1、工程硕士(GCT)数学-166 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 a，b 和 c，则 a，b，c 的大小关系是_（分数：4.00）A.abcB.bcaC.cabD.acb2.三名小孩中有一名学龄前儿童，他们的年龄都是质数，且依次相差 6岁他们的年龄之和为_（分数：4.00）A.21B.27C.33D.393.已知某单位的 A部门人数占单位总人数的 25%，B 部门人数比 A部门少 C部门有 156人，比 B部门多 （分数：4.00）A.426B.480C.600D.6244.设互
2、不相同的 3个实数 a，b，c 在数轴上对应的点分别为 A，B，C若|a-c|a-b|+|b-c|，则点B_（分数：4.00）A.在 A，C 点的左边B.在 A，C 点的右边C.在 A，C 两点之间D.与点 A，C 的关系不确定5.若复数 z满足(z-i)i=2+i，则 z=_（分数：4.00）A.-1-iB.-1+3iC.1-2iD.1-i6.把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列，结果为两个白球不相邻的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 f(x)=x 2 +bx+c，x0，+)f(x)是单调函数的充分必要条件是_（分数：4.00）A.b0B.b0C
3、.b0D.b08.设 a0，b0若 是 3 a 与 3 b 的等比中项，则 的最小值为_ A3 B4 C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.9.甲、乙、丙三人同时从起点出发进行 1000m自行车比赛(假设他们各自的速度保持匀速不变)，甲到达终点时，乙距终点还有 40m，丙距终点还有 64m那么乙到达终点时，丙距终点_m（分数：4.00）A.21B.25C.30D.3510.已知a n 是公差为正数的等差数列，若 a 1 +a 2 +a 3 =15，a 1 a 2 a 3 =80，则 a 11 +a 12 +a 13 =_（分数：4.00）A.120B.105C.90D.7511.已知过抛
4、物线焦点的直线与抛物线交于 A，B，则以 AB为直径的圆与抛物线准线的公共点的数目为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.312.已知集合 M=x|sinxcosx，0x，N=x|sin2xcos2x，0x，则 MN=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.直线 l：x+y=b 与圆 C：(x-1) 2 +(y-1) 2 =2相交于 A，B 两点，若|AB|=2，则 b的值等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.14.椭圆 (1b0)的右顶点为 A已知椭圆上存在一点 P，使 (O为坐标原点)，则 b的取值范围为_ A B C D （分数：4.00）A.
5、B.C.D.15.如下图，ABCD 是边长为 1的正方形，AC=CEAFC 的面积为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.16.设当 x0 时，(e x2 -1)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小量，而 xsinx n 是比(2+x)tanx 2 高阶的无穷小量，则正整数 n等于_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.417. _ A2xe x2 f(e 2x2 ) B C2xe x2 f(e x2 ) D （分数：4.00）A.B.C.D.18.方程 3xe x +1=0在(-，+)内实根的个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.319.设 f“
6、(x)=(x) 2 ，其中 (x)在(-，+)内恒为负值，其导数 “(x)为单调减函数，且 “(x 0 )=0，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.y=f(x)所表示的曲线在(x0，f(x0)处有拐点B.x=x0是 y=f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在(-，+)上是凹的D.f(x0)是 f(x)在(-，+)上的最大值20. _ A0 B C4e D （分数：4.00）A.B.C.D.21.当 y=a 2 -x 2 (x0)与 x轴、y 轴及 x=2a(a0)围成的平面图形的面积 A等于 16时，a=_ A1 B C2 D （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A，B，C
