1、2015 年内蒙古乌兰察布市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题只有一个正确选项 ) 1.在 13， 0， -1， 2 这四个实数中，最大的是 ( ) A.13B.0 C.-1 D. 2 解析 ：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数， 0 13 1， 1 2 2， -1 0 13 2 . 答案： D 2. 2014 年中国吸引外国投资达 1280 亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将 1280亿美元用科学记数法表示为 ( ) A.12.8 1010美元 B.1.28 1011美元 C.1.28 1012美元 D.0.1
2、28 1013美元 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 1280 亿 =128000000000=1.28 1011. 答案： B 3.下列计算结果正确的是 ( ) A.2a3+a3=3a6 B.(-a)2 a3=-a6 C.(-12)-2=4 D.(-2)0=-1 解析 ： A、 2a3+a3=3a3，故错误； B、 (-a)2 a3=a5，故错误； C、正确
3、； D、 (-2)0=1，故错误 . 答案： C 4.在 Rt ABC 中， C=90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3倍，则 tanB的值是 ( ) A.13B.3 C. 24D.2 2 解析 ： 设 BC=x，则 AB=3x，由勾股定理得， AC=2 2 x， tanB= 22AC xBC x=2 2 . 答案 ： D 5. 一组数据 5， 2， x， 6， 4 的平均数是 4，这组数据的方差是 ( ) A.2 B. 2 C.10 D. 10 解析 ： 由题意得， 15(5+2+x+6+4)=4， 解得， x=3， s2=15(5-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(4
4、-4)2=2. 答案 ： A 6.不等式组 3 2 2 5123xxxx ，的最小整数解是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 ： 3 2 2 5123xxxx ，解得 x -1，解得 x 3， 不等式组的解集为 -1 x 3，不等式组的最小整数解为 0. 答案 ： B 7. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为 ( ) A.2 3 B.3 3 C.4 3 D.6 3 解析 ： 如图所示：作 AD BC 与 D，连接 OB， 则 AD 经过圆心 O， ODB=90， OD=1， ABC 是等边三角形， BD=CD， OBD=12 ABC=30， OA=OB=2OD
5、=2， AD=3， BD= 3 ， BC=2 3 ， ABC 的面积 =12BC AD=12 2 3 3=3 3 . 答案 ： B 8.下列说法中正确的是 ( ) A.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为 12B.“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件 C.“同位角相等”这一事件是不可能事件 D.“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件 解析 ： A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为 14，故 A 错误； B、“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，故 B 正
6、确； C、同位角相等是随机事件，故 C 错误； D、“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，故 D 错误 . 答案 ： B 9.如图，在 ABC 中， AB=5， AC=3， BC=4，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 30后得到 ADE，点 B 经过的路径为 弧 BD，则图中阴影部分的面积为 ( ) A.2512 B.43 C.34 D.512 解析 ： AB=5， AC=3， BC=4， ABC 为直角三角形， 由题意得， AED 的面积 = ABC 的面积， 由图形可知，阴影部分的面积 = AED 的面积 +扇形 ADB 的面积 - ABC 的面积， 阴影部分的
7、面积 =扇形 ADB 的面积 = 53 0 5 2 53 6 0 1 2 . 答案 ： A 10.观察下列各数： 1， 43， 97， 1615，按你发现的规律计算这列数的第 6 个数为 ( ) A.2531B.3635C.47D.6263解析 ： 观察该组数发现： 1， 43， 97， 1615， 第 n 个数为 221nn，当 n=6 时， 22662 1 2 1nn =47 . 答案 ： C. 11.已知下列命题： 在 Rt ABC 中， C=90，若 A B，则 sin A sinB； 四条线段 a， b， c， d 中，若 acbd，则 ad=bc； 若 a b，则 a(m2+1)
