2015年湖南省长沙市中考真题数学.docx

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1、2015 年湖南省长沙市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分 ) 1.下列实数中,为无理数的是 ( ) A.0.2 B.12C. 2 D.-5 解析: -5 是整数, -5 是有理数; 0.2 是有限小数, 0.2 是有理数; 12=0.5, 0.5 是有限小数, 12是有理数; 2 =1.414是无限不循环小数, 2 是无理数 . 答案: C. 2.下列运算中,正确的是 ( ) A.x3+x=x4 B.(x2)3=x6 C.3x-2x=1 D.(a-b)2=a2-b2 解析: A、 x3与 x 不能合并,错误; B、 (x2)3=x6,正确; C、 3x

2、-2x=x,错误; D、 (a-b)2=a2-2ab+b2,错误 . 答案: B 3. 2014 年,长沙地铁 2 号线的开通运营,极大地缓解了城市中心的交通压力,为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑,据统计,长沙地铁 2 号线每天承动力约为185000 人次,则数据 185000 用科学记数法表示为 ( ) A.1.85 105 B.1.85 104 C.1.8 105 D.18.5 104 解析: 将 185000 用科学记数法表示为 1.85 105. 答案: A 4.下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析: A、既是轴对称图

3、形也是中心对称图形,故此选项错误; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项正确; C、既是轴对称图形也是中心对称图形,故此选项错误; D、既是轴对称图形也是中心对称图形,故此选项错误 . 答案 : B 5.下列命题中,为真命题的是 ( ) A.六边形的内角和为 360 度 B.多边形的外角和与边数有关 C.矩形的对角线互相垂直 D.三角形两边的和大于第三边 解析: A、六边形的内角和为 720,错误; B、多边形的外角和与边数无关,都等于 360,错误; C、矩形的对角线相等,错误; D、三角形的两边之和大于第三边,正确 . 答案 : D 6.在数轴上表示不等式组 202 6 0xx ,

4、 的解集,正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析: 由 x+2 0 得 x -2, 由 2x-6 0,得 x 3, 把解集画在数轴上为: 答案 : A 7.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双,各种尺码鞋的销售量如下表所示,你认为商家更应该关注鞋子尺码的 ( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 解析: 众数体现数据的最集中的一点,这样可以确定进货的数量,鞋店最喜欢的是众数 . 答案 : C 8.下列说法中正确的是 ( ) A.“打开电视机,正在播放动物世界”是必然事件 B.某种彩票的中奖概率为 11000,说明每买 1000 张,一定有一张中奖 C.抛掷一枚质地均匀

5、的硬币一次,出现正面朝上的概率为 13D.想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平,宜采用抽样调查 解析: A、“打开电视机,正在播放动物世界”是随机事件,故 A 错误; B、某种彩票的中奖概率为 11000,说明每买 1000 张,有可能中奖,也有可能不中奖,故 B错误; C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为 12,故 C 错误; D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平,宜采用抽样调查,故 D 正确 . 答案 : D 9.一次函数 y=-2x+1 的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析: 一次函数 y=-2x+1中 k=-2

6、0, b=1 0,此函数的图象经过一、二、四象限,不经过第三象限 . 答案 : C 10.如图,过 ABC 的顶点 A,作 BC 边上的高,以下作法正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析: 为 ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项 . 答案 : A. 11.如图,为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度,在距离树的底端 30 米的 B 处,测得树顶A 的仰角 ABO 为,则树 OA 的高度为 ( ) A. 30tan米 B.30sin米 C.30tan米 D.30cos米 解析: 在 Rt ABO 中, BO=30 米, ABO 为, AO=BOtan =30tan (米 ). 答案

7、 : C 12.长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器,若按标价打八折销售该电器一件,则可获利润 500 元,其利润率为 20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件,那么获得的纯利润为 ( ) A.562.5 元 B.875 元 C.550 元 D.750 元 解析: 设该商品的进价为 x元,标价为 y元,由题意得 5 0 0 2 0 %0 .8 5 0 0yyx,解得: x=1500, y=2500. 则 2500 0.9-1500=750(元 ). 答案 : D. 二、填空题 (共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分 ) 13.一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球, 2 个白球,这些