7、均是 n阶矩阵，则下列结论中正确的是_ A.若 AB，则|A|B| B.若 A=BC，则 AT=BTCT C.若 A=BC，则|A|=|B|C| D.若 A=B+C，则|A|B|+|C|（分数：4.00）A.B.C.D.23.下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.24.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，则 Ax=0的基础解系还可以是_（分数：4.00）A.1-2，2+3，3-4，4+1B.1+2，2+3+4，1-2+3C.1+2，2+3，3+4，4+1D.1+2，2-3，3+4，4+125.设矩阵 A=(a
8、ij ) mn ，其秩 r(A)=r，则非齐次线性方程组 Ax=b有解的充分条件是_（分数：4.00）A.r=mB.m=nC.r=nD.mn工程硕士(GCT)数学-166 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 a，b 和 c，则 a，b，c 的大小关系是_（分数：4.00）A.abc B.bcaC.cabD.acb解析：解析 周长为 l的圆半径为 面积为 周长为 l的正方形边长为 面积为 周长为 l的正三角形边长为 面积为 因为 所以 2.三名小孩中有一名学龄前儿童，他们的年龄都是质数
9、，且依次相差 6岁他们的年龄之和为_（分数：4.00）A.21B.27C.33 D.39解析：解析 根据题意，有一名儿童的年龄不足 6周岁，所以最小孩子的年龄只可能是 2，3 或 5由于2+6=8和 3+6=9都是合数，所以最小孩子的年龄是 5，从而三个孩子的年龄分别是 5，11，17，他们的年龄之和为 5+11+17=33 故选 C3.已知某单位的 A部门人数占单位总人数的 25%，B 部门人数比 A部门少 C部门有 156人，比 B部门多 （分数：4.00）A.426B.480C.600 D.624解析：解析 因为 所以 B=120 又因为 所以 A=150从而单位总人数为 4.设互不相同
10、的 3个实数 a，b，c 在数轴上对应的点分别为 A，B，C若|a-c|a-b|+|b-c|，则点B_（分数：4.00）A.在 A，C 点的左边B.在 A，C 点的右边C.在 A，C 两点之间D.与点 A，C 的关系不确定 解析：解析 因为|a-c|a-b|+|b-c|，且“=”成立与点 B位于 A，C 两点之间等价，所以当|a-c|a-b|+|b-c|时，点 B不会位于 A，C 两点之间但既可以位于 A，C 点的左边，也可以位于 A，C 点的右边故正确选项为 D 故选 D5.若复数 z满足(z-i)i=2+i，则 z=_（分数：4.00）A.-1-iB.-1+3iC.1-2iD.1-i 解析
11、：解析 因为(z-i)i=2+i，所以 6.把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列，结果为两个白球不相邻的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 总排列数为 要求白球不相邻，可以先定两个位置放白球，放法有 两白球的左、右端和中间三处空位若选左端和中间各放一红球，有 种排法同理选中间和右端各放一红球，也有 2种排法若选中间放两个红球，也是 2种放法白球不相邻的排法有 种所求概率为 若考虑两个白球相邻的情况，如果把两个白球作为一个整体与两个红球作排列，则有 种排法，三个位置中的一个放两个白球，又有 种排法，所以两个白球相邻的概率为 白球不相邻的概率为 7.
12、已知 f(x)=x 2 +bx+c，x0，+)f(x)是单调函数的充分必要条件是_（分数：4.00）A.b0 B.b0C.b0D.b0解析：解析 函数 y=f(x)的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是直线 8.设 a0，b0若 是 3 a 与 3 b 的等比中项，则 的最小值为_ A3 B4 C1 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意， 即 3 a+b =3，所以有 a+b=1，从而 由均值不等式 所以 当 9.甲、乙、丙三人同时从起点出发进行 1000m自行车比赛(假设他们各自的速度保持匀速不变)，甲到达终点时，乙距终点还有 40m，丙距终点还有 64m那么乙到达终点时
13、，丙距终点_m（分数：4.00）A.21B.25 C.30D.35解析：解析 设甲、乙、丙三人的速度分别为 v 1 ，v 2 ，v 3 (单位：m/s)，依题意得 所以 10.已知a n 是公差为正数的等差数列，若 a 1 +a 2 +a 3 =15，a 1 a 2 a 3 =80，则 a 11 +a 12 +a 13 =_（分数：4.00）A.120B.105 C.90D.75解析：解析 由条件有 a 2 -d+a 2 +a 2 +d=15，得 a 2 =5又由 a 1 a 2 a 3 =80，可得(a 2 -d)(a 2 +d)=16，从而得 d 2 =9因公差为正数，有 d=3 a 11