8、b(m2+1)； 若 |-x|=-x，则 x 0. 其中原命题与逆命题均为真命题的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 在 Rt ABC 中， C=90，若 A B，则 sin A sinB，原命题为真命题， 逆命题是：在 Rt ABC 中， C=90，若 sin A sinB，则 A B，逆命题为真命题； 四条线段 a， b， c， d 中，若 acbd，则 ad=bc，原命题为真命题， 逆命题是：四条线段 a， b， c， d 中，若 ad=bc，则 acbd，逆命题为真命题； 若 a b，则 a(m2+1) b(m2+1)，原命题为真命题， 逆命题是：若 a(m2+1) b(m2
9、+1)，则 a b，逆命题为真命题； 若 |-x|=-x，则 x 0，原命题为假命题，逆命题是：若 x 0，则 |-x|=-x，逆命题为假命题 . 答案 ： A 12.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象与 x轴交于点 A(-1， 0)，对称轴为直线 x=1，与 y 轴的交点 B 在 (0， 2)和 (0， 3)之间 (包括这两点 )，下列结论： 当 x 3 时， y 0； 3a+b 0； -1 a -23； 4ac-b2 8a； 其中正确的结论是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为 (3， 0)，当 x 3 时
10、， y 0，故正确； 抛物线开口向下，故 a 0， x=-2ba=1， 2a+b=0. 3a+b=0+a=a 0，故正确； 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，则 y=ax2-2ax-3a， 令 x=0 得： y=-3a.抛物线与 y 轴的交点 B 在 (0， 2)和 (0， 3)之间， 2 -3a 3.解得： -1 a -23，故正确； 抛物线 y 轴的交点 B 在 (0， 2)和 (0， 3)之间， 2 c 3， 由 4ac-b2 8a 得： 4ac-8a b2， a 0， c-2 24ba， c-2 0， c 2，与 2 c 3 矛盾，故错误 . 答案 ： B 二、填空题 (
11、本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 ) 13.计算： ( 27 - 13) 3 = . 解析 ： 原式 = 12 7 3 33 =9-1=8. 答案 ： 8 14. 化简： (a-21aa) 2 1aa= . 解析： 原式 = 2221211 1 1aa a a aa a a a a = 11aa. 答案： 11aa15.已知关于 x 的一元二次方程 x2+ 1k x-1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 . 解析： 关于 x 的一元二次方程 x2+ 1k x-1=0 有两个不相等的实数根， 101 4 0kk， ，解得 k 1， k 的取值范围是 k 1. 答案：
12、 k 1 16.一个不透明的布袋里装有 5 个球，其中 4 个红球和 1 个白球，它们除颜色外其余都相同，现将 n 个白球放入布袋，搅匀后，使摸出 1 个球是红球的概率为 23，则 n= . 解析： 根据题意得： 45 n=23，解得： n=1，经检验： n=1 是原分式方程的解 . 答案： 1 17.已知点 A(-2， y1)， B(-1， y2)和 C(3， y3)都在反比例函数 y=3x的图象上，则 y1， y2， y3的大小关系为 .(用“”连接 ) 解析： 反比例函数 y=3x 中 k=3 0， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 . -2
13、 -1 0， 点 A(-2， y1)， B(-1， y2)位于第三象限，且 0 y1 y2. 3 0， 点 C(3， y3)位于第一象限， y3 0， y2 y1 y3. 答案： y2 y1 y3 18.如图， O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径，若 O 的半径是 4， sinB=14，则线段AC 的长为 . 解析： 连结 CD，如图， AD 是 O 的直径， ACD=90， D= B， sinD=sinB=14， 在 Rt ACD 中， sinD=ACAD=14， AC=14AD=14 8=2. 答案 ： 2 19.如图，在边长为 3 +1 的菱形 ABCD 中， A=60，点
14、 E， F 分别在 AB， AD 上，沿 EF 折叠菱形，使点 A 落在 BC 边上的点 G 处，且 EG BD于点 M，则 EG 的长为 . 解析：如图，连接 AC，交 BD 于点 O， 四边形 ABCD 是菱形， AC BD， AC=2AO， A=60， BAO=30， AO=AB cos30 =( 3 +1) 3 3223， AC=32 3=3+ 3 ， 沿 EF 折叠菱形，使点 A 落在 BC 边上的点 G处， EG=AE， EG BD， AC BD， EG AC， EG BEAC AE， 又 EG=AE， 333131E G E G，解得 EG= 3 ， EG 的长为 3 . 答案：
