1、高等数学(工本)自考题-8 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.微分方程(y) 4+2(y) 5=x2+x3的阶数是( )A5 B4C3 D2（分数：3.00）A.B.C.D.2.y=sin(-x)的通解为( )Asin(-x) B-sin(-x)+C 1x+C2C-sin(-x) Dsin(-x)+C 1x+C2（分数：3.00）A.B.C.D.3.微分方程 x3y2dx-(2y+xysinx)dy=0 是( )A可分离变量微分方程 B一阶线性齐次微分方程C一阶线性非齐次微分方程 D齐次微分方程（分数：3.00）A.B.C.
2、D.4.下列命题中正确的是( )A若 收敛，则 必收敛B若 与 都发散，则 必发散C若 ，则 必发散D若 收敛，则必有 （分数：3.00）A.B.C.D.5.幂级数 x+2x2+3x3+nxn+的收敛区域为( )A-1，1 B(-1，1)C(-1，1 D-1，1)（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_7.方程 2y+y-y=2x 的一个特解是_（分数：2.00）填空项 1:_8.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_9.幂级数 e1+x在 x=-1 处展开式为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设函数
3、f(x)=x2(-x)的傅里叶级数展开式为 （分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求方程 y-y-2y=0 的通解（分数：5.00）_12.求方程 y+(y) 2=0 满足初始条件 （分数：5.00）_13.求方程 xy=y的通解（分数：5.00）_14.求方程 y-4y+4y=0 的通解（分数：5.00）_15.求方程 y+2y+2y=0 的通解（分数：5.00）_16.判断级数 （分数：5.00）_17.已知级数 收敛，证明级数 （分数：5.00）_18.证明级数 （分数：5.00）_19.应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数(1) （分
4、数：5.00）_20.求函数 （分数：5.00）_21.求函数 f(x)=x3-2x2+4x+1 在 x=1 处的泰勒展开式（分数：5.00）_22.判断级数 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求 y-2y-3y=xe x的通解（分数：5.00）_24.将 f(x)=ex2在 x=0 处展开为幂级数，并求级数 （分数：5.00）_25.将函数 f(x)=2x(-x)展成傅里叶级数（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-8 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.微分方程(y) 4+2(y) 5=
5、x2+x3的阶数是( )A5 B4C3 D2（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查微分方程的阶2.y=sin(-x)的通解为( )Asin(-x) B-sin(-x)+C 1x+C2C-sin(-x) Dsin(-x)+C 1x+C2（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查高阶微分方程的通解要点透析 对方程两边积分得 y=cos(-x)+C 1，对方程两边积分得 y=-sin(-x)+C1x+C2，即为原方程的通解3.微分方程 x3y2dx-(2y+xysinx)dy=0 是( )A可分离变量微分方程 B一阶线性齐次微分方程C一阶线性非齐次微分方程 D齐次微分
6、方程（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查区分一阶微分方程的不同形式4.下列命题中正确的是( )A若 收敛，则 必收敛B若 与 都发散，则 必发散C若 ，则 必发散D若 收敛，则必有 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查数项级数的审敛要点透析 可用排除法，A 选项对于交错级数不成立；对于 B 选项，若 ，则 与 都发散，但 收敛，故 B 选项错误；对于 D 选项，当 收敛时， 有可能为 1，故 D 选项错误；则选C5.幂级数 x+2x2+3x3+nxn+的收敛区域为( )A-1，1 B(-1，1)C(-1，1 D-1，1)（分数：3.00）A.B. C.D
7、.解析：解析 本题考查幂级数的收敛区间.要点透析 收敛半径二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 本题考查齐次方程和分离变量要点透析 原方程可化为令 ，则 y=ux，故分离变量积分得 ，arctanu=lnx+C.将 代入处原方程的通解为7.方程 2y+y-y=2x 的一个特解是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-2x-2）解析：解析 本题考查 f(x)=ex Pm(x)型要点透析 方程 2y+y-y=2x 对应的齐次方程为 2y+y-y=0其特征方程为 2 2+-1=0，解之得 1=-1，8.幂级
