1、工程硕士(GCT)数学-169 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.两条长度相同的绳索，一条截掉 16m，另一条接上 14m 后，长绳长度正好是短绳的 4 倍，则两条绳索原来的长度是_m（分数：4.00）A.20B.24C.26D.302.a，b，c 是满足 abc1 的 3 个正整数，如果它们的算术平均值是 （分数：4.00）A.2B.4C.8D.不能确定3.设直线 L 的方程为 y=kx+a，且 L 在 x 轴上的截距是其在 y 轴上截距的-2 倍，则直线 L 与两坐标轴所围图形的面积是_ A.a2 B.2a2 C.2k
2、2 D.4k2（分数：4.00）A.B.C.D.4.一个底面半径是 10cm，高是 30cm 的圆柱形容器中，水深 6cm将一个长和宽都是 （分数：4.00）A.6B.8C.10D.125.某人驾车从 A 地赶往 B 地，前一半路程比计划多用时 45min，平均速度只有计划的 80%若后一半路程的平均速度为 120km/h，此人还能按原定时间到达 B 地问 A，B 两地的距离为_km（分数：4.00）A.270B.300C.540D.6006.经统计，某校教工食堂一个售饭窗口每天中午排队买饭的教工人数及相应的概率如下： 排队人数 05 610 1115 1620 2125 25 人以上 概率
3、0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05 一周 5 个工作日中，有 2 天或 2 天以上中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知集合 N=x|x 2 +2x-30，则 M，N 满足关系_ A BM=N C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列命题中的假命题是_ A B对一切 x0，y0，x 2 +y 2 +22x+2y C （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知 a1，函数 y=log 2 x 在区间a，a+1上的最大值是最小值的 2 倍，则 a=_ A2 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.
4、10.已知 (a=1，2，)数列a n 各项之和等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.11.过圆 x 2 +y 2 =r 2 上的点 P(x 0 ，y 0 )作圆的切线，切线被 x 轴和 y 轴截下的线段长度的取值范围是_ A(r，+) B(2r，+) C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.如下图所示，在正方形网格中，A，B，C 是三个格子点设BAC=，则 tan=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.光线从点 A(1，1)出发，经 y 轴反射到曲线 C：(x-5) 2 +(y-7) 2 =4 的最短路程是_ A B （分数：4.00）A.B
5、.C.D.14.已知 F 1 ，F 2 是椭圆的两个焦点，满足线段 MF 1 与线段 MF 2 垂直的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_ A(0，1) B C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.菱形 ABCD 的周长为 20cm，对角线 AC 的长为 8cm，则此菱形内切圆的周长与面积分别是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.16.在(-，+)上连续， 则 a，b 满足_ （分数：4.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b017.设 f(x)是恒大于零的可导函数，且 xf“(x)f(x)，则当 0axb 时有_（分数：4.00）A
6、.bf(x)xf(b)B.af(x)xf(a)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)18.设 f(x)在a，b上可导，f(a)f(b)，x 0 (a，b)是 f(x)在(a，b)内的唯一驻点，且 f(x 0 )f(b)，则 x 0 是_（分数：4.00）A.f(x)的极小值点B.f(x)在a，b上的最小值点C.f(x)在a，b上的最大值点D.f(x)的极大值点，但不是 f(x)在a，b上的最大值点19.设 a1，则在0，a上方程 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.320.曲线 x 2 +(y-1) 2 =1， 与直线 y=2 在第一象限所围成图形面积为_ A B C D （分数
7、：4.00）A.B.C.D.21._ （分数：4.00）A.I1I2I3B.I2I1I3C.I3I2I1D.I3I1I222.设 （分数：4.00）A.0B.18C.4D.1223.A 是 n 阶可逆矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，则(A*)*=_ A.|A|n-1A B.|A|n-2A C.|A|n+1A D.|A|n+2A（分数：4.00）A.B.C.D.24. 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(2，-1，1，-1) T ， 3 =(0，1，-1，a) T ，=(3，-2，b，-2) T ， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则_（分数：4.00）A.b2B.a1C.b=2D.a
8、=125.下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-169 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.两条长度相同的绳索，一条截掉 16m，另一条接上 14m 后，长绳长度正好是短绳的 4 倍，则两条绳索原来的长度是_m（分数：4.00）A.20B.24C.26 D.30解析：解析 设两条绳索原来的长度是 xm，则 x+14=4(x-16)，解得 x=26m 故选 C2.a，b，c 是满足 abc1 的 3 个正整数，如果它们的算术平均值是 （分数：4.00）A.
