1、GCT 工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：54.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.（2005 年真题）设函数 f(x)的定义域是0，1，则函数 g(x)= （分数：2.00）A.|x|1B.0x1C.|x|05D.05x13.（2009 年真题）若 （分数：2.00）A.0B.C.1D.24.（2007 年真题）若 （分数：2.00）A.f(1)=4B.f(x)在 x=1 处无定义C.在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)
2、2D.在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)45.（2010 年真题） （分数：2.00）A.0B.2C.4D.6.（2007 年真题）若函数 （分数：2.00）A.-9B.-3C.0D.17.（2005 年真题）设 f(x)在 x=0 处可导，且 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.（2008 年真题）若函数 f(x)可导，且 f(0)=f“(0)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.49.（2011 年真题）若 f“(x)在 x 处可导，且 f(x 0 )=a，f“(x 0 )=b，而|f(x)|在 x 0 处不可导，则 。（分数：2.00）A.a=0，b=0B.a=0，b
3、0C.a0，b=0D.a0，b010.（2007 年真题）设 （分数：2.00）A.-1B.1C.D.11.（2010 年真题）设 f(x)=x 2 ，h(x)=f(1+g(x)，其中 g(x)可导，且 g“(1)=h“(1)=2，则 g(1)= 。（分数：2.00）A.-2B.C.0D.212.（2008 年真题）函数 f(x)在1，+)上具有连续导数，且 （分数：2.00）A.f(x)在1，+)上有界B.存在C.存在D.13.（2006 年真题）如图 44 所示，曲线 P=f(t)表示某工厂 10 年期间的产值变化情况，设 f(t)是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是 。 （分
4、数：2.00）A.前 2 年越来越慢，后 5 年越来越快B.前 2 年越来越快，后 5 年越来越慢C.前 2 年越来越快，后 5 年越来越快D.前 2 年越来越慢，后 5 年越来越慢14.（2006 年真题）设正圆锥母线长为 5，高为 h，底面圆半径为 r，在正圆锥的体积最大时， （分数：2.00）A.B.1C.D.15.（2008 年真题）已知 f(x)=3x 2 +kx 3 (k0)当 x0 时，总有 f(x)20 成立，则参数 k 的最小取值是 。（分数：2.00）A.32B.64C.72D.9616.（2004 年真题）如下不等式成立的是 。（分数：2.00）A.在(-3，0)区间上，
5、ln3-xln(3+x)B.在(-3，0)区间上，ln3-xln(3+x)C.在0，+)区间上，ln3-xln(3+x)D.在0，+)区间上，ln3-xln(3+x)17.（2010 年真题）若 a，b，c，d 成等比数列，则函数 （分数：2.00）A.有极大值，而无极小值B.无极大值，而有极小值C.有极大值，也有极小值D.无极大值，也无极小值18.（2005 年真题）设 x 2 lnx 是 f(x)的一个原函数，则不定积分xf(x)dx= 。（分数：2.00）A.B.2x-x 2 lnx+CC.x 2 lnx+x 2 +CD.3x 2 lnx+x 2 +C19.（2003 年真题）甲、乙两人
6、百米赛跑成绩一样，那么 。（分数：2.00）A.甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B.甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定不一样C.甲、乙两人至少某时刻的瞬时速度一样D.甲、乙两人到达终点的瞬时速度必定一样20.（2007 年真题）图 48 中的三条曲线分别是 f(x)， x+1 x f(t)dt， 的图形，按此排序，它们与图中所标示 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)的对应关系是 。 （分数：2.00）A.y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)B.y 1 (x)，y 3 (x)，y 2 (x)C.y 3 (x)，y 1 (x)，y 2 (x)D.y 3 (x)，y 2 (x)，
