1、工程硕士(GCT)数学-112 及答案解析(总分：94.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：94.00)1. （分数：1.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3.计算(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)+1= _ A.2128-1 B.2128 C.2128+1 D.2128+2（分数：4.00）A.B.C.D.4.48 支足球队，等分为 8 组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数是 _ （分数：4.00）A.288B.240C.120D.485. （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数
2、：4.00）A.无穷大量B.无穷小量C.常数D.极限不存在7. （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.-6B.-6ln2C.6ln2D.69.若 （分数：4.00）A.a=3B.a3C.a=0D.a010.设 A、B 均是 n 阶矩阵，则(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充分必要条件是 _ 。（分数：4.00）A.A=EB.B=0C.AB=BAD.A=B11.由动点 P 向圆 x 2 +y 2 =2 引两条切线 PA，PB，切点分别为 A 和 B，且APB=60，则动点 P 轨迹为 _ 。（分数：4.00）A.椭圆B圆C.双曲线D.抛物线12.如图 31
3、所示，正方形 ABCD 的面积为 1，E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中点，则图中阴影部分面积为 _ （分数：4.00）A.B.C.D.13.若(a m+1 b n+2 )(a 2n-1 b 2m )=a 5 b 3 ，则 m+n 的值为 _ 。（分数：4.00）A.1B.2C.3D.-314.函数 y=x 2 +bx+cx0,+)是单调函数的充要条件是 _ 。（分数：4.00）A.b0B.b0C.b0D.b015.已知复数 z 的辐角主值 ，虚部 ，则 z 2 = _ （分数：4.00）A.B.C.D.16.某厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的 20%，乙车间加工剩下的 25%，丙车
4、间加工再余下的 40%，还剩 3600 个零件没有加工，这批零件一共有 _ （分数：4.00）A.9000 个B.9500C.9800 个D.10000 个17.如图，将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A 1 ,A 2 ,A 3 ，若摆放前 n(n2)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为 _ 。 （分数：4.00）A.B.C.D.18.若 a，b，c 成等比数列，a，x，b 和 b，y，c 都成等差数列，且 xy0，则 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.419.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列
5、前 n 项和中最大的是 _ 。（分数：4.00）A.前 4 项和B.前 5 项和C.前 6 项和D.前 7 项和20.已知复数 z 满足 ，则|1+z|= _ A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.21. （分数：1.00）A.B.C.D.22.若函数 y=1-2cosx-2sin 2 x 的值域为a，b，则 b 2 +4a 的值为 _ 。（分数：4.00）A.1B.2C.3D.423.直线 ax-by=0 与圆 x 2 +y 2 -ax+by=0(a，b0)的位置关系是 _ （分数：4.00）A.相交B.相切C.相离D.由 a，b 的值而定24. （分数：4.00）A.B.C.D
6、.25.甲、乙、丙 3 人合买一份礼物，他们商定按年龄比例分担费用若甲的年龄是乙的一半，丙的年龄为甲年龄的三分之一，而甲、乙共花费了 225 元，则这份礼物的售价是 _ 元（分数：4.00）A.250B.265C.270D.275工程硕士(GCT)数学-112 答案解析(总分：94.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：94.00)1. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：2. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：3.计算(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)+1= _ A.2128-1 B.2128 C.2128+1 D.2128+2
7、（分数：4.00）A.B. C.D.解析：(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)=(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)=(2 4 -1)(2 4 +1)(2 64 +1)=2 128 -1。 可得 (2+1)(2 2 +1)(2 64 +1)=2 128 -1， (2+1)(2 2 +1)(2 64 +1)+1=2 128 故应选 B4.48 支足球队，等分为 8 组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数是 _ （分数：4.00）A.288B.240C.120 D.48解析：分为 8 组，每组有 6 个球队，在每组中，要举
8、行 5+4+3+2+1=15 场比赛，8 组，则要进行 158=120场比赛，选(C) 注意 不是任意两组比赛，因此在分组时不考虑排列组合5. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：6.设 （分数：4.00）A.无穷大量B.无穷小量 C.常数D.极限不存在解析：解析 f(x+x)=f(x)+f“(x)x+0(x)，y=f“(x)x+0(x)，所以7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：，选(B)8.设 （分数：4.00）A.-6B.-6ln2C.6ln2D.6解析：解析 令 则当 x=0 时，u=-1，于是 把 x=0，u=-1 代入上式，得 9.若 （分数：4.00）A.a=3B