8、数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查幂级数的收敛半径.要点透析 设 ，则9.幂级数 e1+x在 x=-1 处展开式为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 e x在 x=0 处的幂级数展开式为 ，故 e1+x在 x=-1 处的幂级数展开式为 e1+x=1+10.设函数 f(x)=x2(-x)的傅里叶级数展开式为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查傅里叶系数.要点透析 三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求方程 y-y-2y=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考
9、查二阶常系数线性微分方程(有两个不同的特征根).要点透析 y-y-2y=0 的特征方程为 r2-r-2=0故其特征根为 r1=2，r 2=-1故所求通解为 y=C1e2x+C2e-x(C1，C 2为常数)解析：12.求方程 y+(y) 2=0 满足初始条件 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查 y=f(y，y)型微分方程要点透析 令 p=y，则代入原方程得 ，当 y0 且 p0 时，分离变量得 ，两边积分得 lnp=-y+C1，即 p=C1e-y，将 代入上式得 ， (1)分离变量得 eydy=C1dx两边积分得 ey=C1x+C2， (2)将初始条件 )解析：13.求方程 xy
10、=y的通解（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查 y=f(x，y)型微分方程.要点透析 令 p=y，代入原方程得 xp=p，分离变量两边积分得 lnp=lnx+lnC1，即 p=C1x，将 p=y代入上式得分离变量 dy=C1xdx，两边积分得 )解析：14.求方程 y-4y+4y=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查二阶常系数线性齐次微分方程(一个二重根)要点透析 y-4y+4y=0 的特征方程为 r2-4r+4=0，其特征根为 r1=r2=2，故所求通解为 y=(C1+C2x)e2x)解析：15.求方程 y+2y+2y=0 的通解（分数：5.00）_正确
11、答案：(考点点击 本题考查二阶常系数线性齐次微分方程(一对共轭复根)要点透析 y+2y+2y=0 的特征方程为 2+2+2=0，故其特征根为 1=-1+i， 2=-1-i，故所求通解为 y=e-x(C1cos2x+C2sinx)解析：16.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查级数的敛散性(根值审敛法).要点透析 级数 ，则 ，故级数 收敛. )解析：17.已知级数 收敛，证明级数 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查级数的绝对收敛性要点透析 ，由于级数 均收敛，故原级数绝对收敛. )解析：18.证明级数 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查级
12、数的收敛性及其和.要点透析 ，则 Sn ，所以原级数收敛，且和数 S=1. )解析：19.应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数(1) （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查幂级数的和函数要点透析 (1)设 ，故 x2。则当|x 2|1 时原级数收敛，故原级数的收敛半径为 R=1，当x=1 时，则原级数可化为 ，故其发散故原级数的收敛域为(-1，1)设 ，在 x(-1，1)内逐项求导得故 x2)，x(-1，1)(2)设 an=n， ，当 x=1 时原级数均发散，故原级数的收敛域为(-1，1)设 ，设 f(x)=I ，逐项积分得故故和函数 )解析：20.求函数 （分数：5.00
13、）_正确答案：(考点点击 本题考查幂级数的展开式要点透析 所以当 时，)解析：21.求函数 f(x)=x3-2x2+4x+1 在 x=1 处的泰勒展开式（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查勒展开式.要点透析 f(1)=1-2+4+1=4，f(1)= ，f(1)=6，f (n)(1)=0(n4)，故 f(x)在 x=1 处的勒展开式为)解析：22.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查级数的敛散性(比较判别法).要点透析 ，而级数 )解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求 y-2y-3y=xe x的通解（分数：5.00）_正确答案：(考点点击
14、 本题考查 f(x)=ex Pm(x)型.要点透析 原方程相应的齐次方程的特征方程为 r2-2r-3=0，解得 r1=3，r 2=-1.故齐次方程的通解为 y=C1e-x+C2e3x，f(x)=xex，=1 不是特征根，因此设特解 y*=ex(b0x+b1)，代入原微分方程得 ，b 1=0，故原微分方程的通解为)解析：24.将 f(x)=ex2在 x=0 处展开为幂级数，并求级数 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查幂级数的展开式.要点透析 由 )，可知 .级数 就是将上式取 x=1 可得到，故 )解析：25.将函数 f(x)=2x(-x)展成傅里叶级数（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题考查傅里叶级数.要点透析 f(x)函数及其周期延拓图像，如下图所示.f(x)在(-，)内按段光滑，由收敛定理知其可展开成为傅里叶级数，又因为(分步积分)，所以 f(x)在区间(-，)内的傅里叶级数展开式为 )解析：
