1、2016年湖南省长沙市中考真题数学 一、选择题 (在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项 .本大题共 12 小题，每小题 3分，满分 36 分 ) 1.下列四个数中，最大的数是 ( ) A.-2 B.13C.0 D.6 解析 ：根据有理数比较大小的方法，可得 6 13 0 -2，故四个数中，最大的数是 6. 答案 ： D. 2.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于 2016 年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需 24分钟，从长沙到湘潭只需 25 分钟，这条铁路全长 99500米，则数据 99500 用科学记数法表示为 ( ) A.0.995 105 B.9.9
2、5 105 C.9.95 104 D.9.5 104 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 将 99500用科学记数法表示为： 9.95 104. 答案 ： C. 3.下列计算正确的是 ( ) A. 2 5 10 B.x8 x2=x4 C.(2a)3=6a3 D.3a5 2a3=6a6 解析 ： A、 2 5 10 ，正确； B、 x8 x2=x6，故此选项错误； C、 (2
3、a)3=8a3，故此选项错误； D、 3a5 2a3=6a8，故此选项错误 . 答案 ： A. 4.六边形的内角和是 ( ) A.540 B.720 C.900 D.360 解析 ： 根据题意得： (6-2) 180 =720 . 答案 ： B. 5.不等式组 2 1 58 4 0xx，的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 2 1 58 4 0xx， ，解不等式 2x-1 5，得： x 3， 解不等式 8-4x 0，得： x 2， 故不等式组的解集为： x 3. 答案 ： C. 6.如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C.
4、 D. 解析 ：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形 . 答案 ： B. 7.若一个三角形的两边长分别为 3和 7，则第三边长可能是 ( ) A.6 B.3 C.2 D.11 解析 ： 三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边 .设第三边为 x，则 4 x10，所以符合条件的整数为 6. 答案 ： A. 8.若将点 A(1， 3)向左平移 2个单位，再向下平移 4 个单位得到点 B，则点 B的坐标为 ( ) A.(-2， -1) B.(-1， 0) C.(-1， -1) D.(-2， 0) 解析 ： 点 A(1， 3)向左平移 2个单位，再向下
5、平移 4个单位得到点 B， 点 B的横坐标为 1-2=-1，纵坐标为 3-4=-1， B的坐标为 (-1， -1). 答案 ： C. 9.下列各图中， 1与 2互为余角的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：三角形的内角和为 180，选项 B中， 1+ 2=90，即 1与 2互为余角 . 答案 ： B. 10.已知一组数据 75， 80， 80， 85， 90，则它的众数和中位数分别为 ( ) A.75， 80 B.80， 85 C.80， 90 D.80， 80 解析：把这组数据按照从小到大的顺序排列为： 75， 80， 80， 85， 90， 最中间的数是 80，则中位数是 80；
6、在这组数据中出现次数最多的是 80，则众数是 80. 答案 ： D. 11.如图，热气球的探测器显示，从热气球 A处看一栋楼顶部 B处的仰角为 30，看这栋楼底部 C处的俯角为 60，热气球 A处与楼的水平距离为 120m，则这栋楼的高度为 ( ) A.160 3 m B.120 3 m C.300m D.160 2 m 解析 ：过点 A作 AD BC于点 D，则 BAD=30， CAD=60， AD=120m， 在 Rt ABD中， BD=AD tan30 =120 33=40 3 (m)， 在 Rt ACD中， CD=AD tan60 =120 3=120 3 (m)， BC=BD+CD=
7、160 3 (m). 答案 ： A. 12.已知抛物线 y=ax2+bx+c(b a 0)与 x轴最多有一个交点，现有以下四个结论： 该抛物线的对称轴在 y轴左侧； 关于 x的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根； a-b+c 0； abcba的最小值为 3. 其中，正确结论的个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析： b a 0， -2ba 0，所以正确； 抛物线与 x轴最多有一个交点， b2-4ac 0， 关于 x的方程 ax2+bx+c+2=0 中， =b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a 0，所以正确； a 0及抛物线与 x轴最多有一个交点， x取任何值时，
