1、2015 年内蒙古鄂尔多斯市中考真题数学 一、 单项选择题 (本大题共 10 题,每题 3 分,共 30 分 ) 1. 12的相反数是 ( ) A.-2 B.2 C. 12D.12解析:根据相反数的含义,可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“ -”,所以 12的相反数是 11()22 . 答案: D. 2. 如图所示几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析: 考查简单组合体的三视图 .左视图是从左边看得到的图形,从左边看图中的几何体,第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形 . 答案: D 3 下列计算正确的是 ( ) A.a3+a3=a6 B.2x+3y=5xy
2、 C.a3 a=a4 D.(2a2)3=6a5 解析: 考查幂的乘方和积的乘方,合并同类项,同底数幂的乘法 .对各个选项分析判断: A、 a3+a3=2 a3,此选项错误; B、 2x 与 3y 不是同类项, 2x+3y 不能合并,此选项错误; C、 a3 a=a4,此选项正确; D、 (2a2)3=8a6,此选项错误 . 答案: C 4.如图,直线 l1 l2, 1=50, 2=23 20,则 3 的度数为 ( ) A.26 40 B.27 20 C.27 40 D.73 20 解析: 考查平行线的性质,度分秒的换算,三角形的外角性质 . l1 l2, 1=50, 4= 1=50, 4= 2
3、+ 3, 2=23 20, 3=26 40 . 答案: A 5.七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后,积极践行“节约用水,从我做起 .” 下表是从七年级学生中选出 10 名学生统计出的各自家庭一个月的节水情况: 那么这组数据的众数和平均数分别是 ( ) A.0.4 和 0.3 B.0.4 和 0.34 C.0.4 和 0.4 D.0.4 和 0.42 解析: 根据众数的定义和算术平方根的算法分别解答 . 用水量 0.4m3的用户 4 户最多, 众数是 0.4 m3; 平均数 = 110(0.2 1+0.3 2+0.4 4+0.5 2+0.6 1)= 0.4 m3. 答案: C 6.如图,
4、P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点, E 是 AD 的中点 .若 AB=6, AD=8,则四边形 ABPE的周长为 ( ) A.14 B.16 C.17 D.18 解析: 考查矩形的性质,直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理 .由矩形的性质得出 ABC=90, CD=AB=6, BC=AD=8,由勾股定理求出 AC,由直角三角形斜边上的中线性质得出 BP,证明 PE 是 ACD 的中位线,由三角形中位线定理得出 PE=12CD=3,四边形 ABPE 的周长 =AB+BP+PE+AE,即可得出结果: 四边形 ABCD 是矩形, ABC=90, CD=AB=6, BC=AD=8, A
5、C= 22AB BC = 2268 =10, BP=12AC=5, P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点, E 是 AD的中点, AE=12AD=4, PE 是 ACD 的中位线, PE=12CD=3, 四边形 ABPE 的周长 =AB+BP+PE+AE=6+5+3+4=18. 答案: D 7.小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本,本月再去买时,恰遇此文具店搞优惠酬宾活动,同样的笔记本,每本比上月便宜 1 元,结果小明只比上次多用了 4 元钱,却比上次多买了 2 本 .若设他上月买了 x 本笔记本,则根据题意可列方程 ( ) A. 24 20 12xxB. 20 24 1
6、2xxC. 24 20 12xxD. 20 24 12xx解析: 设他上月买了 x 本笔记本,则这次买了 (x+2)本,然后可求得两次每本笔记本的价格,由等量关系:每本比上月便宜 1 元,即可得到方程 20 20 4 12xx , 即: 20 24 12xx . 答案: B 8.如图, A、 B 是边长为 1 的小正方形组成的网格上的两个格点,在格点中任意放置点 C,恰好能使 ABC 的面积为 1 的概率是 ( ) A. 625B.15C. 425D. 725解析: 考查概率公式,三角形的面积 .在 4 4 的网格中共有 25 个格点,使得三角形面积为1 的格点有 6 个, 故使得三角形面积为
7、 1 的概率为 625. 答案: A. 9.下列说法中,正确的有 ( ) 等腰三角形两边长为 2 和 5,则它的周长是 9 或 12. 无理数 3 在 -2 和 1 之间 . 六边形的内角和是外角和的 2 倍 . 若 a b,则 a-b 0.它的逆命题是假命题 . 北偏东 30与南偏东 50的两条射线组成的角为 80 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析: 一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 5, 当腰长为 2,则 2+2 5,此时不成立, 当腰长为 5 时,则它的周长为: 5+5+2=12. 即该三角形的周长是 12. 故错误; 无理数 3 在 2 和 1 之间 .故错
