1、工程硕士(GCT)数学-159 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.花果山景区某一景点改造工程要限期完成，甲工程队单独做可提前 1 天完成，乙工程队单独做要误期 6天，现由两工程队合做 4 天后，余下的由乙工程队单独做，正好如期完成，若设工程期限为 x 天，则下面所列方程正确的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.关于 x 的方程 x 2 +2(m-2)x+m 2 =0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是_。（分数：4.00）A.m1B.m1C.m-1D.m-13.关于 x 的方程 k 2 x
2、 2 +(2k-1)x+1=0 有实数根，则下列说法正确的是_。 A当 时方程两根互为相反数 B当 k=0 时方程的根是 x=-1 C当 k=1 时方程两根互为倒数 D当 （分数：4.00）A.B.C.D.4.不等式 （分数：4.00）A.x|2x4 或 x20B.x2C.x|x4 或 x20D.x|x20)5.在二项式 （分数：4.00）A.2B.3C.4D.56.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品中有 75 件为一等品，在该厂中任取一件产品是一等品的概率是_。（分数：4.00）A.0B.0C.0D.07.若 2 ，1， 2 成等比数列，而 成等差数列，则 =_。 A B C
3、D （分数：4.00）A.B.C.D.8. 化简后等于_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设坐标原点为 O，抛物线 y 2 =2x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则 =_。 A B （分数：4.00）A.B.C.D.10.若一个长方体的表面积是 22cm 2 ，所有棱长之和为 24cm，则长方体的体对角线长为_cm。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.11.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB=8cm，BC=10cm，C=120，则 BC 边上的高 AH 为_cm。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.如图所示，用一个平面去
4、截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为 A 1 、A 2 、A 3 ，则该三棱锥的体积为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.若双曲线经过点 ，且它的两条渐近线的方程是 ，则双曲线方程是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.14.双曲线 的离心率 ，则实数 m 的值是_。 A9 B9 C D （分数：4.00）A.B.C.D.15. =_。 A （分数：4.00）A.B.C.D.16.设函数 f(x)在区间(a，b)内有二阶导数，且 f(x)0，f(x)在(a，b)内_。（分数：4.00）A.单调减少B.单调增加C.
5、先单调增加，然后单调减少D.上述 A、B、C 都有可能17.设 f(x)为连接函数，且 （分数：4.00）A.y=x-5B.y=2x-7C.y=x+5D.y=2x+718.若曲线 y=ax 2 与曲线 相切，则 a=_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.19.设 （分数：4.00）A.高阶无穷小B.同阶但非等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小20.设 f(x)在0，1上连续，且满足 （分数：4.00）A.f(x)=2x-1B.f(x)=-2x-1C.f(x)=x2-2x-1D.f(x)=-x2-2x-121.方程 （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.无实数根
6、22.设 A、B 均是 n 阶矩阵，则(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充分必要条件是_。（分数：4.00）A.A=EB.B=OC.AB=BAD.A=B23.下列向量组中，线性无关的向量组是_。（分数：4.00）A.(2，0，1)，(0，2，3)，(0，0，0)B.(-1，2，3)，(2，-4，-6)，(5，3，7)C.(1，2)，(2，3)，(5，6)D.(1，1，1，-1)，(0，1，0，2)，(0，0，3，5)24.已知 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，若 AXA-BXB=AXB-BXA+C，则 X=_。（分数：4.00）A.(A2-B2)CB.(A+B)(A-
7、B)C.(A-B)-1(CA+B)-1D.(A+B)-1C(A-B)-125.齐次方程组 的基础解系是_。 A(-3，0，1，0) T ，(2，-3，0，1) T BK 1 (1，-2，1，0) T +K 2 (2，-3，0，1) C （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-159 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.花果山景区某一景点改造工程要限期完成，甲工程队单独做可提前 1 天完成，乙工程队单独做要误期 6天，现由两工程队合做 4 天后，余下的由乙工程队单独做，正好如期完成，若设工程期限为 x 天，则下
8、面所列方程正确的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 甲工程队单独做需 x-1 天完成，乙工程队单独做需 x+6 天完成，甲共做了 4 天，乙共做了x 天，依题意，得 2.关于 x 的方程 x 2 +2(m-2)x+m 2 =0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是_。（分数：4.00）A.m1B.m1 C.m-1D.m-1解析：解析 提示：=4(m-2) 2 -4m 2 0，即 m1。3.关于 x 的方程 k 2 x 2 +(2k-1)x+1=0 有实数根，则下列说法正确的是_。 A当 时方程两根互为相反数 B当 k=0 时方程的根是 x=-1 C当
9、k=1 时方程两根互为倒数 D当 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 提示：=(2k-1) 2 -4k 2 =-4k+10， 故 4.不等式 （分数：4.00）A.x|2x4 或 x20B.x2C.x|x4 或 x20D.x|x20) 解析：解析 5.在二项式 （分数：4.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析 前 3 项系数分别是 ，由条件得 ，即 n 2 -9n+8=0，解得 n=8(n=1 舍去)，通项公式为 当 r=0，4，8 时， 6.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品中有 75 件为一等品，在该厂中任取一件产品是一等品的概率是_。（分数：4.00）A.