8、 y 0， 当 x=-1时， a-b+c 0；所以正确； 当 x=-2时， 4a-2b+c 0， a+b+c 3b-3a， a+b+c 3(b-a)， abcba 3， 所以正确 . 答案 ： D 二、填空题 (共 6小题，每小题 3分，满分 18分 ) 13.分解因式： x2y-4y= . 解析：先提取公因式 y，然后再利用平方差公式进行二次分解 . x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2). 答案 ： y(x+2)(x-2). 14.若关于 x 的一元二次方程 x2-4x-m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 . 解析：由方程有两个不相等的实数根可知， b2-
9、4ac 0，代入数据可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 . 由已知得： =b2-4ac=(-4)2-4 1 (-m)=16+4m 0，解得： m -4. 答案： m -4 15.如图，扇形 OAB 的圆心角为 120，半径为 3，则该扇形的弧长为 .(结果保留 ) 解析： 扇形 OAB的圆心角为 120，半径为 3，该扇形的弧长为： 120 3180=2 . 答案： 2 . 16.如图，在 O中，弦 AB=6，圆心 O到 AB 的距离 OC=2，则 O的半径长为 . 解析： 弦 AB=6，圆心 O到 AB的距离 OC为 2， AC=BC=3， ACO=90， 由勾股定理得：
10、 OA= 2 2 2 23 2 1 3A C O C . 答案： 13 . 17.如图， ABC中， AC=8， BC=5， AB的垂直平分线 DE交 AB于点 D，交边 AC于点 E，则BCE的周长为 . 解析： DE 是 AB的垂直平分线， EA=EB，则 BCE的周长 =BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13. 答案： 13. 18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 . 解析：由题意作出树状图如下： 一共有 36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有 30 种，所以， P=30 536 6. 答案： 56. 三、解答题 (本大题共
11、 8个小题，第 19、 20 题每小题 6分，第 21、 22 题每小题 6分，第 23、24 题每小题 6 分，第 25、 26 题每小题 6 分，共 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19.计算： 4sin60 -|-2|- 12 +(-1)2016. 解析： 本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、乘方 4 个考点 .在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案 ： 4sin60 -|-2|- 12 +(-1)2016=4 32-2-2 3 +1=2 3 -2-2 3 +1=-1. 20.先化简，再求值： 1 1
12、 1aaa b b a b ，其中 a=2， b=13. 解析：先对所求式子进行化简，然后根据 a=2， b=13可以求得化简后式子的值，本题得以解决 . 答案： 1 1 1 1 1 1a a a a b a a aa b b a b a b a b b b b b ， 当 a=2， b=13时，原式 =2136. 21.为积极响应市委政府“加快建设天蓝 水碧 地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种 .为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动 (每人限选其中一种树 )，并将调查结果整理后，绘制成如图两
13、个不完整的统计图： 请根据所给信息解答以下问题： (1)这次参与调查的居民人数为： ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数； (4)已知该街道辖区内现有居民 8万人，请你估计这 8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？ 解析： (1)根据“银杏树”的人数及其百分比可得总人数； (2)将总人数减去选择其它 4种树的人数可得“樟树”的人数，补全条形图即可； (3)用样本中“枫树”占总人数的比例乘以 360可得； (4)用样本中最喜欢“玉兰树”的比例乘以总人数可得 . 答案： (1)这次参与调查的居民人数有 37537.5%=1000(人 )； (2)选择“
14、樟树”的有 1000-250-375-125-100=150(人 )， 补全条形图如图： (3)360 1001000=36， 答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为 36； (4)8 2501000=2(万人 )， 答：估计这 8万人中最喜欢玉兰树的约有 2万人 . 22.如图， AC 是 平行四边形 ABCD的对角线， BAC= DAC. (1)求证： AB=BC； (2)若 AB=2， AC=2 3 ，求 平行四边形 ABCD的面积 . 解析： (1)由平行四边形的性质得出 DAC= BCA，再由已知条件得出 BAC= BCA，即可得出 AB=BC； (2)连接 BD交 AC 于