8、误; 6 2 1 8 0 2360 ,即六边形的内角和是外角和的 2 倍 .故正确; 若 a b,则 a b 0.它的逆命题是真命题,故错误; 北偏东 30与南偏东 50的两条射线组成的角为 100 .故错误 . 答案: B 10.如图,在矩形 ABCD 中, AD=2, AB=1, P 是 AD 的中点,等腰直角三角板 45角的顶点与点 P 重合,当此三角板绕点 P 旋转时,它的直角边和斜边所在的直线与 BC 分别相交于 E、 F两点 .设线段 BF=x, CE=y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解析: 考查动点的函数图象 . 如图
9、,连接 CP、 BP, 在矩形 ABCD 中, AD=2, AB=1, P 是 AD 的中点, APB 与 DPC 都是等腰直角三角形,且 APB DPC, PB=PC, BPC=90 . 把 BPE 绕点 P 逆时针旋转 90得到 CPG,连结 FG. 则 PE=PG, PCG= PBE=45, FCG= BCP+ PCG=45 +45 =90, EPF=45, FPG= FPE=45, 在 PEF 和 PGF 中, P E P GF P E F P GP F P F , PEF PGF(SAS), EF=GF, BC=AD=2, BF=x, CE=y, CG=BE=2 y, CF=2 x,
10、 EF=BC BE CF=2 (2 y) (2 x)=x+y 2, 在 Rt CFG 中, CF2+CG2=FG2, 即 (2 x)2+(2 y)2=(x+y 2)2, 整理得, y= 2x, 纵观各选项,只有 C 选项图形符合 . 答案: C 二、填空题 (本大题共 6 题,每题 3 分,共 18 分 ) 11.截止 2014 年 12 月 30 日,鄂尔多斯市“十个全覆盖”工程共完成投资 19.24 亿元 .数据“ 19.24 亿”用科学记数法表示为 . 解析: 考查用科学记数法表示较大的数 .科学记数法的表示形式为 a 10n的形式,其中 1|a| 10, n 为整数 .确定 n 的值时
11、,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时, n 是正数;当原数的绝对值 1 时, n 是负数 .将 19.24 亿用科学记数法表示为: 1.924 109. 答案: 1.924 109 12.不等式组 3 2 33 1 2 1123xxxx 的所有整数解的和是 . 解析: 考查一元一次不等式组的整数解 . 3 2 33 1 2 1 123xxxx 由得: x 3, 由得: x 115, 不等式组的解集为: 115 x 3, 则不等式组的整数解为: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 所以整数解的和: -2-1+0+1+2+3
12、=3. 答案: 3 13.如图,某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花,半径 OA=4 米, C 是 OA的中点,点 D 在 AB 上, CD OB,则图中种植黄花 (即阴影部分 )的面积是 (结果保留 ). 解析: 考查扇形面积的计算 .连接 OD,根据直角三角形的性质求出 ODC 的度数,根据扇形面积公式和三角形面积公式得到答案 . 连接 OD, C 是 OA 的中点, OA=OD, OC=12OD=2, CD=2 3 , ODC=30,则 DOA=60, 种植黄花 (即阴影部分 )的面积 =扇形 AOD 的面积 DOC 的面积 26 0 4 2 2 3360 12 8 233
13、 答案: 8 233 14.小奇设计了一个魔术盒,当任意实数对 (a, b)进入其中时,会得到一个新的实数 a2-3b-5,例如把 (1, -2)放入其中,就会得到 12-3 (-2)-5=2.现将实数对 (m, 3m)放入其中,得到实数 5,则 m= . 解析: 将实数对 (m, 3m)放入其中,得到实数 5, m2 9m 5=5,解得 m=10 或 1. 答案: 10 或 1 15.如图,甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A、 C 同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行 .若甲的速度是乙的速度的 3 倍,则它们第 2015次相遇在边 上 . 解析:
14、此题利用行程问题中的相遇问题,设出正方形的边长,乙的速度是甲的速度的 3 倍,求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答 设正方形的边长为 a,因为乙的速度是甲的速度的 3 倍,时间相同,甲乙所行的路程比为 3:1,把正方形的每一条边平均分成 2 份,由题意知: 一次相遇甲乙行的路程和为 2a,甲行的路程为 2a 113=2a,乙行的路程为 2a 313=32a ,在 AB 边相遇; 第二次相遇甲乙行的路程和为 4a,甲行的路程为 4a 113=a,乙行的路程为 4a 313=3a,在 CB 边相遇; 第三次相遇甲乙行的路程和为 4a,甲行的路程为 4a 113=a,乙行的路程为 4a 313=3
15、a,在 DC 边相遇; 第四次相遇甲乙行的路程和为 4a,甲行的路程为 4a 113=a,乙行的路程为 4a 313=3a,在 AB 边相遇; 第五次相遇甲乙行的路程和为 4a,甲行的路程为 4a 113=a,乙行的路程为 4a 313=3a,在 AD 边相遇; 因为 2015=50334 4,所以它们第 2015 次相遇在边 AB 上 . 答案: AB. 16.如图, ABC 中, C=90, CA=CB,点 M 在线段 AB 上, GMB= 12 A, BG MG,垂足为 G, MG 与 BC 相交于点 H.若 MH=8cm,则 BG= cm. 解析: 考查全等三角形的判定与性质 ,等腰直