15、 3 20.如图，在矩形 ABCD 中， BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，取 EF 的中点 G，连接 CG， BG， BD， DG，下列结论： BE=CD； DGF=135； ABG+ ADG=180； 若 23ABAD，则 3S BDG=13S DGF. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号 ) 解析： AE 平分 BAD， BAE=45， ABE 是等腰直角三角形， AB=BE， AEB=45， AB=CD， BE=CD，故正确； CEF= AEB=45， ECF=90， CEF 是等腰直角三角形， 点 G 为 EF 的中点， CG=EG， FCG=
16、45， BEG= DCG=135， 在 DCG 和 BEG 中， B E C DB E G D C GC G E G ， DCG BEG(SAS). BGE= DGC， BGE AEB， DGC= BGE 45， CGF=90， DGF 135，故错误； BGE= DGC， ABG+ ADG= ABC+ CBG+ ADC- CDG= ABC+ ADC=180，故正确； 23ABAD，设 AB=2a， AD=3a， DCG BEG， BGE= DGC， BG=DG， EGC=90， BGD=90， BD= 22 13A D A B a， BG=DG= 262a， S BDG=12 262a 26
17、2a=134a2， 3S BDG=3 134a2， 过 G 作 GM CF 于 M， CE=CF=BC-BE=BC-AB=a， GM=112CF=112a， S DGF=12 DF GM=12 3a 12a=34a2， 13S DGF=13 34a2， 3S BDG=13S DGF，故正确 . 答案： . 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 60 分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出 ) 21.某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图 1、图 2 两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题
18、： (1)本次接收随机抽样调查的男生人数为 人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为 ； (2)补全条形统计图中“优秀”的空缺部分； (3)若该校七年级共有男生 480 人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数 . 解析： (1)合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的人数除以总人数再乘以 360即可得出“良好”所对应的圆心角的度数； (2)用 40-2-8-18 即可； (3)用 480 乘以良好所占的百分比即可 . 答案 ： (1)8 20%=40(人 )， 18 40 360 =162 . (2)“优秀”的人数 =40-2-8-18=12，如图， (3
19、)“良好”的男生人数： 1840 480=216(人 )， 答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为 216 人 . 22.为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端 D 距广告牌立柱距离 CD为 3 米，从 D 点测得广告牌顶端 A 点和底端 B 点的仰角分别是 60和 45 . (1)求公益广告牌的高度 AB； (2)求加固钢缆 AD 和 BD 的长 .(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号 ) 解析： (1)根据已知和 tan ADC=ACDC，求出 AC，根据 BDC=45，求出 BC，根据 AB=AC-BC
20、求出 AB； (2)根据 cos ADC=CDAD，求出 AD，根据 cos BDC= CDBD，求出 BD. 答案 ： (1)在 Rt ADC 中， ADC=60， CD=3， tan ADC=ACDC， AC=3 tan60 =3 3 ， 在 Rt BDC 中， BDC=45， BC=CD=3， AB=AC-BC=(3 3 -3)米 . (2)在 Rt ADC 中， cos ADC=CDAD， AD= 33cos 60 12=6 米， 在 Rt BDC 中， cos BDC=CDBD， BD= 33cos 45 22=3 2 米 . 23.我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共 700 尾，