15、 O，证明四边形 ABCD是菱形，得出 AC BD， OA=OC=12AC= 3 ， OB=OD=12BD，由勾股定理求出 OB，得出 BD， 平行四边形 ABCD 的面积 =12AC BD，即可得出结果 . 答案： (1)四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， DAC= BCA， BAC= DAC， BAC= BCA， AB=BC. (2)连接 BD交 AC 于 O，如图所示： 四边形 ABCD是平行四边形， AB=BC， 四边形 ABCD是菱形， AC BD， OA=OC=12AC= 3 ， OB=OD=12BD， OB= 22 2 22 3A B O A =1， BD=2OB=2，
16、 平行四边形 ABCD的面积 =12AC BD=12 2 3 2=2 3 . 23.2016年 5月 6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受 .星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方 ，已知 2辆大型渣土运输车与 3辆小型渣土运输车一次共运输土方 31 吨， 5辆大型渣土运输车与 6辆小型渣土运输车一次共运输土方 70吨 . (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派
17、出大、小两种型号的渣土运输车共 20 辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于 148 吨，且小型渣土运输车至少派出 2辆，则有哪几种派车方案？ 解析： (1)根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨； (2)根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案 . 答案： (1)设一辆大型渣土运输车一次运输 x吨，一辆小型渣土运输车一次运输 y吨， 2 3 315 6 70xyxy ，解得 85xy，即一辆大型渣土运输车一次运输 8吨，一辆小型渣土运输车一次运输 5吨； (2)由题意可得， 设该渣土运输公司决定派出大、小两种型
18、号的渣土运输车分别为 x辆、 y辆， 208 5 1482xyxyy ，解得 182xy， 或 173xy， 或 164xy，故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车 18辆，小型运输车 2辆； 第二种方案：大型运输车 17辆，小型运输车 3辆； 第三种方案：大型运输车 16辆，小型运输车 4辆 . 24.如图，四边形 ABCD 内接于 O，对角线 AC为 O的直径，过点 C作 AC的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F为 CE的中点，连接 DB， DC， DF. (1)求 CDE的度数； (2)求证： DF 是 O的切线； (3)若 AC=2 5 DE，求 tan ABD 的值 . 解析
19、： (1)直接利用圆周角定理得出 CDE的度数； (2)直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出 ODF= ODC+ FDC= OCD+DCF=90，进而得出答案； (3)利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出 AD， DC 的长，再利用圆周角定理得出 tanABD的值 . 答案： (1)对角线 AC 为 O的直径， ADC=90， EDC=90 . (2)连接 DO， EDC=90， F是 EC的中点， DF=FC， FDC= FCD， OD=OC， OCD= ODC， OCF=90， ODF= ODC+ FDC= OCD+ DCF=90， DF 是 O的切线 . (3)如图所示：可
20、得 ABD= ACD， E+ DCE=90， DCA+ DCE=90， DCA= E， 又 ADC= CDE=90， CDE ADC， DC DEAD DC， DC2=AD DE AC=2 5 DE，设 DE=x，则 AC=2 5 x，则 AC2-AD2=AD DE， (2 5 x)2-AD2=AD x，整理得： AD2+AD x-20x2=0， 解得： AD=4x或 -4.5x(负数舍去 )，则 DC= 2 22 5 4xx =2x， 故 tan ABD=tan ACD= 42AD xDC x=2. 25.若抛物线 L： y=ax2+bx+c(a， b， c是常数， abc 0)与直线 l都
21、经过 y轴上的一点 P，且抛物线 L的顶点 Q在直线 l上，则称此直线 l与该抛物线 L具有“一带一路”关系 .此时，直线 l叫做抛物线 L的“带线”，抛物线 L叫做直线 l的“路线” . (1)若直线 y=mx+1与抛物线 y=x2-2x+n具有“一带一路”关系，求 m， n的值； (2)若某“路线” L的顶点在反比例函数 y=6x的图象上，它的“带线” l的解析式为 y=2x-4，求此“路线” L的解析式； (3)当常数 k 满足 12 k 2 时，求抛物线 L： y=ax2+(3k2-2k+1)x+k 的“带线” l 与 x 轴， y轴所围成的三角形面积的取值范围 . 解析： (1)找出