16、角三角形 . 如图,作 MD BC 于 D,延长 DE 交 BG 的延长线于 E, ABC 中, C=90, CA=CB, ABC= A=45, GMB=12 A, GMB=12 A=22.5, BG MG, BGM=90, GBM=90 22.5 =67.5, GBH= CBM ABC=22.5 . MD AC, BMD= A=45, BDM 为等腰直角三角形 BD=DM, 而 GBH=22.5, GM 平分 BMD, 而 BG MG, BG=EG,即 BG=12BE, MHD+ HMD= E+ HMD=90, MHD= E, GBD=90 E, HDM=90 E, GBD= HDM, 在
17、BED 和 MHD 中, E M H DE B D H M DB D M D , BED MHD(AAS), BE=MH, BG=12MH=4. 答案: 4. 三、解答题 (本大题共 8 题,共 72 分,解答时写出必要的文字说明,演算步骤或推证过程 ) 17.(1)计算: 203 8 5 3 213 ( ) ( )解析: 原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用立方根定义计算,第三项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 . 答案: 原式 =9+( 2) 5+1=3. (2)先化简 222 2 111aaa a a,再从 21a 有意义的范围内选取一个整数作
18、为 a 的值代入求值 . 解析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把 a=2 代入计算即可求出值 . 答案: 原式 = 211 =111aaaaa , 21a 有意义, 2a-1 0,即 a 12. 则当 a=2 时,原式 = 221=2. 18.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动,活动后,就活动的 5 个主题进行了抽样调查 (每位同学只选最关注的一个 ),根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图 .根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)这次调查的学生共有多少名? 解析: 根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学
19、生总数即可 . 答案: 56 20%=280(名 ), 答:这次调查的学生共有 280 名 . (2)请将条形统计图补充完整,并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数 . 解析: 求出“互助”与“进取”的学生数,补全条形统计 图,求出“进取”占的圆心角度数即可 . 答案: 280 15%=42(名 ), 280 42 56 28 70=84(名 ), 补全条形统计图,如图所示, 根据题意得: 84 280=30%, 360 30%=108, 答:“进取”所对应的圆心角是 108 . (3)如果要在这 5 个主题中任选两个进行调查,根据 (2)中调查结果,用树状图或列表法,求恰好选到学
20、生关注最多的两个主题的概率 (将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为 A、 B、C、 D、 E). 解析: 列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好选到“ C”与“ E”的情况数,即可求出所求的概率 . 答案: 由 (2)中调查结果知:学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为: A B C D E A (A, B) (A, ) (, ) (, ) B (, A) (, ) (, ) (, ) C (, ) (, ) (, ) (, ) D (, ) (, ) (, ) (, ) E (, ) (, ) (, ) (, ) 用树状图为: 共 20 种情况,恰好选到“ C”和“
21、E”有 2 种, 恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是 2 =20 110. 19.为响应国家的“节能减排”政策,某厂家开发了一种新型的电动车,如图,它的大灯 A射出的光线 AB、 AC 与地面 MN 的夹角分别为 22和 31, AT MN,垂足为 T,大灯照亮地面的宽度 BC 的长为 56m. (1)求 BT 的长 (不考虑其他因素 ). 解析: 在直角 ACT 中,根据三角函数的定义,若 AT=3x,则 CT=5x,在直角 ABT 中利用三角函数即可列方程求解 . 答案: 根据题意及图知: ACT=31, ABT=22 AT MN ATC=90 在 Rt ACT 中, ACT=31
22、 tan31 35ATCT可设 AT=3x,则 CT=5x, 在 Rt ABT 中, ABT=22 tan22 25A T A TB T B C C T 即: 325 556xx解得: x=13 CT=5 13=53m, BT=BC+CT=56+53=52m,即 BT 长为 52m. (2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是 0.2s,从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离 .某人以 20km/h 的速度驾驶该车,从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是 149m,请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求 (大灯与前轮前端间水平距离忽略不计 ),并说明理由 .
