1、工程硕士(GCT)数学-165 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.设 a，b，c 是非负实数，如果 a+1，b+2，c+3，7 的算术平均数是 7，那么 abc 的最大值是_（分数：4.00）A.7B.49C.25D.1252.一个圆柱底面直径和高都为 8，一个圆锥底面直径和高都为 4，则圆锥和圆柱的体积比为_（分数：4.00）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:243.两个相同规格的容器，分别装上 A，B 两种液体后的总重量分别是 1800g 和 1250g，已知 A 液体的重量是 B 液体的两倍那么这个空容器的重量是
2、_g（分数：4.00）A.550B.600C.700D.11004.一个棱长为整数 n 的正方体，表面全涂上红色后，被分成若干个体积都等于 1 的小正方体在这些小正方体中，六个面都没有红色的小正方体个数占全部小正方体个数的 （分数：4.00）A.4B.5C.6D.75.若实数 x，y，z 满足 （分数：4.00）A.-24B.-12C.0D.126.某装置的启动密码是由 0 到 9 中的三个不同数字组成，连续三次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知集合 A=(x，y)|y=
3、2 x ，x （分数：4.00）A.0B.1C.2D.无穷多8.已知函数 f(x)对任意的 有 f(x)+f(-x)=0，且当 x0 时，f(x)=ln(x+1)，则函数 f(x)的大致图像为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.若 f(x)=x 3 +px 2 +qx+6 含有一次因式 x-3 和 x-1，则 pq=_（分数：4.00）A.3B.5C.8D.1010.一个 33 矩阵的每行和每列的元素分别都顺序构成等差数列，且矩阵所有元素之和等于 72，则其第二行第二列的元素等于_（分数：4.00）A.4B.8C.12D.1611.ABC 中，A，B，C 的对边 a，b，
4、c 成等差数列，且知B=30，三角形面积 则b=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.已知 则有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.曲线 C：x 2 +y 2 +2x+4y-3=0 上与直线 x+y+1=0 的距离等于 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.414.如下图所示，已知抛物线 C：y 2 =4x倾角为 60的直线 l 过 C 的焦点 F，与 C 交于 A，B其中 A 在x 轴上方，则OAF 的面积为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.如下图所示，扇形的半径为 12，圆心角为 60，O 为扇形的内切圆圆心，则阴影
5、部分的面积为_ （分数：4.00）A.8B.16C.20D.2416.设 则当 的取值范围是_时，f“(x)在 x=0 处连续 A B （分数：4.00）A.B.C.D.17.如下图所示，曲线 y=f(x)上任一点 P 的切线为 PT，以 PT 为斜边的直角三角形 PTQ 的面积为 则y 与 y“满足的方程是_ （分数：4.00）A.B.C.D.18.下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数 s(t)，一条是汽车的速度函数 v(t)，一条是汽车的加速度函数 a(t)，则_ （分数：4.00）A.曲线 a 是 s(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的
6、图形B.曲线 b 是 s(t)的图形，曲线 a 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的图形C.曲线 a 是 s(t)的图形，曲线 c 是 v(t)的图形，曲线 b 是 a(t)的图形D.曲线 c 是 s(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 a 是 a(t)的图形19.光滑曲线 y=f(x)通过原点，且在 x=1 处与曲线 y=e 2x 相切，则 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 （分数：4.00）A.正常数B.负常数C.恒为零D.不为常数21.设 y=f(x)在a，b上单调，且有连续的导数，其反函数为 x=g(y)又 =f(a)，=f(b)， （分数：4.00）A.
