1、高等数学(工本)自考题模拟 32 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，方程 3y-4z=0 的图形是_（分数：3.00）A.垂直于 x 轴的平面B.平行于 x 轴的直线C.通过原点的直线D.通过 x 轴的平面2.若函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )点存在偏导数，且在该点取得极小值，则下列结论正确的是_（分数：3.00）A.一定是最小值点B.一定是驻点C.一定是最大值点D.无法判断3.设 f(x)是连续函数，区域 D：x 2 +y 2 4，则二重积分 _ A B C D （分数：3.00）A.B.C.
2、D.4.微分方程 y-2y+y=0 的通解 y=_ A.C1ex B.(C1cosx+C2sinx)ex C.(C1+C2x)ex D.C1sinxex（分数：3.00）A.B.C.D.5.下列无穷级数中，收敛的无穷级数是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.在空间直角坐标系中，Oxy 平面上的曲线 （分数：2.00）7.设函数 z=uv，u=x+y，v=x-y，则 （分数：2.00）8.设二次积分 （分数：2.00）9.微分方程 y+(y)3-2x4+2=0 的阶数是 1. （分数：2.00）10.设 f(x)=xln(1+x)展
3、成 x 幂级数为 （分数：2.00）三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.已知原点在平面 上的投影点 P 的坐标为(2，9，-6)，求此平面方程. （分数：5.00）_12.已知函数 z=ysinx，求全微分 dz. （分数：5.00）_13.求函数 f(x，y，z)=c 2 yz+yz 在点(-1，2，1)处的梯度 （分数：5.00）_14.设函数 z=arctanx+xy 2 -2xy，求 （分数：5.00）_15.求空间曲线 x=t 3 ，y=2t，z=t 2 -t 在点(1，2，0)处的法平面方程 （分数：5.00）_16.设 D 是由 x 2 +y 2 = 2 与 x 2
4、 +y 2 =4 2 所围成的区域，求二重积分 （分数：5.00）_17.计算三重积分 ，其中 ：0x1， （分数：5.00）_18.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_19.计算曲面积分 （分数：5.00）_20.求微分方程 （分数：5.00）_21.求无穷级数 （分数：5.00）_22.求幂级数 1+2x+3x 2 +nx n-1 +的和函数 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=2(x+y)-x 2 -y 2 的极值 （分数：5.00）_24.验证在整个 Oxy 平面内(x 2 +2xy+y 2 )dx+(x 2 +2xy-y 2
5、 )dy 是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y) （分数：5.00）_25.设 f(x)是以 2 为周期函数，它在(-，)上的表达式为 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题模拟 32 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，方程 3y-4z=0 的图形是_（分数：3.00）A.垂直于 x 轴的平面B.平行于 x 轴的直线C.通过原点的直线D.通过 x 轴的平面 解析：解析 本题主要考查的知识点为特殊位置的平面方程2.若函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )点存在偏导数，且在该
6、点取得极小值，则下列结论正确的是_（分数：3.00）A.一定是最小值点B.一定是驻点 C.一定是最大值点D.无法判断解析：解析 本题主要考查的知识点为最值点、驻点、极值点三者之间的关系 偏导存在极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点；极值点不一定是最值点3.设 f(x)是连续函数，区域 D：x 2 +y 2 4，则二重积分 _ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查的知识点为二重积分的极坐标表示 4.微分方程 y-2y+y=0 的通解 y=_ A.C1ex B.(C1cosx+C2sinx)ex C.(C1+C2x)ex D.C1sinxex（分数：3.0
7、0）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程解的形式 微分方程 y-2y+y=0 的特征 方程为 r 2 -2r+1=0，故微分方程的特征根 r 1 =r 2 =1，故微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x 5.下列无穷级数中，收敛的无穷级数是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查的知识点为判断级数的敛散性 对于选项 ，由于 故此级数发散；对于选项 B ，由于 ，而 发散，故 也发散；对于选项 D ，由于 ，故选项 D 也发散；选项 C ， ，故 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.在空间直