23、 (参考数据: sin22 38, tan22 25, sin31 1325, tan31 35) 解析: 求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程,加上刹车距离,然后与 BT 的长进行比较即可 . 答案: 20km/h=509m/s, 509 0.2=109 m, 109 +149 =83 m, 83 52, 该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求 . 20.如图,在同一直角坐标系中,一次函数 y= 3 x-2 的图象和反比例函数 y=kx的图象的一个交点为 A( 3 , m). (1)求 m 的值及反比例函数的解析式 . 解析: 把 A( 3 , m)代入一次函数的解析式,即可求得 n
24、的值,即 A 的坐标,然后把 A 的坐标代入反比例函数的解析式,即可求得函数的解析式 . 答案: 一次函数 y= 3 x-2 的图象经过点 A( 3 , m), m= 3 3 -2=1, 点 A 的坐标为 ( 3 , 1), 又反比例函数的图象经过点 A, k= 3 1= 3 , 反比例函数的解析式为 y= 3x. (2)若点 P 在 x 轴上,且 AOP 为等腰三角形,请直接写出点 P 的坐标 . 解析: 分三种情况进行讨论: OA=OP 时两个点 (2, 0), ( 2, 0), PA=PO 时一个点 (233,0), AO=AP 时一个点 (2 3 , 0),求得 P 的坐标 . 答案:
25、 符合条件的点 P 有 4 个,分别是: P1( 2, 0), P2(2, 0), P3(2 3 , 0), P4(233,0). 21.如图,在 ABCD 中, E、 F 分别为 AB、 BC 的中点,连接 EC、 AF, AF 与 EC 交于点 M, AF的延长线与 DC 的延长线交于点 N. (1)求证: AB=CN; 解析: 由在 ABCD 中, E、 F 分别为 AB、 BC 的中点,易证得 ABF NCF(AAS),继而证得结论 . 答案: 四边形 ABCD 是平行四边形, AB DN, B= FCN, BAF= N, F 是 BC 的中点, BF=CF, 在 ABF 和 NCF
26、中, B FCNBAF NBF CF , ABF NCF(AAS), AB=CN. (2)若 AB=2n, BE=2MF,试用含 n 的式子表示线段 AN 的长 . 解析: 由 AB DN,易证得 AEM NCM,然后由相似三角形的对应边成比例,且 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点,求得 12AM AEM N C N,然后由 BE= 12AB, AB=2n, BE=2MF, AF=FN,求得 AN=3n. 答案: AB DN, AEM NCM, AM AEMN CN, AB=CN,且 E 是 AB 的中点, 12AM AEM N C N, BE=12AB, AB=2n, BE=2MF,
27、BE=n, MF=12n, 12AFAF MFMF , 由 ABF NCF,可得 AF=FN, 1121 22AFAFnn, AF=32n, AN=3n. 22.如图, O 是 ABC 的外接圆,圆心 O在 AB 上,且 B=2 A, M是 OA 上一点,过 M 作 AB的垂线交 AC 于点 N,交 BC 的延长线于点 E,直线 CF交 EN于点 F, EF=FC. (1)求证: CF 是 O 的切线 . 解析: 连接 OC,如图,根据圆周角定理得到 ACB=90,则利用 B=2 A 可计算出 B=60, A=30,易得 E=30,接着由 EF=FC 得到 ECF= E=30,所以 FCA=6
28、0,加上 OCA= A=30,所以 FCO= FCA+ ACO=90,于是可根据切线的判定得到 FC 是 O 的切线 . 答案: 连接 OC,如图, O 是 ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上, AB 是 O 的直径, ACB=90, 又 B=2 A, B=60, A=30, EM AB, EMB=90, 在 Rt EMB 中, B=60, E=30, 又 EF=FC, ECF= E=30, 又 ECA=90, FCA=60, OA=OC, OCA= A=30, FCO= FCA+ ACO=90, OC CF, FC 是 O 的切线 . (2)设 O 的半径为 2,且 AC=CE,求 A
29、M 的长 . 解析: 利用含 30 度的直角三角形三边的关系 .在 Rt ABC 中可计算出 BC= AB sin30 =2,AC=AB cos30 =4 32=2 3 ,则 CE=2 3 ,所以 BE=BC+CE=2+2 3 ,然后在 Rt BEM 中计算出 BM=BE=1+ 3 ,再计算 AB BM 的值即可 . 答案: 在 Rt ABC 中, ACB=90, A=30, AB=4, AC=AB cos30 =4 32=2 3 , BC= AB sin30 =4 12=2, AC=CE, CE=2 3 , BE=BC+CE=2+2 3 , 在 Rt BEM 中, BME=90, E=30
