1、高等数学一自考题模拟 15及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有_（分数：2.00）A.f“x(x0，y0)0，f“y(x0，y0)0B.f“x(x0，y0)0，f“y(x0，y0)=0C.f“x(x0，y0)=0，f“y(x0，y0)0D.f“x(x0，y0)=0，f“y(x0，y0)=02.设二次函数 z=e -sin(xy) ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 的一个原函
2、数为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 z=e x siny，则 dz=_ A.excosy(dx+dy) B.ex(sinydx-cosydy) C.ex(sin ydx+dy) D.ex(sinydx+cosydy)（分数：2.00）A.B.C.D.5.设二重积分的积分区域 D是 1x 2 +y 2 4，则 （分数：2.00）A.6B.3C.30D.4三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.lnxdx= 1 （分数：3.00）7.设 z=(1+xy) y ，则 （分数：3.00）8.设 z=xln(x+y
3、)，则 z xy = 1 （分数：3.00）9.过 y轴上的点(0，1，0)且平行于 xOz平面的平面方程是 1 （分数：3.00）10. （分数：3.00）11.函数 f(x，y)=(x-1) 2 +y 2 +3的驻点是 1 （分数：3.00）12.设 z=e sinx cosy，则 （分数：3.00）13.设不定积分 （分数：3.00）14.微分方程 y“=xy+x+y+1的通解为 1 （分数：3.00）15.已知 且 （分数：3.00）五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.计算定积分 （分数：5.00）_17.设 求 （分数：5.00）_18.设 D是由直线 y=x，y=
4、2x 及 y=2围成的积分区域，求二重积分 （分数：5.00）_19.设 z=f(u，v，y)=e u sinv+y 3 ，其中 u=2x+y，v=xy，求 （分数：5.00）_20.计算 （分数：5.00）_六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.计算 （分数：7.00）_22.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，求 （分数：7.00）_23.设 求 （分数：7.00）_七、应用题(总题数：1，分数：9.00)24.欲做一个容积 100立方米的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径 r和高 h分别是多少时，所用材料最省?并求此时所用材料的面积 （分数：9.00）_八、证明题(总
5、题数：1，分数：5.00)25.设 z=z(x，y)是由方程 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定的隐函数，证明： （分数：5.00）_高等数学一自考题模拟 15答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有_（分数：2.00）A.f“x(x0，y0)0，f“y(x0，y0)0B.f“x(x0，y0)0，f“y(x0，y0)=0C.f“x(x0，y0)=0，f“y(x0，y0)0D.f“x(
6、x0，y0)=0，f“y(x0，y0)=0 解析：考点 二元函数极大值与偏导数的关系 解析 由题意及函数极大值与偏导数之间的关系可得 f“ x (x 0 ，y 0 )=0，f“ y (x 0 ，y 0 )=0，故选D2.设二次函数 z=e -sin(xy) ，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 二元函数偏导数的计算 解析 令 z=e u ，u=-sin(xy)，则 3.函数 的一个原函数为_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：考点 三角函数导数的相关计算 解析 4.设 z=e x siny，则 dz=_ A.excosy(dx+dy) B.ex(siny
7、dx-cosydy) C.ex(sin ydx+dy) D.ex(sinydx+cosydy)（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：考点 全微分的求法 解析 所以 5.设二重积分的积分区域 D是 1x 2 +y 2 4，则 （分数：2.00）A.6 B.3C.30D.4解析：考点 二重积分的求解 解析 区域 D是由半径为 2和 1的两个同心圆围成的圆环，则 三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.lnxdx= 1 （分数：3.00）解析：x(lnx-1)+C 考点 不定积分的计算 解析 lnxdx=xlnx-dx=xlnx-x+C
8、7.设 z=(1+xy) y ，则 （分数：3.00）解析：1 考点 二元函数偏导数的求解 解析 令 u=1+xy，v=y，z=u v ，则 故 8.设 z=xln(x+y)，则 z xy = 1 （分数：3.00）解析： 考点 二阶偏导数的概念及其求法 解析 即 9.过 y轴上的点(0，1，0)且平行于 xOz平面的平面方程是 1 （分数：3.00）解析：y=1 考点 平面方程的求法 解析 由题意得知 y=110. （分数：3.00）解析：1 考点 无穷限反常积分的计算 解析 11.函数 f(x，y)=(x-1) 2 +y 2 +3的驻点是 1 （分数：3.00）解析：(1，0) 考点 驻点
9、的计算 解析 12.设 z=e sinx cosy，则 （分数：3.00）解析：e sinx cosxcosy 考点 函数的求导计算 解析 z=e sinx cosy，所以 13.设不定积分 （分数：3.00）解析： 考点 不定积分与原函数的关系 解析 要熟悉由 F“(x)=f(x)可知f(x)dx=F(x)+c 或由f(x)dx=F(x)+c 可知 f(x)=F“(x) 由 可知 14.微分方程 y“=xy+x+y+1的通解为 1 （分数：3.00）解析： 考点 微分方程通解的计算 解析 因为 =x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)，则 所以 15.已知 且 （分数：3.00）解析
10、 考点 分段积分的计算 解析 =1，故 五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：17.设 求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于 对 x的一阶偏导数为 所以18.设 D是由直线 y=x，y=2x 及 y=2围成的积分区域，求二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由直线 y=x，y=2x 及 y=2围成的积分区域如图所示 19.设 z=f(u，v，y)=e u sinv+y 3 ，其中 u=2x+y，v=xy，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：根据变量关系的树形图得知 则 20.计
11、算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：先用换元积分法，设 x=u 2 ，则 dx=2udu 当 x=0时，u=0；当 时， 于是 再用分部积分法计算上式右端的积分 所以 六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.计算 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：设 x=2sinu 则 dx=2cosudu当 x=0时，u=0；当 x=2时， 于是 22.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，求 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：令 所以 故 23.设 求 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：当 x0 时， 当 0x 时， 当 x 时， 故 七、应用题(总
12、题数：1，分数：9.00)24.欲做一个容积 100立方米的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径 r和高 h分别是多少时，所用材料最省?并求此时所用材料的面积 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解：因 r 2 h=100，故 设所用材料面积为 A，则 A“=0得唯一实驻点 故当 时所用材料最省， 此时 八、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.设 z=z(x，y)是由方程 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定的隐函数，证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：设 F(x，y，z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z， F x =2cos(x+2y-3z)-1， F y =4cos(x+2y-3z)-2， F z =-6cos(x+2y-3z)+3， 所以， 所以