14、 +a 12 +a 13 =a 2 +9d+a 2 +10d+a 2 +11d =3a 2 +30d =105 故选 B11.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于 A，B，则以 AB为直径的圆与抛物线准线的公共点的数目为_（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 如下图所示，设抛物线焦点为 F，准线为 lAB 中点为 M，过 A、B 和 M分别作 l的垂线，垂足分别是 A“、B“和 M“，则有 12.已知集合 M=x|sinxcosx，0x，N=x|sin2xcos2x，0x，则 MN=_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 在(0，)上分别作出 y=s
15、inx和 y=cosx，y=sin2x 和 y=cos2x的图像(见下图)，即可看出 所以 故选 B 13.直线 l：x+y=b 与圆 C：(x-1) 2 +(y-1) 2 =2相交于 A，B 两点，若|AB|=2，则 b的值等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 用代数方程求解，以 y=b-x代入圆 C方程得 2x 2 -2bx+(b-1) 2 -1=0， 设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则有 x 1 +x 2 =b， (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =b 2 -2(b 2 -2b)=-b
16、2 +4b |AB| 2 =(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 =2(z 1 -x 2 ) 2 =2(-b 2 +4b)， 由|AB| 2 =4，即得-b 2 +4b=2，解得 本题借助图形也很容易分析(见下图)，即考查斜率为-1 的直线 l与圆 C(圆心在 Q(1，1)，半径为 )交于 A，B，|AB|=2因 所以QAB 为等腰直角三角形，Q 到 l距离为 1用 即可定出 故选 C 14.椭圆 (1b0)的右顶点为 A已知椭圆上存在一点 P，使 (O为坐标原点)，则 b的取值范围为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 已知 A(1，0)设
17、P(x，y)，由条件 得 OP垂直于 PA，做内积得(x，y)(x-1，y)=0，即 x(1-x)-y 2 =0 以 y 2 =b 2 (1-x 2 )代入，得 (1-b 2 )x 2 -x+b 2 =0 分解因式得(x-1)(1-b 2 )x-b 2 =0因 x1 得 15.如下图，ABCD 是边长为 1的正方形，AC=CEAFC 的面积为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 在EAB 中 FC/AB，所以 于是 16.设当 x0 时，(e x2 -1)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小量，而 xsinx n 是比(2+x)tanx 2 高阶
18、的无穷小量，则正整数 n等于_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 当 x0 时 (e x2 -1)ln(1+x 2 )x 2 x 2 =x 4 ，xsinx n xx n =x n+1 ，(2+x)tanx 2 2x 2 ，由题目条件有 2n+14，从而 n=2 故选 B17. _ A2xe x2 f(e 2x2 ) B C2xe x2 f(e x2 ) D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 在 中，令 te x2 =u，则当 t=1时，u=e x2 ；当 t=0时，u=0；dt=e -x2 du，因此 于是 18.方程 3xe x +1=0在(-，+)内实根
19、的个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 设 f(x)=3xe x +1，则 f“(x)=3e x +3xe x =3(1+x)e x 令 f“(x)=0，得 x=-1当 x-1时，f“(x)0，当 x-1 时 f“(x)0由此可得 f(x)在(-，-1)内单调递减，在(-1，+)内单调增加，x=-1是 f(x)的唯一极小值点，因而是最小值点，最小值为 f(-1)=-3e -1 +10 由函数的单调性和零点存在定理可判断 f(x)在(-，-1)内和(-1，+)内各有一个零点，因此方程 f(x)=0在(-，+)内恰有两个根 故选 C 注 (1) (2)对本题利用零点存在定