7、y 1 (x)21.（2011 年真题）若 是 xf(x)的一个原函数，则 （分数：2.00）A.-1B.C.D.122.（2003 年真题）设 I= 0 sin(cosx)dx，则 。（分数：2.00）A.I=1B.I0C.011D.I=023.（2006 年真题）设 a0，则在0，a上方程 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.324.（2008 年真题）当 x0 时，函数 f(x)可导，有非负的反函数 g(x)，且恒等式 1 f(x) g(t)dt=x 2 -1 成立，则函数 f(x)= 。（分数：2.00）A.2x+1B.2x-1C.x 2 +1D.x 225.（2009 年真题）若
8、连续函数 f(x)满足|uf(x-u)du= （分数：2.00）A.B.0C.D.126.（2011 年真题）若函数 y(x)= 2 x2 dt 则 （分数：2.00）A.0B.1C.4e -1D.4e27.（2004 年真题）如图 413 所示，抛物线 把 y=x(b-x)(b0)与 x 轴所构成的区域面积分为 S A 与 S B 两部分，则 。 （分数：2.00）A.S A S BB.S A =S BC.S A S BD.S A 与 S B 大小关系与 6 的数值有关GCT 工程硕士（一元函数微积分）数学历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总
9、题数：27，分数：54.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.（2005 年真题）设函数 f(x)的定义域是0，1，则函数 g(x)= （分数：2.00）A.|x|1B.0x1C.|x|05D.05x1 解析：解析：本题主要考查函数定义域的概念和求法。为使 有意义，则得 因函数 f(x)的定义域是0，1，对于 f(sinx)有 0sinx1；又-1x1，故可得 0x x1，同理，对于f(1+cosx)有 01+cosx1，即-1cosx0；而 0x1，故可得3.（2009 年真题）若 （分数：2.00）A.0B.C.1 D
10、.2解析：解析：本题考查了用分段函数表示绝对值函数、简单函数的图形及求函数的交点。 由 知 f(x)的定义域为 x0当 x0 时|x-2|与 的草图如图 41 所示， 显然，f(x)的最小值点是 y=2-x 与 y= 在0，2上交点的横坐标。 x 2 -5x+4=0，即(x-4)(x-1)=0，因此有x=10，2，f(1)= =1 是 f(x)的最小值。故正确选项为 C。 注：(1)因 y= 是单调递增函数，f(x)的最小值点一定是 x=1，而不是 x=4。(2)f(x)的分段表达式为 4.（2007 年真题）若 （分数：2.00）A.f(1)=4B.f(x)在 x=1 处无定义C.在 x=1
11、 的某邻域(x1)中，f(x)2 D.在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)4解析：解析：本题考查函数极限的保号性质。 解法 1 因为 =42，由极限的保号性质，在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)2，故正确选项为 C。 解法 2 特殊值代入法。取5.（2010 年真题） （分数：2.00）A.0B.2C.4 D.解析：解析：本题考查重要极限 =1、x时有理函数的极限以及极限的四则运算法则。 解法 1解法 2 利用无穷小量等价代换定理。6.（2007 年真题）若函数 （分数：2.00）A.-9 B.-3C.0D.1解析：解析：本题是一道综合题，考查函数在一点连续的定义，计算函数的极限及变