22、直线 y=mx+1 与 y轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出 n的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论； (2)找出直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的解析式找出直线与 x轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论； (3)由抛物线解析式找出抛物线与 y轴的交点坐标，再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标，由两点 坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线” l的解析式，找出该直线与x、 y 轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积 S 关于 k 的关系上，由二次函数的性质即可得出结论 . 答案： (1)令直线 y
23、=mx+1中 x=0，则 y=1，即直线与 y轴的交点为 (0， 1)； 将 (0， 1)代入抛物线 y=x2-2x+n中，得 n=1. 抛物线的解析式为 y=x2-2x+1=(x-1)2，抛物线的顶点坐标为 (1， 0). 将点 (1， 0)代入到直线 y=mx+1中，得： 0=m+1，解得： m=-1. 答： m的值为 -1， n的值为 1. (2)将 y=2x-4代入到 y=6x中有， 2x-4=6x，即 2x2-4x-6=0，解得： x1=-1， x2=3. 该“路线” L的顶点坐标为 (-1， -6)或 (3， 2). 令“带线” l： y=2x-4 中 x=0，则 y=-4， “路
24、线” L的图象过点 (0， -4). 设该“路线” L的解析式为 y=m(x+1)2-6或 y=n(x-3)2+2， 由题意得： -4=m(0+1)2-6或 -4=n(0-3)2+2，解得： m=2， n=-23. 此“路线” L的解析式为 y=2(x+1)2-6或 y=-23(x-3)2+2. (3)令抛物线 L： y=ax2+(3k2-2k+1)x+k中 x=0，则 y=k， 即该抛物线与 y轴的交点为 (0， k). 抛物线 L： y=ax2+(3k2-2k+1)x+k的顶点坐标为 ( 23 2 12kka ， 224 3 2 14a k k ka )， 设“带线” l的解析式为 y=p
25、x+k， 点 ( 23 2 12kka ， 224 3 2 14a k k ka )在 y=px+k上， 22 24 3 2 1 3 2 142a k k k kkpkaa ， 解得： p= 23 2 12kk. “带线” l的解析式为 y= 23 2 12kkx+k. 令“带线” l： y= 23 2 12kkx+k中 y=0，则 0= 23 2 12kkx+k， 解得： x=223 2 1kkk . 即“带线” l与 x轴的交点为 (223 2 1kkk ， 0)，与 y轴的交点为 (0， k). “带线” l与 x轴， y轴所围成的三角形面积 S=2 222311 kkk |k|， 12
26、 k 2， 12 1 2k， S= 2222113 2 1 2 1 13 1 2kkkk k k ， 当 1k=1时， S有最大值，最大值为 12； 当 1k=2时， S有最小值，最小值为 13. 故抛物线 L： y=ax2+(3k2-2k+1)x+k的“带线” l与 x轴， y轴所围成的三角形面积的取值范围为 13 S 12. 26.如图，直线 l： y=-x+1 与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，点 P， Q 是直线 l 上的两个动点，且点 P在第二象限，点 Q在第四象限， POQ=135 . (1)求 AOB的周长； (2)设 AQ=t 0，试用含 t的代数式表示点 P的坐标
27、； (3)当动点 P， Q在直线 l上运动到使得 AOQ与 BPO的周长相等时，记 tan AOQ=m，若过点 A的二次函数 y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件： 6a+3b+2c=0； 当 m x m+2时，函数 y的最大值等于 2m，求二次项 系数 a的值 . 解析： (1)先求出 A、 B 坐标，再求出 OB、 OA、 AB即可解决问题 . (2)由 PBO OAQ，得 PB OBOA AQ，求出 PB，再根据等腰直角三角形性质可以求得点 P坐标 . (3)先求出 m的值，分 a 0， a 0，两种情形，利用二次函数性质分别求解即可 . 答案： (1)在函数 y=-x+1中，令 x
28、=0，得 y=1， B(0， 1)， 令 y=0，得 x=1， A(1， 0)，则 OA=OB=1， AB= 2 ， AOB周长为 1+1+ 2 =2+ 2 . (2) OA=OB， ABO= BAO=45， PBO= QAO=135， 设 POB=x，则 OPB= AOQ=135 -x-90 =45 -x， PBO OAQ， PB OBOA AQ， PB= 1OA OBAQ t ，过点 P作 PH OB于 H点， 则 PHB为等腰直角三角形， PB=1t， PH=HB= 22t， P(- 22t， 1+ 22t). (3)由 (2)可知 PBO OAQ，若它们的周长相等，则相似比为 1，即全
29、等， PB=AQ， 1t=t， t 0， t=1， 同理可得 Q(1+ 22t， - 22t)， m=22 22211tt， 抛物线经过点 A， a+b+c=0， 又 6a+3b+2c=0， b=-4a， c=3a， 对称轴 x=2，取值范围 2 -1 x 2 +1， 若 a 0，则开口向上， 由题意 x= 2 -1时取得最大值 2m=2 2 +2， 即 ( 2 -1)2a+( 2 -1)b+c=2 2 +2，解得 a=11 87 2. 若 a 0，则开口向下， 由题意 x=2时取得最大值 2 2 +2， 即 4a+2b+c=2 2 +2，解得 a=-2 2 -2. 综上所述所求 a的值为 11 87 2或 -2 2 -2.