7、-ab-AB.b-a-AC.-ab+AD.b-a+A22.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 则 B=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 则 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.24.若向量 ， 线性无关， 线性相关，则_（分数：4.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ， 线性表示25.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，现有下列 4 个命题： 线性方程组 Ax=b 有无穷多个解； 线性方程组 Ax=
8、b 有唯一解； 线性方程组 Ax=b 的增广矩阵(A，b)的行向量组线性无关； 增广矩阵(A，b)必有 4 个列向量线性无关 以上命题正确的个数有_（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个工程硕士(GCT)数学-165 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.设 a，b，c 是非负实数，如果 a+1，b+2，c+3，7 的算术平均数是 7，那么 abc 的最大值是_（分数：4.00）A.7B.49C.25D.125 解析：解析 本题主要考查了几个数的算术平均数的概念及算术平均数与几何平均数的关系 由于 所以 a+
9、b+c=15，从而 2.一个圆柱底面直径和高都为 8，一个圆锥底面直径和高都为 4，则圆锥和圆柱的体积比为_（分数：4.00）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:24 解析：解析 圆柱体积=(44)8=128， 3.两个相同规格的容器，分别装上 A，B 两种液体后的总重量分别是 1800g 和 1250g，已知 A 液体的重量是 B 液体的两倍那么这个空容器的重量是_g（分数：4.00）A.550B.600C.700 D.1100解析：解析 设这个空容器的重量为 xg，B 液体的重量是 yg，根据题意，得 4.一个棱长为整数 n 的正方体，表面全涂上红色后，被分成若干个体积都等于 1 的小正
10、方体在这些小正方体中，六个面都没有红色的小正方体个数占全部小正方体个数的 （分数：4.00）A.4B.5C.6 D.7解析：解析 所有小正方体的个数是 n 3 ，六个面都没有红色的小正方体个数为(n-2) 3 根据题意，得 所以 5.若实数 x，y，z 满足 （分数：4.00）A.-24 B.-12C.0D.12解析：解析 因为 所以 2z(x+y)=3y(x+z)整理得 3xy-2xz+yz=0，即 6(x+y)-6(x+z)+4(y+z)=0 所以 z=5y代入 得 故 x=24，进而得到 6.某装置的启动密码是由 0 到 9 中的三个不同数字组成，连续三次输入错误密码，就会导致该装置永久
11、关闭一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 0 到 9 中的三个不同数字组成的不同密码共有 一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人一次能够启动该装置的概率是 所以他在三次之内能够启动此装置的概率是 7.已知集合 A=(x，y)|y=2 x ，x （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.无穷多解析：解析 如下图所示，集合 A 是函数 y=2 x (x )的图像，集合 B 是函数 y=2x(x )的图像在直角坐标系中稍微精确一些作出函数的图像，即可看出它们有两个交点应该注意到，在 x 无限增大时，指数函数
12、 y=2 x 的增长总是比幂函数快得多 故选 C 8.已知函数 f(x)对任意的 有 f(x)+f(-x)=0，且当 x0 时，f(x)=ln(x+1)，则函数 f(x)的大致图像为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 依题意可知，函数 f(x)是奇函数，所以其图像关于坐标原点对称又因为 f(x)=ln(x+1)(x0)，所以曲线 y=f(x)在(0，+)上应是上凸单调增的 综上可知，只有选项 D 中的图形符合要求 故选 D9.若 f(x)=x 3 +px 2 +qx+6 含有一次因式 x-3 和 x-1，则 pq=_（分数：4.00）A.3B.5C.8D.10
13、解析：解析 由 f(1)=0 和 f(3)=0 得到线性方程组 10.一个 33 矩阵的每行和每列的元素分别都顺序构成等差数列，且矩阵所有元素之和等于 72，则其第二行第二列的元素等于_（分数：4.00）A.4B.8 C.12D.16解析：解析 设 a 22 =a，第二行为等差数列，即 a 21 =a-d 1 ，a 23 =a+d 1 ，第二行各元素和为 3a 第二列为等差数列，所以 a 12 =a-d 2 ，a 32 =a+d 2 ，第一、三行各元素之和分别为 3(a-d 2 )和 3(a+d 2 )所有元素之和 3(a-d 2 )+3a+3(a+d 2 )=72故 9a=72，即 a=8
14、故选 B11.ABC 中，A，B，C 的对边 a，b，c 成等差数列，且知B=30，三角形面积 则b=_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 B=30推得 ac=6由条件 2b=a+c 及余弦定理分别得 4b 2 =a 2 +c 2 +2ac， b 2 =a 2 +c 2 -2accosB 两式相减得 即 选项 B 的平方 12.已知 则有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设有 故有 coscos-sinsin=sin，即 由条件有 所以有 即 13.曲线 C：x 2 +y 2 +2x+4y-3=0 上与直线 x+y+1=0