12、上限积分的导数。 7.（2005 年真题）设 f(x)在 x=0 处可导，且 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：本题考查导数定义及可导与连续之间的关系。 解法 1 =0，因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(0)=0。由导数定义得8.（2008 年真题）若函数 f(x)可导，且 f(0)=f“(0)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.4 解析：解析：本题考查连续函数的概念和导数定义。 解法 1 故正确选项为 D。 解法 2 特殊值代入法。9.（2011 年真题）若 f“(x)在 x 处可导，且 f(x 0 )=a，f“(x 0
13、 )=b，而|f(x)|在 x 0 处不可导，则 。（分数：2.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0 C.a0，b=0D.a0，b0解析：解析：本题考查导数的概念，复合函数的求导法则及可导的充分必要条件。如果 f(x)在 x 0 处可导且 f(x 0 )0，根据复合函数的求导法则有 因此，当 f(x)在 x 0 可导，而|f(x)|在 x 0 不可导时，一定有 f(x 0 )=0，所以 a=0。又当 f(x 0 )=0 时，设 g(x)=|f(x)|，则 10.（2007 年真题）设 （分数：2.00）A.-1B.1 C.D.解析：解析：本题考查复合函数的求导法则及特殊角的三角函数值。11
14、.（2010 年真题）设 f(x)=x 2 ，h(x)=f(1+g(x)，其中 g(x)可导，且 g“(1)=h“(1)=2，则 g(1)= 。（分数：2.00）A.-2B. C.0D.2解析：解析：本题考查函数记号以及复合函数导数。因 f“(x)=x 2 ，所以 h(x)=f(1+g(x)=1+g(x) 2 ， 12.（2008 年真题）函数 f(x)在1，+)上具有连续导数，且 （分数：2.00）A.f(x)在1，+)上有界B.存在C.存在D. 解析：解析：本题考查拉格朗日中值定理。 解法 1 根据拉格朗日中值定理得 f(x+1)-f(x)=f“()，其中 在 x 与 x+1 之间，当 x
15、+时，有 +，从而得 故正确选项为 D。 解法 2 特殊值代入法。取 f“(x)= 满足题设条件。易知选项 A，B 不成立。又13.（2006 年真题）如图 44 所示，曲线 P=f(t)表示某工厂 10 年期间的产值变化情况，设 f(t)是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是 。 （分数：2.00）A.前 2 年越来越慢，后 5 年越来越快 B.前 2 年越来越快，后 5 年越来越慢C.前 2 年越来越快，后 5 年越来越快D.前 2 年越来越慢，后 5 年越来越慢解析：解析：本题考查导数的意义及其几何意义，同时考查函数单调性的判断。 解法 1 从图 44 可知，曲线 P=f(t)
16、切线的斜率在0，2内是单调减少的，在5，10内是单调增加的，由导数的几何意义，f“(t)表示切线的斜率，因而，f“(t)在0，2内单调减少，f“(t)在5，10内单调增加，又 f“(t)是产值 P=f(t)的变化速度，所以该厂产值的增长速度是前 2 年越来越慢，后 5 年越来越快。故正确选项为 A。 解法 2 设 f(t)二阶可导，从图 44 可知，曲线 P=(t)在0，2内是凸的，在5，10内是凹的，这表明 f(t)在0，2内 f“(t)0，在5，10内 f“(t)0，从而 f“(t)在0，2内单调减少，在5，10内单调增加，又 f“(t)是产值 P=f(t)的变化速度，所以该厂产值的增长速
17、度是前 2 年越来越慢，后 5 年越来越快。14.（2006 年真题）设正圆锥母线长为 5，高为 h，底面圆半径为 r，在正圆锥的体积最大时， （分数：2.00）A.B.1C. D.解析：解析：本题主要考查圆锥的体积公式与函数最值的求法，由题设，圆锥体体积为 是唯一极大值点，从而是最大值点，这时 r=15.（2008 年真题）已知 f(x)=3x 2 +kx 3 (k0)当 x0 时，总有 f(x)20 成立，则参数 k 的最小取值是 。（分数：2.00）A.32B.64 C.72D.96解析：解析：本题考查求函数最大值、最小值的一般方法。f(x)20，即 3x 2 +kx -3 20，亦即