8、角坐标系中，Oxy 平面上的曲线 （分数：2.00）解析：y=e x2+z2 解析 本题主要考查的知识点为旋转曲面 曲线绕 y 轴旋转，则 y 不变，将 x 换成 7.设函数 z=uv，u=x+y，v=x-y，则 （分数：2.00）解析：2x 解析 本题主要考查的知识点为复合函数求偏导数 8.设二次积分 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为二重积分交换积分次序 将区域 D 分成两个小区域 D 1 与 D 2 ，如下图所示 即 D=D 1 +D 2 故 9.微分方程 y+(y)3-2x4+2=0 的阶数是 1. （分数：2.00）解析：2解析 本题主要考查的知识点为微分方程的阶
9、数10.设 f(x)=xln(1+x)展成 x 幂级数为 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为幂级数的展开式 由 得 ，则 三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.已知原点在平面 上的投影点 P 的坐标为(2，9，-6)，求此平面方程. （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为平面方程的求法 由题意可知 OP平面 ，向量 12.已知函数 z=ysinx，求全微分 dz. （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为全微分 z x =ycosx，z y =sinx，则所求的全微分 dz=ycosxdx+sinxdy.13.求函数
10、 f(x，y，z)=c 2 yz+yz 在点(-1，2，1)处的梯度 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的梯度 ， ， ，则 ， 14.设函数 z=arctanx+xy 2 -2xy，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的高阶偏导数 15.求空间曲线 x=t 3 ，y=2t，z=t 2 -t 在点(1，2，0)处的法平面方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为空间曲线的法平面方程 由题意知 t=1则 16.设 D 是由 x 2 +y 2 = 2 与 x 2 +y 2 =4 2 所围成的区域，求二重积分
11、 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为用极坐标计算二重积分. 令 x=rcos,y=rsin 且 02，r2，所以 17.计算三重积分 ，其中 ：0x1， （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为用柱面坐标计算三重积分 18.计算对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为平面曲线积分与路径无关的条件 令 P(x，y)=y-2x，Q(x，y)=x+y 2 ，则 于是选择积分曲线对折线 ABC，如下图所示 在 AB 段 y=1，dy=0，在 BC 段，x=2，dx=0，则 19.计算曲面积分 （分数：5.00）_
12、正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为用高斯公式计算曲面积分 利用柱坐标面变换得 20.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为一阶线性微分方程的通解. 由一阶线性微分方程的通解公式有 注意公式中对 P(x)积分的正负号，且此题 而非 21.求无穷级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为无穷级数求和. ， ， 两式相减 ， 所以 22.求幂级数 1+2x+3x 2 +nx n-1 +的和函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为幂级数的和函数. 令 a n =n，由 得级数的收敛半径 R=1，又 x=1
13、 时原级数均发散，则原级数的收敛域为(-1,1)，设 x(-1,1)，逐项求积得 .故 四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=2(x+y)-x 2 -y 2 的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的极值. 由 得驻点(1，1)，又由于 f xx =-20，f xy =0，f yy =-2 而 24.验证在整个 Oxy 平面内(x 2 +2xy+y 2 )dx+(x 2 +2xy-y 2 )dy 是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y) （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为二元函数的全微分求积. 令 P(x，y)=x 2 +2xy+y 2 ，Q(x,y)=x 2 +2xy-y 2 ， 由于 在 Oxy 平面内处处成立，所以(x 2 +2xy+y 2 )dx+(x 2 +2xy-y 2 )dy 是某个二元函数 u(x，y)的全微分. 故 25.设 f(x)是以 2 为周期函数，它在(-，)上的表达式为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为傅里叶级数展开式. 函数 f(x)及其延拓后的函数是按段光滑的，由收敛定理可知 F(x)可在(-，)内展开为傅里叶级数. 所以在区间(-，)上