30、BM=BE sin30 =(2+2 3 ) 12=1+ 3 , AM=AB BM=4 (1+ 3 )=3 3 . 23.某足球协会举办了一次足球联赛,其记分规定及奖励方案如下表: 当比赛进行到第 11 轮结束 (每队均须比赛 11 场 )时, A 队共积 17 分,每赛一场,每名参赛队员均得出场费 300 元 .设 A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为 w(元 ). (1)试说明 w 是否能等于 11400 元 . 解析: 设 A 队胜 x 场,平 y 场 .根据题意列出关于 x、 y 的方程组,求出 x、 y 的值,进而可得出结论 . 答案: 由题意得: 3 1 71 3 0 0
31、5 0 0 1 1 3 0 0 1 1 4 0 0xyxy , 解得: 211xy, x+y=2+11=13,即胜 2 场,平 11 场,与总共比赛 11 场不符,故 w不能等于 11400元 . (2)通过计算,判断 A 队胜、平、负各几场,并说明 w 可能的最大值 . 解析: 由 3x+y=17,得 y=17 3x,再分 x=3、 4、 5 三种情况进行讨论 . 答案: 由 3x+y=17,得 y=17 3x, 只能有以下三种情况: 当 x=3 时, y=8,即胜 3 场,平 8 场,负 0场; 当 x=4 时, y=5,即胜 4 场,平 5 场,负 2场; 当 x=5 时, y=2,即胜
32、 5 场,平 2 场,负 4场 . 又 w=1300x+500y+3300, 将 y=17-3x 代入得: w=-200x+11800, 易知:当 x=3 时, w 最大 = 200 3+11800=11200(元 ). 24.如图,抛物线 2 21322y x x 与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 ),与 y 轴交于点 C, M 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 . (1)求 A、 B、 C 三点的坐标 . 解析: 令 y=0,则 x2 x 2=0,解方程可得 x1=4, x2= 1,进而可得 A、 B 的坐标,再令 x=0,可得 y= 2,进而可得 C 的坐标
33、. 答案: 令 y=0,则 x2 x 2=0, 解得: x1=4, x2= 1, 点 A 在点 B 的左侧, A( 1, 0), B(4, 0), 令 x=0,则 y= 2, C(0, 2). (2)连接 MO、 MC,并把 MOC 沿 CO 翻折,得到四边形 MO M C,那么是否存在点 M,使四边形 MO M C 为菱形?若存在,求出此时点 M 的坐标;若不存在,说明理由 . 解析: 设 M 点坐标为 (x, 2132 22 xx),根据菱形的性质可得 MM垂直平分 OC, 由 CO=2 可得 M 点的纵坐标为 1,进而可得 21322 21xx ,再解即可得到 M 点坐标 . 答案: 存
34、在点 M,使四边形 MO M C 是菱形,如图 1 所示 设 M 点坐标为 (x, 2132 22 xx), 若四边形若四边形 MO M C 是菱形, 则 M M垂直平分 OC, OC=2, M 点的纵坐标为 -1, 21322 21xx 解得:13 172x ,23 172x (不符合题意,舍去 ) M 点的坐标为 (13 172x , -1). (3)当点 M 运动到什么位置时,四边形 ABMC 的面积最大,并求出此时 M 点的坐标和四边形ABMC 的最大面积 . 解析: 过点 M 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 H,连接 CM、 BM,利用待定系数法求出直线 B
35、C 的解析式为 y=12x-2, M(x, 2132 22 xx), Q(x,12x-2), 进而可得 MQ 的长,然后由 S 四边形 ABMC=S ABC+S CMQ+S BQM,可得四边形 ABMC 的面积最大值,进而可得 M 点的坐标 . 答案: 过点 M 作 轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 H,连接 CM、 BM,如图 2 所示, 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, 将 B(4, 0) , C(0, 2)代入得: k=12, b=-2, 直线 BC 的解析式为 y=12x-2 可设 M(x, 2132 22 xx), Q(x,12x-2), MQ=12x-2-( 2132 22 xx)= 12x2+2x, S 四边形 ABMC=S ABC+S CMQ+S BQM =12AB OC+12QM OH+12QM HB =12 5 2+12QM (OH+HB) =5+12QM OB =5+12( 12x2+2x) 4 =-x2+4x+5 =-(x-2)2+9 当 x=2 时,四边形 ABMC 的面积最大,且最大面积为 9, 当 x=2 时, y=-3, 当 M 点的坐标为 (2, 3)时,四边形 ABMC 的面积最大,且最大面积为 9.