8、球的形状、大小、质地等完全相同,即除颜色外无其他差别 .在看不到球的条件下,随机从袋中摸出 1 个球,则摸出白球的概率是 . 解析: 一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球, 2 个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,即除颜色外无其他差别,随机从袋中摸出 1 个球,则摸出白球的概率是:223 2 5 . 答案: 2514.圆心角是 60且半径为 2 的扇形面积为 (结果保留 ). 解析: 由扇形面积公式得: S= 260 2360=23 . 答案: 23 . 15.把 22+ 2 进行化简,得到的最简结果是 (结果保留根号 ). 解析: 原式 = 2 + 2 =2 2 . 答案: 2 2

9、. 16.分式方程 572xx 的解是 x= . 解析: 去分母,得 5(x-2)=7x,解得: x=-5,经检验: x=-5 是原方程的解 . 答案: -5 17.如图,在 ABC 中, DE BC, 13ADAB, DE=6,则 BC 的长是 . 解析: DE BC, DE: BC=AD: AB=13,即 6: BC=1: 3, BC=18. 答案: 18. 18.如图, AB 是 O 的直径,点 C 是 O 上的一点,若 BC=6, AB=10, OD BC 于点 D,则 OD的长为 . 解析: OD BC, BD=CD=12BC=3, OB=12AB=5, OD= 22OB BD =4

10、. 答案 : 4. 三、解答题 (共 8 小题,第 19、 20 题每小题 6 分,第 21、 22 题每小题 6 分,第 23、 24 题每小题 6 分,第 25、 26 题每小题 6 分,满分 66 分 .解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 ) 19.计算: (12)-1+4cos60 -|-3|+ 9 . 解析: 原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果 . 答案 : 原式 =2+4 12-3+3=4. 20.先化简,再求值: (x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy,其中

11、 x=(3- )0, y=2. 解析: 首先去掉括号,然后合并同类项,最后把 x=1, y=2 代入化简式进行计算即可 . 答案 : (x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2, x=(3- )0=1, y=2,原式 =2-4=-2. 21.中华文明,源远流长:中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50分 .为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中 200 名学生的成绩 (成绩 x取整数,总分 100 分 )作为样本进行整理,得到下列不

12、完整的统计图表: 请根据所给信息,解答下列问题: (1)a= , b= ; (2)请补全频数分布直方图; (3)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段; (4)若成绩在 90 分以上 (包括 90 分 )的为“优”等,则该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等约有多少人? 解析: (1)根据第一组的频数是 10,频率是 0.05,求得数据总数,再用数据总数乘以第四组频率可得 a 的值,用第三组频数除以数据总数可得 b 的值; (2)根据 (1)的计算结果即可补全频数分布直方图; (3)根据中位数的定义,将这组数据按照从小到大的顺序排列后,处于中间位置的数据 (或中间两数据 的平均数 )即

13、为中位数; (4)利用总数 3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可 . 答案 : (1)样本容量是: 10 0.05=200, a=200 0.30=60, b=30 200=0.15; (2)补全频数分布直方图,如下: (3)一共有 200 个数据,按照从小到大的顺序排列后,第 100 个与第 101 个数据都落在第四个分数段, 所以这次比赛成绩的中位数会落在 80 x 90 分数段; (4)3000 0.40=1200(人 ). 即该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等的大约有 1200 人 . 故答案为 60, 0.15; 80 x 90; 1200. 22.如图,在菱形

14、 ABCD 中, AB=2, ABC=60,对角线 AC、 BD 相交于点 O,将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 (0 90 )后得直线 l,直线 l 与 AD、 BC 两边分别相交于点 E 和点 F. (1)求证: AOE COF; (2)当 =30时,求线段 EF 的长度 . 解析: (1)首先证明 AE=CF, OE=OF,结合 AO=CO,利用 SSS 证明 AOE COF; (2)首先画出 =30时的图形,根据菱形的性质得到 EF AD,解三角形即可求出 OE 的长,进而得到 EF 的长 . 答案 : (1)四边形 ABCD 是菱形, AD BC, AO=OC, AE

15、 O E AOCF O F O C=1, AE=CF, OE=OF, 在 AOE 和 COF 中, AO COOE OFAE CF , AOE COF. (2)当 =30时,即 AOE=30, 四边形 ABCD 是菱形, ABC=60, OAD=60, AEO=90, 在 Rt AOB 中, sin ABO= 122AO AOAB , AO=1, 在 Rt AEO 中, cos AOE=cos30 = 32OEAO, OE= 32, EF=2OE= 3 . 23.现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高度发展,据调查,长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年三月份与五月份完成投递的

