穷小B.无穷小的商为无穷小C.两个无穷大的差为无穷小D.无限个无穷大的积为无穷大2.设 ，则 f (27) ()=_ A0 B C （分数：5.00）A.B.C.D.3.设 f(x)=arctanx 2 ，则 （分数：5.00）A.B.C.D.4.级数 （分数：5.00）A.x-1B.x0C.0x1D.-1x05.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0、y=x 2 、x=1 围成的区域，
2、则 f(x，y)=_ Axy B2xy C （分数：5.00）A.B.C.D.二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）7.极限 （分数：5.00）8.已知矢量 a=3，2，-2与 （分数：5.00）9.微分方程 y“+y“+y=0 的通解为 1 （分数：5.00）10.设函数 z=xe 2y ，则其在点 P(1，0)处沿从点 P(1，0)到点 Q(2，-1)的方向的方向导数为 1 （分数：5.00）三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.已知函数 （分数：8.00）_12.设函数 y=y(x)由方程 y=(lnx) x x lnx 确定，求
3、 y“ （分数：8.00）_13.求曲线 （分数：8.00）_14.计算定积分 （分数：8.00）_15.设 ，其中 f(u)，g(v)分别为可微函数，求 （分数：8.00）_16.求 （分数：8.00）_17.将函数 （分数：8.00）_18.设 ，求 （分数：8.00）_19.计算曲线积分 （分数：8.00）_20.求微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足 y| x=e =1 的特解 （分数：8.00）_四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.(1)求曲线 y=x 2 ，y=2-x 2 所围图形的面积； (2)求(1)中图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积
4、 （分数：10.00）_22.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)上二阶可导，且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1)在(a，b)内，g(x)0； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 （分数：10.00）_陕西省专升本考试高等数学模拟 6 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.下列说法正确的是_（分数：5.00）A.无穷小的和为无穷小B.无穷小的商为无穷小C.两个无穷大的差为无穷小D.无限个无穷大的积为无穷大 解析：解析 无限多个(或有限多个)无穷大量的乘积仍是无穷大量2
5、.设 ，则 f (27) ()=_ A0 B C （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 所以 3.设 f(x)=arctanx 2 ，则 （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 4.级数 （分数：5.00）A.x-1B.x0 C.0x1D.-1x0解析：解析 5.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0、y=x 2 、x=1 围成的区域，则 f(x，y)=_ Axy B2xy C （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 记 从而 二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）解析：解析 7.极限 （分数：5.00）
6、解析：1解析 令 ， 所以 y1，x+，即8.已知矢量 a=3，2，-2与 （分数：5.00）解析：4解析 根据向量垂直的充要条件得 3+5-2m=0 所以 m=49.微分方程 y“+y“+y=0 的通解为 1 （分数：5.00）解析： 解析 y“+y“+y=0 对应的特征方程为 r 2 +r+1=0，其特征根为 ，故微分方程通解为 10.设函数 z=xe 2y ，则其在点 P(1，0)处沿从点 P(1，0)到点 Q(2，-1)的方向的方向导数为 1 （分数：5.00）解析： 解析 方向 l 即为 所以 故 三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.已知函数 （分数：8.00）_正确答
7、案：()解析：由初等函数连续性的性质知，一切初等函数在其定义区间内皆连续当 x0 时，函数 ，所以函数 f(x)在 x0 时是处处连续的，要使函数 f(x)在(-，+)内连续，只需使其在 x=0 处连续即可由已知题设必有 即 因 12.设函数 y=y(x)由方程 y=(lnx) x x lnx 确定，求 y“ （分数：8.00）_正确答案：()解析：13.求曲线 （分数：8.00）_正确答案：()解析：函数的定义域是(-，+)，且 当 时，y“=0；当 x 2 =0 时，y“不存在，故以 和 x 2 =0 将定义域分成三个部分区间，列表讨论如下： x 0 (0，+) y“ - 0 + 不存在
8、+ y=f(x) 凸 有拐点 凹 无拐点 凹 所以，在 14.计算定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：方法一 凑微分法 方法二 第二换元法 15.设 ，其中 f(u)，g(v)分别为可微函数，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：16.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：积分区域 D 如图所示，由于被积函数 f(x，y)=e -y2 ，因此该二重积分适宜于化为“先对 x 积分，后对 y 积分”的二次积分进行计算 又区域 D 可表示为： 于是， 17.将函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因为 又 所以18.设 ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因
9、为 ，于是 故 故 19.计算曲线积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：如图，L 1 的参数方程为 L 2 的方程为 20.求微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足 y| x=e =1 的特解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：原方程可化为 于是，方程有通解为 将初始条件 y| x=e =1 代入，有 ，故满足条件的特解为 四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.(1)求曲线 y=x 2 ，y=2-x 2 所围图形的面积； (2)求(1)中图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：(1)联立方程 得交点(1，
10、1)，由对称性所求面积为 (2)所求体积 22.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)上二阶可导，且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1)在(a，b)内，g(x)0； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 (1)若存在 x 0 (a，b)，使 g(x 0 )=0，则由罗尔定理得，必存在 x 1 (a，x 0 )和 x 2 (x 0 ，b)，使得 g“(x 1 )=g“(x 2 ) 再由罗尔定理得，存在 (x 1 ，x 2 ) (a，b)，使得 g“()=0，这与 g“(x)0，xa，b矛盾，所以在(a，b)内 g(x)0； (2)令 F(x)=f(x)g“(x)-f“(x)g(x) 由已知条件得，函数 F(x)在a，b上满足罗尔定理的条件，故必存在 (a，b)，使得 F“()=0，即 f“()g“()+f()g“()-f“()g()-f“()g“()=0， 即