9、2B.4 C.8D.不能确定解析：解析 已知 即 a+b+c=14 3.设直线 L 的方程为 y=kx+a，且 L 在 x 轴上的截距是其在 y 轴上截距的-2 倍，则直线 L 与两坐标轴所围图形的面积是_ A.a2 B.2a2 C.2k2 D.4k2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如下图所示，直线 y=kx+a 与 x 轴交点为 与 y 轴交于(0，a)由题意， 4.一个底面半径是 10cm，高是 30cm 的圆柱形容器中，水深 6cm将一个长和宽都是 （分数：4.00）A.6B.8 C.10D.12解析：解析 容器中水的体积是 10 2 6=600(cm 3 )由于(100
10、-25)10=750600，所以水面没有没过铁块 设水面的高度为 h，则有 25h+600=100h，从而水面的高度为 5.某人驾车从 A 地赶往 B 地，前一半路程比计划多用时 45min，平均速度只有计划的 80%若后一半路程的平均速度为 120km/h，此人还能按原定时间到达 B 地问 A，B 两地的距离为_km（分数：4.00）A.270B.300C.540 D.600解析：解析 设 A，B 两地的距离为 2xkm，计划平均速度为 vkm/h依题意得 即 6.经统计，某校教工食堂一个售饭窗口每天中午排队买饭的教工人数及相应的概率如下： 排队人数 05 610 1115 1620 212
11、5 25 人以上 概率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05 一周 5 个工作日中，有 2 天或 2 天以上中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 一个窗口排队人数超过 15 的概率为 0.25+0.2+0.05=0.5，5 个工作日中，没有一天中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 0.5 5 ，只有一天中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 所以有 2 天或 2 天以上中午出现超过 15 位教工排队买饭的概率是 7.已知集合 N=x|x 2 +2x-30，则 M，N 满足关系_ A BM=N C
12、 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由不等式 可知 x1不等式两边乘(1-x) 2 ，得 4(1-x)(1-x) 2 整理得 x 2 +2x-30，与 x1 联立，解集为-3，1)所以 M=x|-3x1 不等式 x 2 +2x-30 的解集为-3，1所以 N=x|-3x1于是有 8.下列命题中的假命题是_ A B对一切 x0，y0，x 2 +y 2 +22x+2y C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对一切 x0，y0，由均值不等式 所以 A 是真命题又由 x 2 +y 2 +2-(2x+2y)=(x-1) 2 +(y-1) 2 0， 故 B 也是真命题为分析
13、 C，不妨设 xy0式子可变形为 等价地化为 所以 C 也为真命题由排除法可选 D 事实上，可令 有 t(0，+)D 的式子可化为 t 3 +12t而 t 3 +1-2t=t 3 -t+1-t=(t-1)(t 2 +t-1)=(t-t 1 )(t-t 2 )(t-1)， 其中， 所以若 9.已知 a1，函数 y=log 2 x 在区间a，a+1上的最大值是最小值的 2 倍，则 a=_ A2 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 函数 y=log 2 x 在定义域内是增函数，在a，a+1上当 x=a+1 时最大，当 x=a 时最小，所以由题意得 log 2 (a+1)=2l
14、og 2 a， 即 a+1=a 2 解方程 a 2 -a-1=0，求得 因 a1，所以 10.已知 (a=1，2，)数列a n 各项之和等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 n 为奇数时， 所以只要考虑 n 为偶数时各项的和而 所以数列a n 各项的和等于 11.过圆 x 2 +y 2 =r 2 上的点 P(x 0 ，y 0 )作圆的切线，切线被 x 轴和 y 轴截下的线段长度的取值范围是_ A(r，+) B(2r，+) C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 圆上(x 0 ，y 0 )点的切线方程是 x 0 x+y 0 y=r 2 ，若切线与
15、 x 轴和 y 轴都有交点，交点为 线段 AB 之长 12.如下图所示，在正方形网格中，A，B，C 是三个格子点设BAC=，则 tan=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设过 A 点水平的网格线与 BC 交于点 D记BAD= 1 ，CAD= 2 ，则有 = 1 + 2 如下图所示，从网格图上可知 所以 故选 C 13.光线从点 A(1，1)出发，经 y 轴反射到曲线 C：(x-5) 2 +(y-7) 2 =4 的最短路程是_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 C 是以(5，7)为中心，半径等于 2 的圆光线从 A 出发，经 y 轴反射到圆