16、快递总件数分别为 10 万件和12.1 万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同 . (1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率; (2)如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件,那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 6 月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员? 解析: (1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x,根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程,解方程即可; (2)首先求出今年 6 月份的快递投递任务,再求出 21 名快递投递业务员能完成的

17、快递投递任务,比较得出该公司不能完成今年 6 月份的快递投递任务,进而求出至少需要增加业务员的人数 . 答案 : (1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x,根据题意得 10(1+x)2=12.1, 解得 x1=0.1, x2=-2.2(不合题意舍去 ). 答:该快 递公司投递总件数的月平均增长率为 10%; (2)今年 6 月份的快递投递任务是 12.1 (1+10%)=13.31(万件 ). 平均每人每月最多可投递 0.6 万件, 21 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是: 0.6 21=12.6 13.31, 该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递

18、任务 需要增加业务员 (13.31-12.6) 0.6=11160 2(人 ). 答:该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务,至少需要增加 2 名业务员 . 24.如图,在直角坐标系中, M 经过原点 O(0, 0),点 A( 6 , 0)与点 B(0, - 2 ),点 D在劣弧 OA 上,连接 BD 交 x 轴于点 C,且 COD= CBO. (1)求 M 的半径; (2)求证: BD 平分 ABO; (3)在线段 BD 的延长线上找一点 E,使得直线 AE 恰好为 M 的切线,求此时点 E的坐标 . 解析: (1)由点 A( 6 , 0)与点 B(0, -

19、 2 ),可求得线段 AB 的长,然后由 AOB=90,可得 AB 是直径,继而求得 M 的半径; (2)由圆周角定理可得: COD= ABC,又由 COD= CBO,即可得 BD 平分 ABO; (3)首先过点 A 作 AE AB,垂足为 A,交 BD 的延长线于点 E,过点 E 作 EF OA 于点 F,易得 AEC 是等边三角形,继而求得 EF 与 AF 的长,则可求得点 E 的坐标 . 答案: (1)点 A( 6 , 0)与点 B(0, - 2 ), OA= 6 , OB= 2 , AB= 22OA OB =2 2 , AOB=90, AB 是直径, M 的半径为: 2 . (2) C

20、OD= CBO, COD= CBA, CBO= CBA,即 BD 平分 ABO. (3)如图,过点 A作 AE AB,垂足为 A,交 BD 的延长线于点 E,过点 E作 EF OA 于点 F,即AE 是切线, 在 Rt AOB 中, tan OAB= 2336OBOA , OAB=30, ABO=90 - OAB=60, ABC= OBC=12 ABO=30, OC=OB tan30 = 2 33= 63, AC=OA-OC=263, ACE= ABC+ OAB=60, EAC=60, ACE 是等边三角形, AE=AC=263, AF=12AE= 63, EF= 32AE= 2 , OF=O

21、A-AF=263,点 E 的坐标为: (263, 2 ). 25.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结” . (1)求函数 y= 3 x+2 的图象上所有“中国结”的坐标; (2)若函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”,试求出常数 k 的值与相应“中国结”的坐标; (3)若二次函数 y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k 为常数 )的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结”,试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中 (含边界 ),一共包含有多少个“中国结”? 解析: (1)因为 x 是整数, x 0

22、 时, 3 x 是一个无理数,所以 x 0 时, 3 x+2 不是整数,所以 x=0, y=2,据此求出函数 y= 3 x+2 的图象上所有“中国结”的坐标即可 . (2)首先判断出当 k=1 时,函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”:(1, 1)、 (-1、 -1);然后判断出当 k 1 时,函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上最少有 4个“中国结”,据此求出常数 k 的 值与相应“中国结”的坐标即可 . (3)首先令 (k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0,则 (k-1)x+k(k-2)x+(k-1)=0,求出 x1、 x

23、2的值是多少;然后根据 x1、 x2的值是整数,求出 k 的值是多少;最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”,判断出该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中 (含边界 ),一共包含有多少个“中国结”即可 . 答案: (1) x 是整数, x 0 时, 3 x 是一个无理数, x 0 时, 3 x+2 不是整数, x=0, y=2, 即函数 y= 3 x+2 的图象上“中国结”的坐标是 (0, 2). (2)当 k=1 时,函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”: (1, 1)、 (-1、 -1); 当 k=-1 时,函数 y=kx(k 0, k 为常