15、 的距离等于 （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 C 的方程写成 即 C 是以(-1，-2)为圆心，半径为 的圆圆心到直线l：x+y+1=0 的距离 这正好等于圆 C 半径的一半，所以过圆心作平行于 l 的直线，与圆交于两点A，B再过圆心作垂直 l 的直线，与圆的交点之一及点 A，B 到 l 的距离都是 (见下图) 故选 C 14.如下图所示，已知抛物线 C：y 2 =4x倾角为 60的直线 l 过 C 的焦点 F，与 C 交于 A，B其中 A 在x 轴上方，则OAF 的面积为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 过 F(1，0)，倾角为 60
16、的直线 l： 联立 解得 和 3如下图所示，因A 在 x 轴上方，所以 故选 A 15.如下图所示，扇形的半径为 12，圆心角为 60，O 为扇形的内切圆圆心，则阴影部分的面积为_ （分数：4.00）A.8 B.16C.20D.24解析：解析 扇形面积为 扇形内切圆半径为 OO 1 +OA=O 1 A 为扇形半径，又扇形内切圆半径 所以 16.设 则当 的取值范围是_时，f“(x)在 x=0 处连续 A B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 x0 时 而 因此，当 1 时，有 17.如下图所示，曲线 y=f(x)上任一点 P 的切线为 PT，以 PT 为斜边的直角三角形 PT
17、Q 的面积为 则y 与 y“满足的方程是_ （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 见下图，曲线 y=f(x)在点 P(x，y)的切线方程为 Y-y=y“(X-x)，令 Y=0，得 所以 T点的横坐标为 因此 于是有 y“=y 2 故选 D 18.下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数 s(t)，一条是汽车的速度函数 v(t)，一条是汽车的加速度函数 a(t)，则_ （分数：4.00）A.曲线 a 是 s(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的图形B.曲线 b 是 s(t)的图形，曲线 a 是 v(t)的图形，曲线 c 是 a(t)的图形C
18、.曲线 a 是 s(t)的图形，曲线 c 是 v(t)的图形，曲线 b 是 a(t)的图形D.曲线 c 是 s(t)的图形，曲线 b 是 v(t)的图形，曲线 a 是 a(t)的图形 解析：解析 因 s“(t)=v(t)，v“(t)=a(f)，下图中 c 曲线单调上升，b 曲线在 x 轴上方；在 b 曲线单调上升的区间上 c 曲线在 x 轴的上方，在 b 曲线单调下降的区间上 c 曲线在 x 轴的下方，再利用导数符号判断函数单调性的定理可推得选 D 故选 D 19.光滑曲线 y=f(x)通过原点，且在 x=1 处与曲线 y=e 2x 相切，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因
19、光滑曲线 y=f(x)通过原点，所以 f(0)=0 由于曲线 y=f(x)在 x=1 处与 y=e 2x 相切，而(e 2x )“| x=1 =2e 2x | x=1 =2e 2 ，因此 f(1)=e 2 ，f“(1)=2e 2 进而 20.设 （分数：4.00）A.正常数 B.负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析 被积函数 e sint sint 是以 2 为周期的函数，因此它在任一个周期上的积分都相等，从而 21.设 y=f(x)在a，b上单调，且有连续的导数，其反函数为 x=g(y)又 =f(a)，=f(b)， （分数：4.00）A.-ab-AB.b-a-A C.-ab+AD.b-a+
20、A解析：解析 在 中，令 y=f(x)，且当 y= 时，x=s，当 y= 时，x=b，gf(x)=x，dy=f“(x)dx因此 故选 B 注 用几何解释很简单设 y=f(x)单调递增，f(x)0，a0，如下图所示，y=f(x)，x=g(y)表示同一曲线 在几何上表示曲边梯形 MN 的面积 B，它等于矩形 ObN 的面积减去矩形 OaM 的面积后，再减去曲边梯形 abNM 的面积，而矩形 ObN 的面积等于 b矩形 OaM 的面积等于 a，曲边梯形abNM 的面积为 因此 22.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 则 B=_ A B C D （分数：4.00）A. B
21、.C.D.解析：解析 三阶方阵 A，B 满足 A -1 BA=6A+BA，等式两边右乘 A -1 ，得 A -1 B=6I+B，(A -1 -I)B=6I，B=(A -1 -I) -1 6I 而 所以 23.设 则 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以 A 的对应于特征值 2 的一个特征向量是 24.若向量 ， 线性无关， 线性相关，则_（分数：4.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：解析 因 ， 线性无关，所以 ， 线性无关，
22、又 ， 线性相关，因此， 可由 ， 线性表示，进而 =k 1 +k 2 +0于是选 C，而不选 D 如果取 =0，由 ， 线性无关可得 不可由 ， 线性表示，因此不选 A 如果取 =2，则 25.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，现有下列 4 个命题： 线性方程组 Ax=b 有无穷多个解； 线性方程组 Ax=b 有唯一解； 线性方程组 Ax=b 的增广矩阵(A，b)的行向量组线性无关； 增广矩阵(A，b)必有 4 个列向量线性无关 以上命题正确的个数有_（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：解析 由 A 是 45 矩阵，可得增广矩阵(A，b)为 46 矩阵，而 r(A)=4，必有 r(A，b)=4，即r(A，b)=r(A)=4，线性方程组 Ax=b 的未知量个数是 5r(A)=4，因此线性方程组 Ax=b 有无穷多个解，故正确，错误 又矩阵(A，b)的行向量组是矩阵 A 的行向量组的加长组由“线性无关组的加长组必线性无关”得正确 由 r(A，b)=4 得矩阵(A，b)有 4 个列向量线性无关，故正确 正确命题有 3 个，故选 C