18、20x 3 -3x 5 k，函数 g(x)=20x 3 -3x 5 在(0，+)内的最大值就是参数 k 的最小取值。令 g“(x)=60x 2 -15x 4 =15x 2 (4-x 2 )=0，得 x=2，易知 x=2 是 g(x)在(0，+)内的唯一极大值点，因此它是 g(x)在(0，+)内的最大值点，最大值为 g(2)=2 3 (20-32 2 )=64 故正确选项为 B。16.（2004 年真题）如下不等式成立的是 。（分数：2.00）A.在(-3，0)区间上，ln3-xln(3+x)B.在(-3，0)区间上，ln3-xln(3+x) C.在0，+)区间上，ln3-xln(3+x)D.在
19、0，+)区间上，ln3-xln(3+x)解析：解析：本题考查利用导数的符号判断函数的单调性，进而比较两个函数的大小。 解法 1 设 f(x)=In(3+x)-ln3+x，因为 f(0)=0，在 C，D 中，所考虑的区间是0，+)，所考查的不等式是严格的不等号，所以，不选 C，D。考虑 A，B 中所讨论的区间，当 x(-3，0)时，f“(x)= +10，所以 f(x)在(-3，0)单调增加，从而当 x(-3，0)时，f(x)f(0)=0即与 X(-3，0)时，ln3-xln(3+x)。故正确选项为 B。 解法 2 设 f(x)=ln(3+x)，g(x)=ln3-x，则 f(x)=ln(3+x)的
20、定义域(-3，+)，f(x)单调递增，g(x)单调递减，f(x)与 g(x)在(0，ln3)相交。画出 f(x)=ln(3+x)和 g(z)=ln3-x(如图 46 所示)。17.（2010 年真题）若 a，b，c，d 成等比数列，则函数 （分数：2.00）A.有极大值，而无极小值B.无极大值，而有极小值C.有极大值，也有极小值D.无极大值，也无极小值 解析：解析：本题考查函数单调性和极值的判断方法。 解法 1 因 a，b，c，d 成等比数列，可设b=aq，c=aq 2 ，d=aq 3 ，其中 q0， 于是 y“=ax 2 +2bx+c=a(x 2 +2qx+q 2 )=a(x+q) 2 即函
21、数y= ax 3 +bx 2 +cx+d 单调递增或递减。 故正确选项为 D。 解法 2 取 a=b=c=d=1，则 y= x 3 +x 2 +x+1，于是 y“=x 2 +2x+1=(x+1) 2 0，即函数 y= 18.（2005 年真题）设 x 2 lnx 是 f(x)的一个原函数，则不定积分xf(x)dx= 。（分数：2.00）A.B.2x-x 2 lnx+CC.x 2 lnx+x 2 +C D.3x 2 lnx+x 2 +C解析：解析：本题考查原函数的概念和不定积分的分部积分法。由原函数的定义，f(x)=(x 2 lnx)“=2xlnx+x，故xf“(x)dx=xdf(x)=xf(x
22、)-f(x)dx=2x 2 lnx+x 2 -x 2 lnx+C=x 2 lnx+x 2 +C。故正确选项为 C。19.（2003 年真题）甲、乙两人百米赛跑成绩一样，那么 。（分数：2.00）A.甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B.甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定不一样C.甲、乙两人至少某时刻的瞬时速度一样 D.甲、乙两人到达终点的瞬时速度必定一样解析：解析：本题考查定积分的概念和积分中值定理(或微分中值定理)。 解法 1 设甲的速度是 1 (t)，乙的速度是 2 (t)，到达终点时所用时间为 T，则 0 T 1 (t)dt= 0 T 2 (t)dt，由积分中值定理得 0 T 1 (t)-
23、2 (t)dt= 1 ()- 2 ()T=0，0，T。 因 T0，所以 1 ()- 1 ()=0，即 1 ()= 2 ()。 故正确选项为 C。 解法 2 设甲的速度是 1 (t)，乙的速度是 2 (t)，则他们在时间 t 内所跑的距离分别是 0 t 1 (x)dx， 0 t 2 (x)dx，又设到达终点时所用时间为 T，且 令 g(t)= 0 t 1 (x)dx(z)dx- 0 t 2 (x)dx，则 g(0)=0，g(T)=0，由罗尔定理，存在 (0，T)使得 g“()= 1 ()- 2 ()=0，即 1 ()= 2 ()。 故正确选项为 C。 解法 3 根据生活常识，很容易排除 A，B，