20、理时，可用如下方法： 19.设 f“(x)=(x) 2 ，其中 (x)在(-，+)内恒为负值，其导数 “(x)为单调减函数，且 “(x 0 )=0，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.y=f(x)所表示的曲线在(x0，f(x0)处有拐点 B.x=x0是 y=f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在(-，+)上是凹的D.f(x0)是 f(x)在(-，+)上的最大值解析：解析 1 因 (x)在(-，+)内恒为负值，所以 f“(x 0 )=(x 0 ) 2 0，由取得极值的必要条件，x 0 一定不是 f(x)的极值点，故不选 B；又如果 f(x)的最值点 x 0 在开区间(-，+)内取得，则
21、 x 0 一定是极值点，由上面的分析知，x 0 一定不是 f(x)的极值点，故不选 D f“(x)=2(x)“(x)由题设 “(x 0 )=0得 f“(x 0 )=2(x 0 )“(x 0 )=0又因为 “(x)是单调递减函数，(x)0，所以，当 x(-，x 0 )时 f“(x)0；当 x(x 0 ，+)时 f“(x)0这表明(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点 故选 A 解析 2 令 (x)=-x 2 -1，(x)在(-，+)恒为负值“(x)=-2x 在(-，+)内单调递减，“(0)=0，(x)满足题设条件f“(x)=(x) 2 =(x 2 +1) 2 0，所以 f(x)在(
22、-，+)内没有极值点，f“(x)=4x(x 2 +1) 2 ，f“(x)在 x=0两侧变号，f“(0)=0，所以(0，f(0)是曲线的拐点 故选 A20. _ A0 B C4e D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 注意到 e x -e -x 为奇函数，所以 x(e x -e -x )为偶函数，x 4 (e x -e -x )为奇函数，因此 21.当 y=a 2 -x 2 (x0)与 x轴、y 轴及 x=2a(a0)围成的平面图形的面积 A等于 16时，a=_ A1 B C2 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据定积分的几何意义，有 22.设 A，B，C 均是
23、 n阶矩阵，则下列结论中正确的是_ A.若 AB，则|A|B| B.若 A=BC，则 AT=BTCT C.若 A=BC，则|A|=|B|C| D.若 A=B+C，则|A|B|+|C|（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 则 AB，但|A|=1，|B|=1故 A不对 A=BC，则 A T =C T B T ，而矩阵乘积是不能交换顺序的，故 B不对 C是正确的D 不对，例如设 23.下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 =1 应有两个线性无关的特征向量，由于 所以矩阵 对应于特征值 =1
24、 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵 24.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，则 Ax=0的基础解系还可以是_（分数：4.00）A.1-2，2+3，3-4，4+1B.1+2，2+3+4，1-2+3C.1+2，2+3，3+4，4+1D.1+2，2-3，3+4，4+1 解析：解析 1 由题目条件知 Ax=0的基础解系中含有 4个线性无关的解向量，而 B中仅有 3个解向量，个数不符合要求，故不选 B 容易观察到选项 A，C 中的向量满足 ( 1 - 2 )+( 2 + 3 )-( 3 - 4 )-( 4 + 1 )=0， ( 1 + 2 )-( 2 + 3 )
25、-( 3 + 4 )-( 4 + 1 )=0 这表明 A，C 中的解向量都线性相关，虽然 A，C 含有 4个解向量但 A，C 都不是 Ax=0的基础解系 由排除法，正确选项为 D 故选 D 解析 2 D中的解向量可写为 而 这表明 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关又 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 都是 Ax=0的解，并且解向量的个数为 4，所以正确选项为 D 注意 A，C 中的解向量也可用如下方法判断其线性相关性A 中的解向量可写为 而 这表明 A中的向量线性相关；C 中的解向量可写为 而 25.设矩阵 A=(a ij ) mn
26、 ，其秩 r(A)=r，则非齐次线性方程组 Ax=b有解的充分条件是_（分数：4.00）A.r=m B.m=nC.r=nD.mn解析：解析 当 r(A)=r=m时，矩阵 A的 m个行向量线性无关，因此，线性方程组 Ax=b的增广矩阵 的秩 所以 Ax=b有解 故选 A 注意 r=m 仅是线性方程组 Ax=b有解的充分条件，当 Ax=b有解时，不一定有 r(A)=r=m例如，取 时，Ax=b 有唯一解 x 1 =1， 显然 r(A)=23(行数) 下面举例说明 B，C，D 中条件成立，均不一定有 从而 Ax=b不一定有解 例如，当 时，m=n=x，但 r(A)=1， 因此，Ax=b 无解不选 B 当 时，r(A)=2=n， 因此，Ax=b 无解，不选 C 当 时，m=2n=3，