9、.a3C.a=0D.a0 解析：由|E-A|=0，即 =(-2)(-3) 2 =0，求得 A 的三个特征值为 1 =2， 2 =入 3 =3 对于 A 的一重特征值 1 =2，矩阵 A 只有一个属于 1 的线性无关的特征向量 对于 A 的二重特征值 2 = 3 =3矩阵 A 可能有一个或两个属于 =3 的特征向量但 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的而据题意，A 共有两个线性无关的特征向量因此对于 =3，矩阵 A 只可能有一个属于它的线性无关的特征向量 这样三元方程组(3E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解因此 r(3E-A)=2 10.设 A、B 均是 n 阶矩阵，则(A
10、+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充分必要条件是 _ 。（分数：4.00）A.A=EB.B=0C.AB=BA D.A=B解析：解析 矩阵运算与代数运算的差异主要有两点，即不满足交换律与消去律。换句话说，一般地， 11.由动点 P 向圆 x 2 +y 2 =2 引两条切线 PA，PB，切点分别为 A 和 B，且APB=60，则动点 P 轨迹为 _ 。（分数：4.00）A.椭圆B圆 C.双曲线D.抛物线解析：解析 如题 11 图所示，圆半径为 ，直角PAO 中 ，APO=30，故 ，即动点 P 到原点距离为常数 ，其轨迹为圆 x 2 +y 2 =8。 故选(B)。 12.如图 31 所示，
11、正方形 ABCD 的面积为 1，E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中点，则图中阴影部分面积为 _ （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因 E，F 分别为 AB，BC 的重点，所以 DE 和 DF 交 AC 于 M，N 等分 AC，故 S AMD =S DMN =S DNC (等底等高)， ， 13.若(a m+1 b n+2 )(a 2n-1 b 2m )=a 5 b 3 ，则 m+n 的值为 _ 。（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.-3解析：解析 由(a m+1 b n+2 )(a 2n-1 b 2m )=a 5 b 3 得 a m+2n b 2m+n+2 =a 5
12、b 3 14.函数 y=x 2 +bx+cx0,+)是单调函数的充要条件是 _ 。（分数：4.00）A.b0 B.b0C.b0D.b0解析：解析 函数 y=x 2 +bx+c 的图像是以直线 为对称轴的抛物线，故该函数在区间0, +)上是单调函数的充要条件为：函数图像的对称轴与 x 轴的交点不是区间(0,+)上的点，即 15.已知复数 z 的辐角主值 ，虚部 ，则 z 2 = _ （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 ，则 ，所以16.某厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的 20%，乙车间加工剩下的 25%，丙车间加工再余下的 40%，还剩 3600 个零件没有加工，这批零件一共
13、有 _ （分数：4.00）A.9000 个B.9500C.9800 个D.10000 个 解析：(1-25%)(1-40%)=0.8 0.6=0.36，总零件17.如图，将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A 1 ,A 2 ,A 3 ，若摆放前 n(n2)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为 _ 。 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：根据对称性，后一个正方形遮盖的线段长恰好是前一个正方形周长的 ，即其边长摆放前 n 个正方形纸片所遮盖的线段长度之和为 18.若 a，b，c 成等比数列，a，x，b 和 b，y，c 都成等差数列，且 x
14、y0，则 （分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：显然有 b 2 =ac，a+b=2x，b+c=2y，则有 19.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列前 n 项和中最大的是 _ 。（分数：4.00）A.前 4 项和B.前 5 项和C.前 6 项和D.前 7 项和 解析：解析 由 S 3 =S 11 得，a 4 +a 5 +a 11 =0 即(a 1 +3d)+(a 1 +4d)+(a 1 +10d)=0 8a 1 +52d=0 a 1 =-6.5d 可列出前 n 项和的表达式： 又因为 d0，故当 n=7 时，S n 取得最大值 20.已知复数 z
15、 满足 ，则|1+z|= _ A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由原式，1-z=i+iz，得 故 ，所以 21. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：22.若函数 y=1-2cosx-2sin 2 x 的值域为a，b，则 b 2 +4a 的值为 _ 。（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 23.直线 ax-by=0 与圆 x 2 +y 2 -ax+by=0(a，b0)的位置关系是 _ （分数：4.00）A.相交B.相切 C.相离D.由 a，b 的值而定解析：解析 由圆 x 2 +y 2 -ax+by=0(a，b0)，知圆心坐标为 ，半径 r= 则圆心到直线 ax-by=0 的距离 24. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：25.甲、乙、丙 3 人合买一份礼物，他们商定按年龄比例分担费用若甲的年龄是乙的一半，丙的年龄为甲年龄的三分之一，而甲、乙共花费了 225 元，则这份礼物的售价是 _ 元（分数：4.00）A.250 B.265C.270D.275解析：设甲的年龄为 x，则乙、丙的年龄为 2x 和 x/3，所以丙的年龄为甲乙之和的 x/9，所以丙出的钱应为 225/9=25 元，故物品的售价为 250 元，选(A)