24、D，由排除法，正确选项为 C。20.（2007 年真题）图 48 中的三条曲线分别是 f(x)， x+1 x f(t)dt， 的图形，按此排序，它们与图中所标示 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)的对应关系是 。 （分数：2.00）A.y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)B.y 1 (x)，y 3 (x)，y 2 (x)C.y 3 (x)，y 1 (x)，y 2 (x)D.y 3 (x)，y 2 (x)，y 1 (x) 解析：解析：本题考查利用定积分计算连续函数在区间a，b上的平均值。利用定积分计算函数 f(x)在区间a，b的平均值公式是 x+1 x f(t)dx 而 g
25、(x)= x+1 x f(t)dt 表示 f(x)在x，x+1上的平均值，h(x)= f(t)dt 表示 f(x)在x，x+3上的平均值，间隔越大，平均值所表示的曲线越平坦，从图 48 可见 y 3 的振幅最大，y 1 最平坦，因此 y 1 是 h(x)，y 3 是 f(x)。故正确选项为 D。 21.（2011 年真题）若 是 xf(x)的一个原函数，则 （分数：2.00）A.-1B.C. D.1解析：解析：本题考查原函数的概念和定积分的几何意义。 故正确选项为 C。 注：由定积分的几何意义知 等于单位圆在第一象限的面积，如图 49 所示。22.（2003 年真题）设 I= 0 sin(co
26、sx)dx，则 。（分数：2.00）A.I=1B.I0C.011D.I=0 解析：解析：本题考查定积分的性质与变量替换。 解法 1 设 x=t+ ，则 23.（2006 年真题）设 a0，则在0，a上方程 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：本题是一道综合题，考查零点存在定理，利用导数的符号判断函数的单调性以及变上限函数的导数。设 F(x)在0，a上连续，由连续函数的零点存在定理，(0，a)使得 F()=0。又F“(x)= 0，所以 F(x)在0，a上至多有一个零点。综合上述，F(x)在0，a上只有一个零点，即方程24.（2008 年真题）当 x0 时，函数 f(x)可导，
27、有非负的反函数 g(x)，且恒等式 1 f(x) g(t)dt=x 2 -1 成立，则函数 f(x)= 。（分数：2.00）A.2x+1B.2x-1 C.x 2 +1D.x 2解析：解析：本题考查变限定积分求导、反函数概念和定积分性质。由 1 f(x) g(t)dt=x 2 -1，得 f“(x)g(f(x)=2x，又 g(f(x)=x，所以 f“(x)=2，即 f(x)=2x+C。又由 1 f(x) g(t)=x 2 -1 知 1 f(1) (t)dt=1 2 -1=0，即 f(1)=1，所以 C=-1，故又由 1 f(x) g(t)dt=x 2 -1 知 1 f(x) g(t)dt=1 2
28、-1=0，即f(1)=1，所以 C=-1，故 f(x)=2x-1。故正确选项为 B。25.（2009 年真题）若连续函数 f(x)满足|uf(x-u)du= （分数：2.00）A. B.0C.D.1解析：解析：本题考查了定积分的换元法及变上限求导法则。在 0 x uf(x-u)du 中 令 x-u=t，则 du=-dt，且 当 u=0 时，t=x；当 u=x 时，t=0。 于是 0 x uf(x-u)du = 0 x (x-t)f(t)dt =x 0 x f(t)dt- 0 x tf(t)dt 故 x 0 x f(t)dt- 0 x tf(t)dt = +ln2。 对上式再关于 x 求导，得 26.（2011 年真题）若函数 y(x)= 2 x2 dt 则 （分数：2.00）A.0 B.1C.4e -1D.4e解析：解析：本题考查变上限积分的求导法则和二阶导数的计算。由于本题是求在 x=-1 处的二阶导数值，不妨设 x0。27.（2004 年真题）如图 413 所示，抛物线 把 y=x(b-x)(b0)与 x 轴所构成的区域面积分为 S A 与 S B 两部分，则 。 （分数：2.00）A.S A S BB.S A =S B C.S A S BD.S A 与 S B 大小关系与 6 的数值有关解析：解析：本题考查利用定积分计算平面图形的面积。先求两条曲线的交点横坐标。由