10、0B.0 C.0D.0解析：解析 A=任取一件产品是合格品)，B=任取一件产品是一等品)，显然， ， 7.若 2 ，1， 2 成等比数列，而 成等差数列，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设有 当 =1 时，+=2，有 当 =-1 时，+=-2，有 8. 化简后等于_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.设坐标原点为 O，抛物线 y 2 =2x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则 =_。 A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一：由抛物线方程可知抛物线的焦点为 ，取直线 ABx 轴，则有 和
11、 ，因此， ，从而排除 A、C、D 得正确答案为 B。 解法二：依题设可知抛物线的焦点为 ，且直线 AB 的方程可写为 ，常数 mR，设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则 y 1 ，y 2 是二次方程 y 2 -2my-1=0 的两个根。 所以 y 1 y 2 =-1，y 1 +y 2 =2m 从而 因为 所以 10.若一个长方体的表面积是 22cm 2 ，所有棱长之和为 24cm，则长方体的体对角线长为_cm。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设长方体相邻的 3 个棱长分别为 a，b，c，根据题意有 4(a+b+c)=24cm2ab+2b
12、c+2ac=22cm2又因(a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac，故 a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -(2ab+2bc+2ac)=(36-22)cm=14cm 则长方体对角线长 11.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB=8cm，BC=10cm，C=120，则 BC 边上的高 AH 为_cm。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ABCD 得，AB/CD，B=180-C=180-120=60 因 AHBC 于点 H，故在 RtABH 中，AHB=90，B=60，AB=8cm 因此 AH=ABsinB=
13、8sin60cm=4 12.如图所示，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为 A 1 、A 2 、A 3 ，则该三棱锥的体积为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设由一点出发 3 条垂直的棱分别为 a，b，C，则有 因此 13.若双曲线经过点 ，且它的两条渐近线的方程是 ，则双曲线方程是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由两条渐近线 可设双曲线方程为 将 14.双曲线 的离心率 ，则实数 m 的值是_。 A9 B9 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 该方程
14、的曲线为双曲线，要求 m-1 和 m+1 同号，即(m-1)(m+1)0，得 m1 或 m-1。 当 m1 时，a 2 =m-1，b 2 =m+1。所以 c 2 =a 2 +b 2 =2m， 解方程 ，得 m=9。 同理，当 m-1 时，a 2 =-m-1，b 2 =-m+1，c 2 =-2m， 解方程 15. =_。 A （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 属于 16.设函数 f(x)在区间(a，b)内有二阶导数，且 f(x)0，f(x)在(a，b)内_。（分数：4.00）A.单调减少B.单调增加C.先单调增加，然后单调减少D.上述 A、B、C 都有可能 解析：解析 由于 f(x
15、)在(a，b)内有 f(x)0，说明 y=f(x)的图形是向上凸的，于是在(a，b)内曲线的形状可能是单调增凸，或单调增凸，然后单调减凹，因此 A，B，C 都有可能，故选 D。17.设 f(x)为连接函数，且 （分数：4.00）A.y=x-5 B.y=2x-7C.y=x+5D.y=2x+7解析：解析 由 。又因 f(x)是连续函数，故有 f(x)=f(2)=-3。 18.若曲线 y=ax 2 与曲线 相切，则 a=_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设切点坐标为 ，此点在两条曲线上，故有 又两曲线的切线斜率相等，有 联立式、式求解，得 ，则 19.设 （分数：
16、4.00）A.高阶无穷小 B.同阶但非等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小解析：解析 20.设 f(x)在0，1上连续，且满足 （分数：4.00）A.f(x)=2x-1B.f(x)=-2x-1 C.f(x)=x2-2x-1D.f(x)=-x2-2x-1解析：解析 两边作定积分得 故 21.方程 （分数：4.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.无实数根解析：解析 本题实际为解三阶行列式 f(x)，把该行列式第 1 列乘以-1 分别加到第 2、第 3 列上，得 22.设 A、B 均是 n 阶矩阵，则(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充分必要条件是_。（分数：4.00）A.A=E
17、B.B=OC.AB=BA D.A=B解析：解析 矩阵运算与代数运算的差异主要有两点，即不满足交换律与消去律。换句话说，一般地，ABBA；AB=O 23.下列向量组中，线性无关的向量组是_。（分数：4.00）A.(2，0，1)，(0，2，3)，(0，0，0)B.(-1，2，3)，(2，-4，-6)，(5，3，7)C.(1，2)，(2，3)，(5，6)D.(1，1，1，-1)，(0，1，0，2)，(0，0，3，5) 解析：解析 A 向量组中含有零向量，因此这组向量必线性相关；B 向量组中前两个向量对应分量成比例，因此 B 向量组线性相关；C 向量组中所含向量个数大于向量的维数，这组向量必线性相关。
18、由此排除法，D 向量组线性无关。 也可直接判断 D 向量组为阶梯形向量组，此向量组秩为 3，与向量个数相等，因此，这组向量线性无关。 故选 D。24.已知 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，若 AXA-BXB=AXB-BXA+C，则 X=_。（分数：4.00）A.(A2-B2)CB.(A+B)(A-B)C.(A-B)-1(CA+B)-1D.(A+B)-1C(A-B)-1 解析：解析 由已知条件有 AXA-AXB+BXA-BXB=CAX(A-B)+BX(A-B)=C(A+B)X(A-B)=C因 C 可逆，由行列式乘法公式知 A+B、X、A-B 均可逆，那么左乘(A+B) -1 ，右乘(A-B) -1 得 X=(A+B)-1C(A-B)-1故 D 为正确答案。25.齐次方程组 的基础解系是_。 A(-3，0，1，0) T ，(2，-3，0，1) T BK 1 (1，-2，1，0) T +K 2 (2，-3，0，1) C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对系数矩阵作初等行变换，有