24、数 )的图象上有且只有两个“中国结”: (1, -1)、 (-1, 1). 当 k 1 时,函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上最少有 4 个“中国结”: (1, k)、 (-1, -k)、 (k, 1)、 (-k, -1),这与函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”矛盾, 综上可得, k=1 时,函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”: (1, 1)、(-1、 -1); k=-1 时,函数 y=kx(k 0, k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”: (1, -1)、 (-1、 1). (3)令 (k2-3k+

25、2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0,则 (k-1)x+k(k-2)x+(k-1)=0, 12112kxkkxk , k=122111xx,整理,可得 x1x2+2x2+1=0, x2(x1+2)=-1, x1、 x2都是整数, 21121xx , 或 21121xx, 1231xx, 或 1211xx,当 1231xx, 时, 12k k=1, k=32. 当 1211xx,时, 11kk , k=k-1,无解; 综上,可得 k=32, x1=-3, x2=1, y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k =(32) 2-3 32+2x2+2 (32)2-4 32

26、+1x+(32)2-32=-14x2-12x+34. 当 x=-2 时, y=-14x2-12x+34=-14 (-2)2-12 (-2)+34=34. 当 x=-1 时, y=-14x2-12x+34=-14 (-1)2-12 (-1)+34=1. 当 x=0 时, y=34,另外,该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中 x 轴上的“中国结”有 3 个: (-2, 0)、 (-1、 0)、 (0, 0). 综上,可得 : 若二次函数 y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k 为常数 )的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结”, 该函数的图象与 x 轴所围成的平面

27、图形中 (含边界 ),一共包含有 6 个“中国结”: (-3, 0)、(-2, 0)、 (-1, 0)(-1, 1)、 (0, 0)、 (1, 0). 26.若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a 0, c 0, a, b, c 是常数 )与 x 轴交于两个不同的点 A(x1, 0), B(x2, 0)(0 x1 x2),与 y 轴交于点 P,其图象顶点为点 M,点 O 为坐标原点 . (1)当 x1=c=2, a=13时,求 x2与 b 的值; (2)当 x1=2c 时,试问 ABM 能否为等边三角形?判断并证明你的结论; (3)当 x1=mc(m 0)时,记 MAB, PAB 的

28、面积分别为 S1, S2,若 BPO PAO,且 S1=S2,求 m 的值 . 解析: (1)设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、 x2,把 a、 c 代入得: 13x2+bx+2=0,根据 x1=2 是它的一个根,求出 b,再根据 13x2-53x+2=0,即可求出另一个根 . (2)根据 x1=2c时, x2=12a,得出 b=-(2ac+12), 4ac=-2b-1,根据 M的坐标为 (-2ba, 244ac ba),得出当 ABM 为等边三角形时 244ac ba= 32(12a-2c),求出 b1=-1, b2=2 3 -1(舍去 ),最后根据 4ac=-2b-1=1,得出 2

29、c= 12a, A、 B 重合, ABM 不可能为等边三角形; (3)根据 BPO PAO,得出 OP BOAO OP, ac=1,由 S1=S2得出 b2=4a 2c=8ac=8,求出 b=-22 ,最后根据 1cx2-2 2 x+c=0 得出 x=( 2 -1)c,从而求出 m. 答案: (1)设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、 x2, 把 a=13, c=2 代入得: 13x2+bx+2=0, x1=2 是它的一个根, 13 22+2b+2=0,解得: b=-53, 方程为: 13x2-53x+2=0,另一个根为 x2=3. (2)当 x1=2c 时, x2=1cax= 12a,

30、此时 b=-a(x1+x2)=-(2ac+12), 4ac=-2b-1, M(-2ba, 244ac ba), 当 ABM 为等边三角形时 | 244ac ba|= 32AB,即 244ac ba= 32(12a-2c), 244ac ba= 32 1 2 12ba, b2+2b+1= 3 (1+2b+1),解得: b1=-1, b2=2 3 -1(舍去 ), 此时 4ac=-2b-1=1,即 2c= 12a, A、 B 重合, ABM 不可能为等边三角形 . (3) BPO PAO, OP BOAO OP,即 x1x2=c2=ca, ac=1, 由 S1=S2得 c=| 244ac ba|= 24ba-c, b2=4a 2c=8ac=8, b1=-2 2 , b2=2 2 (舍去 ), 方程可解为 1cx2-2 2 x+c=0, x1= 2 2 4 2 2 21122cc=( 2 -1)c, m= 2 -1.

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