16、 C 上的某点 B(入射角等于反射角)，其路程等于从 A 关于 y 轴的对称点 A“(-1，1)到圆 C 上点 B 的路程所以求最短的路程，就是作 A“(-1，1)与圆心(5，7)的连线，连线与圆的交点 D(最接近 A“的交点)，A“到 D 的距离即为所求，即 14.已知 F 1 ，F 2 是椭圆的两个焦点，满足线段 MF 1 与线段 MF 2 垂直的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_ A(0，1) B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设椭圆方程为 ab0，则 F 1 (-c，0)，F 2 (c，0)因 MF 1 MF 2 ，所以点 M在以 O 为圆心，直
17、径为 2c 的圆上点 M 总在椭圆内部，即有 cb由 a 2 =b 2 +c 2 ，得 a 2 2c 2 所以有 又 e0，所以 15.菱形 ABCD 的周长为 20cm，对角线 AC 的长为 8cm，则此菱形内切圆的周长与面积分别是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如下图所示，设菱形中心为 O菱形周长为 20cm，因此边长为 5cm又 AC 为 8cm，所以 菱形内切圆半径等于直角三角形 AOD 中 AD 边上的高， 16.在(-，+)上连续， 则 a，b 满足_ （分数：4.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析 因 要
18、使 必须 17.设 f(x)是恒大于零的可导函数，且 xf“(x)f(x)，则当 0axb 时有_（分数：4.00）A.bf(x)xf(b) B.af(x)xf(a)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)解析：解析 设 由于当 0axb 时，xf“(x)f(x)，因此 F“(x)0这表明 F(x)是单调递减的函数，当 0xb 时有 F(x)F(b)，即 18.设 f(x)在a，b上可导，f(a)f(b)，x 0 (a，b)是 f(x)在(a，b)内的唯一驻点，且 f(x 0 )f(b)，则 x 0 是_（分数：4.00）A.f(x)的极小值点B.f(x)在a，b上的最小值点C.f(x
19、)在a，b上的最大值点 D.f(x)的极大值点，但不是 f(x)在a，b上的最大值点解析：解析 因 f(x)在a，b上可导，所以 f(x)在a，b上连续，进而 f(x)在a，b上一定能取得最大值和最小值 由题设 f(a)f(b)f(x 0 )可知，f(x)的最大值一定在开区间(a，b)内取得，即存在 (a，b)使得f()f(x)由于 (a，b)，因此 一定是极大值点，利用取得极值的必要条件可得 f“()=0 又因 x 0 是 f(x)在(a，b)内的唯一驻点，所以 x 0 =，因而 x 0 是 f(x)在a，b上的最大值点 故选 C19.设 a1，则在0，a上方程 （分数：4.00）A.0B.
20、1 C.2D.3解析：解析 设 则 F(x)在0，a上可导，且 这表明 F(x)在0，a上严格单调递增，从而可得 F(x)=0 在0，a内最多有一个实根 又 20.曲线 x 2 +(y-1) 2 =1， 与直线 y=2 在第一象限所围成图形面积为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如下图所示，所求面积为曲线 y=2，y 轴所围成图形面积与半径为 1 的半圆面积之差，所以 故选 A 21._ （分数：4.00）A.I1I2I3 B.I2I1I3C.I3I2I1D.I3I1I2解析：解析 当 时， 所以有 22.设 （分数：4.00）A.0 B.18C.4D.12解
21、析：解析 设 则 A 中元素的 A 21 ，A 22 ，A 23 与 D 中元素的这三个代数余子式相同因此 23.A 是 n 阶可逆矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，则(A*)*=_ A.|A|n-1A B.|A|n-2A C.|A|n+1A D.|A|n+2A（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 AA*=|A|I，所以 ，且|A*|=|A| n-1 又因为 A*(A*)*=|A*|I，所以 24. 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(2，-1，1，-1) T ， 3 =(0，1，-1，a) T ，=(3，-2，b，-2) T ， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则_（
22、分数：4.00）A.b2 B.a1C.b=2D.a=1解析：解析 设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，对( 1 ， 2 ， 3 ，)做行初等变换有 25.下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 选项 A，有三个不同的特征值，所以可以对角化 对于选项 B，设 B 中矩阵为 B，则 矩阵 B 的特征值为 1 = 2 =0， 3 =4 对于二重特征值 =0，有 r(B-I)=2，所以齐次线性方程组(B-I)x=0 的基础解系中只有一个向量，即 =0 只有一个线性无关的特征向量，因此 B 没有 3 个线性无关的特征向量从而 B 不能对角化 故选 B 注 选项 C 中的矩阵是对称矩阵，所以可以对角化 设选项 D 中的矩阵为 D，则 对于二重特征值 =0，有