21、甲种鱼苗每尾 3 元，乙种鱼苗每尾 5元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为 85%和 90%. (1)若购买这两种鱼苗共用去 2500 元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？ (2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于 88%，则甲种鱼苗至多购买多少尾？ (3)在 (2)的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用 . 解析： (1)设购买甲种鱼苗 x 尾，乙种鱼苗 y 尾，根据题意列一元一次方程组求解即可； (2)设购买甲种鱼苗 z 尾，乙种鱼苗 (700-z)尾，根据题意列不 等式求出解集即可； (3)设甲种鱼苗购买 m 尾，购买鱼苗的费用为 w 元，列出 w与 x 之间
22、的函数关系式，运用一次函数的性质解决问题 . 答案 ： (1)设购买甲种鱼苗 x 尾，乙种鱼苗 y 尾， 根据题意可得： 7003 5 2 5 0 0xyxy，解得： 500200xy，答：购买甲种鱼苗 500 尾，乙种鱼苗 200 尾 . (2)设购买甲种鱼苗 z 尾，乙种鱼苗 (700-z)尾， 列不等式得： 85%z+90%(700-z) 700 88%，解得： z 280. 答：甲种鱼苗至多购买 280 尾 . (3)设甲种鱼苗购买 m 尾，购买鱼苗的费用为 w 元， 则 w=3m+5(700-m)=-2m+3500， -2 0， w 随 m 的增大而减小， 0 m 280，当 m=2
23、80 时， w 有最小值， w 的最小值 =3500-2 280=2940(元 )， 700-m=420. 答：当选购甲种鱼苗 280 尾，乙种鱼苗 420 尾时，总费用最低，最低费用为 2940 元 . 24.如图， AB 是 O 的直径，点 D 是 弧 AE 上一点，且 BDE= CBE， BD 与 AE 交于点 F. (1)求证： BC 是 O 的切线； (2)若 BD 平分 ABE，求证： DE2=DF DB； (3)在 (2)的条件下，延长 ED， BA 交于点 P，若 PA=AO， DE=2，求 PD 的长和 O 的半径 . 解析： (1)根据圆周角定理即可得出 EAB+ EBA=
24、90，再由已知得出 ABE+ CBE=90，则 CB AB，从而证得 BC 是 O 的切线； (2)通过证得 DEF DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论 . (3)连接 DA、 DO，先证得 OD BE ，得出 PD POPE PB，然后根据已知条件得出23P O P D P DP B P E P D D E ，求得 PD=4，通过证得 PDA POD，得出 PD PAPO PD ，设OA=x，则 PA=x， PO=2x，得出 424xx，解得 OA=2 2 . 答案 ： (1) AB 是 O 的直径， AEB=90， EAB+ EBA=90， EDB= EAB， BDE= CB
25、E， EAB= CBE， ABE+ CBE=90， CB AB， AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线 . (2) BD 平分 ABE， ABD= DBE， 弧 AD=弧 DE， DEA= DBE， EDB= BDE， DEF DBE， DE DFDB DE， DE2=DF DB. (3)连接 DA、 DO， OD=OB， ODB= OBD， EBD= OBD， EBD= ODB， OD BE， PD POPE PB， PA=AO， PA=AO=OB， 23POPB， 23PDPE， 23PDPD DE ， DE=2， PD=4， PDA+ ADE=180， ABE+ ADE=180，
26、 PDA= ABE， OD BE， AOD= ABE， PDA= AOD， P= P， PDA POD， PD PAPO PD， 设 OA=x， PA=x， PO=2x， 424xx， 2x2=16， x=2 2 ， OA=2 2 . 25.如图，四边形 ABCD 中， AD BC， A=90， AD=1 厘米， AB=3 厘米， BC=5 厘米，动点 P从点 B 出发以 1 厘米 /秒的速度沿 BC 方向运动，动点 Q 从点 C 出发以 2 厘米 /秒的速度沿 CD方向运动， P， Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 D 时停止运动，点 P 也随之停止，设运动时间为 t 秒 (t 0). (
27、1)求线段 CD 的长； (2)t 为何值时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1： 2 两部分？ (3)伴随 P， Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l. t 为何值时， l 经过点 C？ 求当 l 经过点 D 时 t 的值，并求出此时刻线段 PQ的长 . 解析： (1)作 DE BC 于 E，根据勾股定理即可求解； (2)线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1： 2 两部分，分两种情况进行求解； (3)当 PQ 的垂直平分线经过点 C 进行分析解答； 当 PQ 的垂直平分线 l 经过点 D 时进行分析解答 . 答案 ： (1)如图，作 DE BC 于 E， AD
28、 BC， A=90， 四边形 ABED 为矩形， BE=AD=1， DE=AB=3， EC=BC-BE=4， 在 Rt DEC 中， DE2+EC2=DC2， DC= 2234 =5 厘米 . (2)点 P 的速度为 1 厘米 /秒，点 Q 的速度为 2厘米 /秒，运动时间为 t秒， BP=t 厘米， PC=(5-t)厘米， CQ=2t 厘米， QD=(5-2t)厘米，且 0 t 2.5， 作 QH BC 于点 H， DE QH， DEC= QHC， C= C， DEC QHC， DE DCQH QC， 352QH t， QH=65t， S PQC=12 PC QH=12 (5-t) 65t=
29、-35t2， S 四边形 ABCD=12 (AD+BC) AB=12 (1+5) 3=9， 分两种情况讨论： 当 S PQC： S 四边形 ABCD=1： 3 时， -35t2+3t=13 9，即 t2-5t+5=0， 解得： t1=552， t2=552(舍去 )； S PQC： S 四边形 ABCD=2： 3 时， -35t2+3t=23 9，即 t2-5t+10=0， 0，方程无解， 当 t 为 552秒时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1： 2两部分； (3)如图， 当 PQ 的垂直平分线 l 经过点 C 时，可知 PC=QC， 5-t=2t， 3t=5， t=53，当
30、t=53秒时，直线 l 经过点 C. 如图， 当 PQ 的垂直平分线 l 经过点 D 时，可知 DQ=DP，连接 DP，则在 Rt DEP中， DP2=DE2+EP2， DQ2=DE2+EP2， (5-2t)2=32+(t-1)2， t1=1， t2=5(舍去 )， BP=1 厘米，当 t=1 秒时，直线 l 经过点 D，此时点 P 与点 E 重合； 如图，连接 FQ， 直线 l 是 DPQ 的对称轴， DEF DQF， DQF=90， EF=QF， 设 EF=x 厘米，则 QF=x 厘米， FC=(4-x)厘米， 在 Rt FQC 中， FQ2+QC2=FC2， x2+22=(4-x)2，
31、x=32， EF=32厘米， 在 Rt DEF 中， DE2+EF2=DF2， 32+(32)2=DF2， DF=32 5 厘米， 在 Rt DEF 中， EG DF， S DEF=12DF EG=12DE EF， EG=DE EFDF， EG=355厘米， PQ=2EG=655厘米 . 26.已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(-1， 0)， B(3， 0)两点，与 y 轴相交于点 C，该抛物线的顶点为点 D. (1)求该抛物线的解析式及点 D 的坐标； (2)连接 AC， CD， BD， BC，设 AOC， BOC， BCD 的面积分别为 S1， S2和 S3，用等式表示S1， S2
32、， S3之间的数量关系，并说明理由； (3)点 M 是线段 AB 上一动点 (不包括点 A 和点 B)，过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N，连接 MC，是否存在点 M 使 AMN= ACM？若存在，求出点 M 的坐标和此时刻直线 MN 的解析式；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点 D 的坐标； (2)根据点的坐标求出 AOC， BOC 的面积，利用勾股定理的逆定理判断 BCD 为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案； (3)假设存在，设点 M 的坐标为 (m， 0)，表示出 MA 的长，根据 MN BC，得到
33、比例式求出 AN，根据 AMN ACM，得到比例式求出 m，得到点 M 的坐标，求出 BC 的解析式，根据 MN BC，设直线 MN 的解析式，求解即可 . 答案： (1)抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(-1， 0)， B(3， 0)两点， 109 3 0bcbc ，解得 23bc，抛物线的解析式为： y=x2-2x-3， y=x2-2x-3=(x-1)2-4，点 D 的坐标为： (1， -4). (2)S1+S3=S2， 过点 D 作 DE x 轴于点 E， DF y 轴于 F， 由题意得， CD=2， BD=25， BC=32， CD2+BC2=BD2， BCD 是直角三角形， S1
34、=12 OA OC=32， S2=12OBOC= 92， S3=12 CD BC=3， S1+S3=S2. (3)存在点 M 使 AMN= ACM， 设点 M 的坐标为 (m， 0)， -1 m 3， MA=m+1， AC= 10 ， MN BC， AM ABAN AC，即 1410mAN ，解得， AN= 104 (m+1)， AMN= ACM， MAN= CAM， AMN ACM， AM ANAC AM，即 (m+1)2= 10 104(m+1)，解得， m1=32， m2=-1(舍去 )， 点 M 的坐标为 (32， 0)， 设 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B(3， 0)， C(0， -3)代入得， 303kbb，解得 13kb，则 BC 的解析式为 y=x-3，又 MN BC， 设直线 MN 的解析式为 y=x+b，把点 M 的坐标为 (32， 0)代入得， b=-32， 直线 MN 的解析式为 y=x-32.
